南邮高数 2-3高阶导数及相关变化率

1、上讲内容回顾上讲内容回顾(1)数数方方程程两两边边取取对对数数再再求求导导对对数数求求导导法法参参数数方方程程求求导导：在在方方程程两两边边直直接接求求导导隐隐函函数数求求导导复复合合函函数数求求导导法法则则：或或反反函函数数求求导导法法则则：四四则则运运算算求求导导法法则则:)6()()()5(:)4()()()()3(1)(1 )()2()()()()()()()()()()()( )()()()( )()()( )()1(12txtydxdyxxfxfdydxdxdyxfxfxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxuCxCu 求导法则及方法求导法则及方法上讲

2、内容回顾上讲内容回顾(2) 常用基本求导公式常用基本求导公式xxaxxa1)(lnln1)(log 222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsinxxarcxxxxxx xxxxxxxx22csc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin 1)(0 xxCxxxxeeaaa )(ln)(xchthxshxchxchxshx21)()()( ) 1(11)11ln21()() 1(11) )1(ln()(11) )1(ln()(22222 xxxxarcthxxxxxarcchxxxxarcshx第三节第三节 高阶导数及相关变化率高阶导数及相关

3、变化率u 高阶导数高阶导数u 相关变化率相关变化率一、高阶导数一、高阶导数引例引例: :变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度. .),(tfs 设设)()(tftv 则则瞬瞬时时速速度度为为的变化率的变化率对时间对时间是速度是速度加速度加速度tva. )()()( tftvta1 1、高阶导数的概念、高阶导数的概念即即处处可可导导在在点点的的导导数数如如果果函函数数,)()(xxfxf ,)()(lim) )(0存存在在xxfxxfxfx 定义定义记作：记作：.)()(2222dxxfddxydyxf或或或或或或 .)() )(处处的的二二阶阶导导数数在在点点为为函函数数则则称称xxfxf

4、 ,一一般般地地导导数数可可定定义义三三阶阶导导数数、四四阶阶类类似似地地:,1分分别别记记作作阶阶导导数数阶阶导导数数的的导导数数称称为为nn nndxfddxfddxfd,4433或或)(4),nyyy )(,),(, )()(4)xfxfxfn 或或nndxyddxyddxyd,4433或或 )()1()1()(nnnydxdyy1.二阶及二阶以上的导数称为二阶及二阶以上的导数称为高阶导数高阶导数。即：即：注：注： 约定约定:;的的一一阶阶导导数数称称为为函函数数yy .,)0(yyyy 即即的的零零阶阶导导数数称称为为函函数数), 2 , 1 , 0( n2.函数函数 f(x)在点在点

5、x处具有处具有n阶导数阶导数,也常说成也常说成 f(x)在在 点点x处处n阶可导阶可导, 而且而且当当 f(x)在点在点x处处n阶可导时阶可导时,蕴涵着在蕴涵着在x的某邻域内一切低于的某邻域内一切低于n阶的导数都阶的导数都是存在且连续的是存在且连续的.2 2、高阶导数的计算、高阶导数的计算1)直接法：直接法：即由高阶导数的定义逐步求高阶导数即由高阶导数的定义逐步求高阶导数.例例1 . ),1ln(2yxxy 求求,112 xy) 1(212 xy23) 1(2 xy)3) 1() 1(22225xxx 解解23) 1(2 xxxx2) 1(21232 xxx2) 1()23(252 25) 1

6、(1222 xx例例2 阶阶导导数数：计计算算下下列列函函数数的的 n xxxex)4()1ln()3(sin)2()1( 解解 )(1()(xnxee )()( nxa一般：一般：nxaa)(ln xxycos)(sin)2( )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()(sin)()( nxxynn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得)1ln()3(xy 设设注意注意: :xy 11则则2)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy ) 1! 0, 1()1()!1() 1()1ln

7、(1)()( nxnxynnnn 求求n n阶导数时阶导数时, ,求出求出1-31-3或或4 4阶后阶后, ,不要急于合不要急于合并并, ,分析结果的规律性分析结果的规律性, ,写出写出n n阶导数阶导数.(.(数学归纳数学归纳法证明法证明) )()4(Rxy 设设1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn则则为为自自然然数数若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 注注 1)直接法求直接法求n阶导数一般适用于阶数不太高阶导数一般适用于阶数不太高,如如 n5时时. 2)我们用直接法求出了一些高阶导数的基本

8、公我们用直接法求出了一些高阶导数的基本公 式式,应该记住：应该记住：nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1() 1()(ln)5(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()(1)(!) 1()1( nnnxnx) 1! 0, 1()1()!1() 1()1ln(1)( nxnxnnn例例3.)(1322yydyxdydydx 推推出出试试从从 ydyddydxdyddyxd1)(22dydxydxd )1(3)(yy 解解yyy 1)(2)()(12y

9、dxdy y 1复合而成复合而成应视为由应视为由注意注意)(),(),(1:yxxxyyywwyw 2)间接法间接法所谓所谓间接法间接法,即利用已知的高阶导数公式即利用已知的高阶导数公式, 通过运通过运算法则算法则, 变量代换等方法变量代换等方法, 求出求出n阶导数阶导数. 高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则则则阶导数阶导数具有具有和和设函数设函数,nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu vunnvnuvuvunnnn )2()1()()(! 2)1()()3(莱布尼兹公式莱布尼兹公式)()(0kknnkknvuC )()()(!)1()1(nkknuvv

10、ukknnn 例例4 阶阶导导数数：计计算算下下列列函函数数的的 n212)3(cossin)2(3sin)1(2662 xxxyxxyxxy解解)(2)()3sin()1(nnxxy 莱莱布布尼尼兹兹公公式式 uv2)()3(sinxxn )()3(sin2)1( xxnn)()3(sin! 2)1(2)2( xxnnn2)23sin(3xnxn xnxnn2)2)1(3(sin31 2)2)2(3(sin3! 2)1(2 nxnnn)(2)3(sinnxx xxy66cossin)2( 解解3232)(cos)(sinxxy )coscossin)(sincos(sin422422xxxx

11、xx xxxx22222cossin3)cos(sin x2sin4312 24cos1431x x4cos8385 ).24cos(483)( nxynn212)3(2 xxxy解解2122 xxxy131235 xx11)1(31)2(35 xxnnxny 1)()2)()2)(1(53nxn 1)1)()2)(1(31注：注：计算高阶导数一般比较麻烦计算高阶导数一般比较麻烦,多使用间接法多使用间接法,使用时使用时,应根据给出的函数先予以化简变成基本应根据给出的函数先予以化简变成基本公式中的形式公式中的形式(如如(2)(3),然后再套用公式计算。然后再套用公式计算。 11) 1( 31)2

12、( 53!) 1(nnnxxn练习练习 )20(22 yexyx求解解 ：设：设 则则, , 22xeux)20 , , 2 , 1 , 0( 22)(keuxkk)20 , , 4 , 3( 0 , 2 ,2)( kxk由由 Leibniz 公式公式 , 可得可得0219.2020)18()19()20()20( uuuy22190222022182192220 xxxexexe)9520(22220 xxex3)分段函数、隐函数以及参数方程表达的函数的分段函数、隐函数以及参数方程表达的函数的 高阶导数高阶导数.0)(,00)(2处处具具有有二二阶阶导导数数在在何何值值时时为为问问设设 xx

13、fcbaxcbxaxxexfx例例5 解解数数处处处处均均连连续续且且有有各各阶阶导导cbxaxex 2,必必须须且且只只需需处处有有二二阶阶导导数数在在要要使使,0)( xxf ) 0() 0() 00() 00() 00() 00(ffffff)0)(处处连连续续在在 xxf)0)(处处一一阶阶可可导导且且连连续续在在 xxf)0)(处处二二阶阶可可导导在在 xxf 020)(xxxcbxaxe即即00)2( xxxbaxexbbaxxexxx 2lim1lim00 abc2111.0)(,1, 1,21处处有有二二阶阶导导数数在在时时当当 xxfcba 00)(2xcbxaxxexfx

14、) 0() 0() 00() 00() 00() 00(ffffff例例6.,),()tan(yyxyyyxy 求求确确定定设设方方程程解解求求导导得得：方方程程两两边边对对 x)1)(sec2yyxy 整整理理得得：)(tan)(tan1)(sec1)(sec2222yxyxyxyxy :,求求导导继继续续对对的的函函数数仍仍视视为为将将上上式式中中的的xxy)11(22233yyyyy )(tan112yxy 211yy 练习练习 求由方程求由方程 确定的隐函数确定的隐函数 y = y (x) 的二阶导数。的二阶导数。0sin21yyx解：方程两边对解：方程两边对x求导，求导， 注意到注意

15、到 y是是 x函数，函数， 有有 ) 1 ( 0cos211yyy)2( cos22cos2111yyy(2) 式继续对式继续对x求导求导, 得得32)cos2(sin4)cos2(sin2yyyyyy 或者或者 (1) 式继续对式继续对x求导求导, 得得0cos21)(sin212 yyyyy说明：说明： (i) 隐函数的二阶导数的求法有例隐函数的二阶导数的求法有例2所示的两种，所示的两种， 各有优劣各有优劣 。 32)cos2(sin4cos211)(sin21yyyyyy (ii) 表达式中一般含有表达式中一般含有x、y，且形式不唯一，且形式不唯一 。 如上例中，将如上例中，将 sin

16、y 用用 2 ( y - x) 代替代替 。.)()cos1(),sin(的的二二阶阶导导数数确确定定的的函函数数所所求求由由摆摆线线xyyayax 例例7解解 xydxdy )cos1(sin aa cos1sin )cos1sin(22 dxddxyddxddd )cos1sin(2)cos1(sinsin)cos1(cos )cos1(1 a2)cos1(1 a,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( )()()()()(2ttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即一般地，一般地，注：应掌握该结论的推

17、导思想！注：应掌握该结论的推导思想！)(1t 二、相关变化率二、相关变化率,)()(都都是是可可导导函函数数及及设设tyytxx 相关变化率问题相关变化率问题: :已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?.化化率率称称为为相相关关变变化化率率这这样样两两个个相相互互依依赖赖的的变变,之之间间存存在在某某种种关关系系与与而而变变量量yx,间间也也存存在在一一定定关关系系与与从从而而它它们们的的变变化化率率dtdydtdx我们来介绍导数在相关变化率问题中的简单应用我们来介绍导数在相关变化率问题中的简单应用.10,/10速速度度时时体体积积和和表表面面积积的

18、的增增长长求求当当半半径径为为的的速速度度增增长长着着一一个个气气球球的的半半径径以以cmscm例例8 8解解),(,trrt 气气球球的的半半径径为为时时设设在在时时刻刻分分别别为为则则气气球球的的体体积积和和表表面面积积)(34V3tr )(4S2tr .的的函函数数都都是是和和显显然然，tSV?)(?)(10 tStVcmr时时今今问问：当当,)( 未未知知因因为为tr,)(),(的的导导数数关关于于无无法法求求出出ttStV从从而而得得发发考考虑虑问问题题所所以以只只能能从从已已知知公公式式出出,dttdrtrdtdS)()(24 scmdtdStr/800101024210)( 类类似似地地，./800,/4000,1023scmscmcmr 表表面面积积的的增增长长速速度度为为体体积积的的增增长长速速度度为为时时即即 dttdrtrdtdV)()(3342 scmdttdr/10)( 由由题题设设知知scmdtdVtr/4000101043210)( 时时cmtr10)( 例例9 9.,/,)(),(3水水面面上上升升的的速速度度半半时时圆圆锥锥形形容容器器的的高高度度的的一一试试求求容容器器内内水水位位高高度度为为注注水水的的速速度度由由顶顶部部向向容容器器内内如如以以容容器器的的正正圆圆锥锥高高为