第5讲-二次根式及其运算

1、第5讲二次根式及其运算1二次根式的有关概念考试内容考试要求二次根式一般地，形如( )的式子叫做二次根式a最简二次根式必须同时满足：(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；(2)被开方数的因数是整数，因式是整式(分母中不应含有根号)2.二次根式的性质考试内容考试要求两个重要的性质()2a(a_)；|a|a积的算术平方根(a0，b0)商的算术平方根(a0，b0)3.二次根式的运算考试内容考试要求二次根式的加减先将各根式化为 ，然后合并被开方数 的二次根式b二次根式的乘法 (a0，b0)二次根式的除法 (a0，b0)二次根式的混合运算与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算 ，最后算加减，有括号的先

2、算括号里面的(或先去括号)考试内容考试要求基本方法1.整式运算法则也适用于二次根式的运算c2.估算一个根号表示的无理数可用“逐步逼近”的方法，即首先找出与该数邻近的两个完全平方数，可估算出该无理数的整数部分，然后再取一位小数进一步估算即可3.绝对值：|a|；偶次幂：a2n；非负数的算术平方根：(a0)是常见的三种非负数形式非负数具有以下两条重要性质：非负数形式有最小值为零；几个非负数的和等于零，那么每个非负数都等于零1(2015湖州)4的算术平方根是()A2 B2 C2 D.2(2017宁波)要使二次根式有意义，则x的取值范围是()Ax3 Bx3 Cx3 Dx33(2016杭州)下列各式变形中

3、，正确的是()Ax2x3x6B.|x|C.xx1Dx2x14(2017宁波)实数8的立方根是_5(2017湖州)计算：2(1).【问题】下列各式已给出计算结果：；3；4(1)其中正确的是_；(2)对于错误的结果，请给出正确答案；(3)通过以上的解答，联想二次根式有哪些性质、运算法则？【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理二次根式的性质和运算法则，以及注意的问题类型一平方根、算术平方根、立方根(1)(2015黄冈)9的平方根是()A3 B C3 D3(2)(2017黄冈)16的算术平方根是_(3)(2016宁波)实数27的立方根是_【解后感悟】一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负

4、数没有平方根；注意算术平方根易与平方根的概念混淆而导致错误；开立方和立方互为逆运算是解题的关键1(1)(2016唐山模拟)下列式子中，计算正确的是()A0.6 B.13C.6 D3(2)如果一个正数的两个平方根为a1和2a7，则这个数为_类型二二次根式的有关概念与性质(1)式子有意义的x的取值范围是_；(2)(2017邵阳模拟)将化成最简二次根式是_(3)计算：_.【解后感悟】(1)此类有意义的条件问题主要是根据：二次根式的被开方数大于或等于零；分式的分母不为零列不等式组，转化为求不等式组的解集(2)此题根据二次根式的性质化简，是解本题的关键2(1)(2017荆州)下列根式是最简二次根式的是(

5、)A. B. C. D.(2)k、m、n为三个整数，若k，15，6，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确()Akmn BmnkCmnk Dmkn(3)(2016金华)能够说明“x不成立”的x的值是_(写出一个即可)(4)若实数a、b满足0，则_.(5)若整数x满足|x|3，则使为整数的x的值是_(只需填一个)类型三二次根式的运算与求值(1)(2017滨州)下列计算：(1)()22，(2)2，(3)(2)212，(4)()()1，其中结果正确的个数为()A1 B2 C3 D4(2)计算：3_；(3)化简：()|3|_.【解后感悟】(1)二次根式的加减运算，关键是掌握二次根式的化简及同类二次

6、根式的合并；(2)二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键3(1)下列计算正确的是()A431 B.C2 D325(2)算式()之值为()A2 B12 C12 D184(1)计算(3)2018(3)2017_；(2)(2016聊城)计算：.类型四二次根式的大小比较已知甲、乙、丙三数，甲5，乙3，丙1，则甲、乙、丙的大小关系，下列何者正确()A丙乙甲 B乙甲丙C甲乙丙 D甲乙丙【解后感悟】比较两个二次根式大小时要注意：(1)负号不能移到根号内；(2)根号外的正因数要平方后才能从根号外移到根号内5(1)(2015河北)在数轴上标注了四段范围，如图，则表示的点落在()A段 B段 C段 D段(2

7、)(2015杭州)若kk1(k是整数)，则k()A6 B7 C8 D9(3)(2017白银)估计与0.5的大小关系是：_0.5.(填“”、“”、“”)类型五二次根式的综合型问题(1)已知实数x，y满足0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是_(2)在日常生活中，取款、上网都需要密码，有的人把自己的出生年月作为密码，有的人把生活中的重要数字或自己认为吉利的数字作为密码，这样很容易被知情人窃用有一种用二次根式法产生的密码，如：对于二次根式，计算的结果是11，取被开方数和计算结果，再在中间加一个数字0，于是就得到一个六个数字的密码“121011”对于二次根式，用上述方法产生的密码是_【解后感悟

8、】常见的非负数有三种形式：|a|，a2；若几个非负数的和等于零，则这几个数都为零6(1)矩形相邻两边长分别为，则它的周长是_，面积是_(2)观察分析下列数据，寻找规律：0，3，2，那么第10个数据应是_(3)若yx3，则10x2y的平方根为_7已知x1，y1，求下列各式的值：(1)x22xyy2； (2)x2y2.【探索规律题】如图，以O(0，0)、A(2，0)为顶点作正OAP1，以点P1和线段P1A的中点B为顶点作正P1BP2，再以点P2和线段P2B的中点C为顶点作P2CP3，如此继续下去，则第六个正三角形中，不在第五个正三角形上的顶点P6的坐标是_【方法与对策】根据O(0，0)，A(2，0

9、)为顶点作OAP1，再以P1和P1A的中点B为顶点作P1BP2，再以P2和P2B的中点C为顶点作P2CP3，如此继续下去，结合图形求出点P6的坐标本题由特殊到一般的规律解题是关键，这类题型是中考的热点【二次根式的化简符号不明确】下列各式中，正确的是()A.3 B3 C.3 D.3参考答案第5讲二次根式及其运算【考点概要】1 a02. 0aa3.最简二次根式相同乘除【考题体验】1 B2. D3. B4. 25.原式2222.【知识引擎】【解析】(1)；(2)，3，2；(3)主要从二次根式性质、运算法则方面去思考【例题精析】例1(1)A；(2)4；(3)3例2(1)根据题意得，2x10且x10，解

10、得x且x1.(2)3；(3)1.例3(1)D；(2)原式2，故答案为：；(3)()|3|32(3)6.故答案为：6.例434，859，8甲9.45，738，7乙8.45，516，5丙6.丙乙甲故选A.例5(1)由0得，x40，y80，即x4，y8.若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为48820；即等腰三角形的周长是20.(2)0.9，所以得到一个六个数字的密码081009.【变式拓展】1 (1)D(2)92.(1)C(2)D(3)1(4)1 (5)2 3. (1)C(2)D4.(1)3(2)125(1)C(2)D (3)6.(1)64(2)3 (3)67.(1)因为x1，y1，所以xy