第八章-多元函数微分自测题及答案

1、第八章 多元函数微分学自测题及解答 一、选择题1若函数在点处不连续，则( C) （A）必不存在； （B）必不存在； （C）在点必不可微；（D）、必不存在。2考虑二元函数的下面4 条性质： 函数在点处连续； 函数在点处两个偏导数连续； 函数在点处可微； 函数在点处两个偏导数存在。 则下面结论正确的是（ A ） （A）；（B）；（C）； D）。3设函数，则在点处（ C ） （A）连续，偏导数存在； （B）连续，偏导数不存在； （C）不连续，偏导数存在； （D）不连续，偏导数不存在。解：取，, 在点处不连续，而。故应选（C）4设，则（ C ） （A）； （B）； （C）； （D）。5若函数在区域内具

2、有二阶偏导数：， 则（ D ） （A）必有； （B）在内必连续； （C）在内必可微； （D）以上结论都不对。6设函数在点附近有定义，且，则（C） （A）； （B）曲面在点的法向量为； （C）曲线在点的切向量为； （D）曲线在点的切向量为。解：仅在点存在偏导数，因而在点不一定可微。故（A）不正确。 曲面在点的法向量为应为，即，故（B）不对。 曲线在点的切向量为 ，故（C）正确。或曲线可看作以x为参数的空间曲线，它在点的切向量为。7函数的极小值点是（B） （A）（0，0）； （B）（2，2）； （C）（0，2）； （D）（2，0）。解：，得驻点：（极大值点）；（非极值点）；（非极值点）；（极小值点

3、）。 8在曲线的所有切线中，与平面平行的切线（B）（A）只有一条；（B）只有两条；（C）至少有三条；（D）不存在。解：该曲线在任意一点的切向量，它与平面的法向量垂直，即，而每一个t对应于曲线上一点，应选（B）。二、填空题1，、具有二阶偏导数，则。解：， 。2设，其中具有二阶连续偏导数， 则。解： 。3设函数由方程确定，其中连续偏导数，则， .解法1：设，。解法2：方程两边对求偏导数得，。方程两边对求偏导数得，。解法3：，。4设，其中是由方程所确定的隐函数，则。解：设，则， ， 。5若函数可微，且，则当时，.6函数在点处方向导数的最大值为.7.曲面点处的切平面方程为。解：设， 切平面方程为，即。

4、8.函数在点处沿A点指向点的方向导数为，在点处方向导数的最大值为，最小值为。解：， 。，。9曲线在点处的切线方程为， 法平面方程为。解：两曲面在点的切平面的法向量为 ，切线的方向向量，切线方程为,法平面方程为，即。三、解答题1.讨论函数在点（1）是否连续？（2）偏导是否存在？（3）是否可微？证：(1)由于即 可见在点处连续;(2).（3）该极限与k有关，可见，即故在点处不可微. 2设函数具有连续偏导数，且由方程所确定，求。解法1：设，则 ， 故；。 而；， 。解法2：在两边全微分，得 ，故。由，得， 故。3设变换，可把方程化简为(其中z有二阶连续偏导数)，求常数。解：视，则，从而， 变换将化简

5、为，有。4设函数由方程组确定，其中可微，且，求。解法1：， 对微分，得， ， ， 故。解法2：后两个方程对，得，由(2)得，代入(1)得， 故。5.过曲线在第一象限部分中哪一点作的切线与原曲线及坐标轴 之间所围成的图形面积最小？解：设切点为，这是长半轴为，短半轴为的椭圆。切线方程为，化为截距式：，设切线与原曲线及坐标轴所围成的面积为S，则 ，即。求条件极值问题：，令，代入(3)，得 ，得唯一驻点，函数S必有最小值，且S在定义域内只有唯一驻点，在点处面积S有最小值。6求中心在原点的椭圆的长半轴与短半轴的长度。解：设为椭圆上的任一点，点M到原点的距离，d的最大值即为长半轴a，d的最小值即为短半轴b。设，令由(1)得，代入(2)化简得，.把，即，.把，即，.由于最值必存在，故长半轴，短半轴。7.求曲面的一张切平面，使其在三个坐标轴上的截距之积为最大。解：曲面在第一卦限的点处的法向量为，切平面方程为，即， 切平面在三个坐标轴上的截距分别为求条件极值问题：，设函数：，代入(4)得。函数A必有最大值，且在定义域内只有唯一驻点，曲面在点处的切平面在三个坐标轴上的截距之积为最大，该切平面方程为。8当时,（1）求在球面上的最大值，（2）证明对任何正数，有.（1）解： 设，代入(4)得。根据实际问题