曲线积分及曲面积分

1、第十一章积分学 定积分二重积分三重积分积分域 区间域 平面域 空间域 曲线积分曲线积分曲线域曲线域曲面域曲面域曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分 第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分 AB一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB , 其线密度为),(zyx“大化小, 常代变, 近似和, 求极限” kkkks),(可得nk 10limM

2、为计算此构件的质量,ks1kMkM),(kkk1.1.引例引例: 曲线形构件的质量采用设设 是空间中一条有限长的光滑曲线是空间中一条有限长的光滑曲线,义在义在 上的一个有界函数上的一个有界函数, kkkksf),(都存在都存在,),(zyxf 上对弧长的曲线积分上对弧长的曲线积分,记作szyxfd),(若通过对若通过对 的任意分割的任意分割局部的任意取点局部的任意取点, 2. .定义定义是定),(zyxf下列下列“乘积和式极限乘积和式极限”则称此极限为函数则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分或第一类曲线积分.),(zyxf称为被积函数，称为被积函数， 称为积分弧段称为积分弧段 .曲线形构件的

3、质量曲线形构件的质量szyxMd),(nk 10limks1kMkM),(kkk和对如果如果 L 是是 xoy 面上的曲线弧面上的曲线弧 ,kknkksf),(lim10Lsyxfd),(如果如果 L 是闭曲线是闭曲线 , 则记为则记为.d),(Lsyxf则定义对弧长的曲线积则定义对弧长的曲线积分为思考思考:若在 L 上 f (x, y)1, ?d 表示什么问Ls3. 性质性质szyxfd ),() 1 (szyxfkd),()2(（k 为常数)szyxfd),()3( 由 组成) 21, ),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(szyxfkd),(21d),(d),(szyxfsz

4、yxfsd)4(l( l 为曲线弧 的长度)(5),( , )( , ),f x y zg x y z设在上则( , , )d( , , )d .f x y zsg x y zs( , )d( , ) d .f x y zsf x y zs特别地,有tttttfsdyxfLd)()()(, )(),(22二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法( ),( ),tt 其中在 , 上有一阶连续导数定理定理:),(yxf设且)()(tty上的连续函数,是定义在光滑曲线弧则曲线积分),(:txL,d),(存在Lsyxf22( )0,t且(t)+xdydsdxyo注意到注意到 22)(d

5、)(ddyxstttd)()(22x因此上述计算公式相当于因此上述计算公式相当于“换元法换元法”. 如果曲线 L 的方程为),()(bxaxy则有Lsyxfd),(如果方程为极坐标形式:),()(: rrL则syxfLd),()sin)(,cos)(rrf推广推广: 设空间曲线弧的参数方程为)()(, )(),(:ttztytx则szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(tttf例例1. 计算,dLsx其中 L 是抛物线2xy 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsxd10 xxxd)

6、2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上点 O (0,0)1Lxy2xy o) 1 , 1 (B例例3. 计算,dsxIL其中L为双纽线)0()()(222222ayxayx解解: 在极坐标系下它在第一象限部分为)40(2cos:1 arL利用对称性 , 得sxILd414022d)()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos:22arL例例4. 计算曲线积分 ,d)(222szyx其中为螺旋的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka)43(32222

7、22kakatktatad)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax线例例5. 计算,d2sx其中为球面 2222azyx被平面 所截的圆周. 0zyx解解: 由对称性可知sx d2szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz d2d d s例例6. 计算,d)(222szyxI其中为球面22yx 解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(18d22920Id2cos221z. 1的交线与平面 zx292 z化为参数方程 21cos2x sin2y则内容小结内容小结1. 定义定义

8、kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性质性质kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(d),()2(szyxfszyxfszyxf),(21组成由ls d)3( l 曲线弧 的长度)Lszyxfd),(),(为常数szyxgLd),(3. 计算计算 对光滑曲线弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 对光滑曲线弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 对光滑曲线弧tttd)()(22xx d)

9、(12d)()(22rr)(),(ttf思考与练习思考与练习1. 已知椭圆134:22yxL周长为a , 求syxxyLd)432(22提示提示:0d2sxyL原式 =syxLd)34(1222sLd12a12o22yx3利用对称性2. 计算()d ,(0,0), (1,0)(0,1)CIxysCOAB其中 为以和为顶点的三角形围线.解解:()d()d()dOAABBOIxysxysxys111000d(1)2ddx xxxxyy 1121222 第二节一、对坐标的曲线积分的概念一、对坐标的曲线积分的概念 与性质与性质二、二、 对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分

10、之间的联系三、两类曲线积分之间的联系 对坐标的曲线积分 一、一、 对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质1. 引例引例: 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用设一质点受如下变力作用在在 xoy 平面内从点平面内从点 A 沿光滑曲线弧沿光滑曲线弧 L 移动到点移动到点 B, ABLxy求移cosABFW “大化小” “常代变”“近似和” “取极限”恒力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功动过程中变力所作的功W.ABF ABF),(, ),(),(yxQyxPyxF( , ),( , )P x yQ x y在在L上连续上连续1kMkMABxy1)

11、“大化大化小小”.2) “常代变常代变”L把L分成 n 个小弧段,有向小弧段kkMM1),(kkyx近似代替, ),(kk则有kkkkyQxP),(),(kk所做的功为,kWF 沿kkMM1kkkkMMFW1),(k),(kkFnkkWW1则用有向线段 kkMM1kkMM1上任取一点在kykx3) “近似和近似和”4) “取极限取极限”nkW1kkkkkkyQxP),(),(nkW10limkkkkkky)Q(x)P,(其中 为 n 个小弧段的最大长度)2. 定义定义. 设设 L 为为xoy 平面内从平面内从 A 到到B 的一条有向光滑的一条有向光滑弧弧,若对若对 L 的任意分割和在局部弧段上

12、任意取点的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在都存在,在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分坐标的曲线积分,LyyxQxyxPd),(d),(kkkxP),(kkkyQ),(nk 10lim则称此极限为函数则称此极限为函数或第二类曲线积分第二类曲线积分. 其中, ),(yxPL 称为积分弧段积分弧段 或 积分曲线积分曲线 .称为被积函数被积函数 , 在在L 上定义了一个向量函数上定义了一个向量函数极限),(, ),(),(yxQyxPyxF记作),(yxF),(yxQ( , ),( , )P x yQ x y在在L上有界上有界.LxyxPd),(,),(lim10nkkkkxPLyyxQd)

13、,(,),(lim10nkkkkyQ若 为空间曲线弧 , 记称为对称为对 x 的曲线积分的曲线积分;称为对称为对 y 的曲线积分的曲线积分.若记, 对坐标的曲线积分也可写作对坐标的曲线积分也可写作d(d ,d )rxy),(, ),(, ),(),(zyxRzyxQzyxPzyxF类似地, (,)drdx dy dz ( , , )( , , )( , , )F drP x y z dxQ x y z dyR x y z dz ( , )( , )LLF drP x y dxQ x y dy 3. 性质性质(2) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧), 1(kiLi则LyyxQxyxPd),

14、(d),(kiLiyyxQxyxP1d),(d),(1) 设 为常数,则, 12( , )( , ) dLF x yF x yr 12( , ) d( , ) dLLF x yrF x yr (3) 用L 表示 L 的反向弧 , 则LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),( 定积分是第二类曲线积分的特例定积分是第二类曲线积分的特例.说明说明: : 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !( )( )baabf x dxf x dx 二、对坐标的曲线积分的计算法,),(),(,0)()(,)(),(,),(,),(),(,),()

15、,(22存存在在则则曲曲线线积积分分且且续续导导数数一一阶阶连连为为端端点点的的闭闭区区间间上上具具有有及及在在以以运运动动到到终终点点沿沿的的起起点点从从点点时时到到变变单单调调地地由由当当参参数数的的参参数数方方程程为为续续上上有有定定义义且且连连在在曲曲线线弧弧设设 LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP 定理定理( :)t化为定积分化为定积分dttttQtttPdyyxQdxyxPL)()(),()()(),(),(),( 且且特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyL，终终点点为为起起点点为为 .)()(,)(,dxxyxyxQxyxPQdyPdxb

16、aL 则则.)(:)2(dcyyxxL，终终点点为为起起点点为为 .),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 则则(:)x ab( :)t(:)y cd.,)()()(:)3( 终点终点起点起点推广推广ttztytx dtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)()(),(),()()(),(),()()(),(),( ( :)t例1. 计算,dLxyx其中其中L 为沿抛物线为沿抛物线xy 2解法解法1 取 x 为参数, 则OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxdddxxxd)(0154d21023xxyyyyxyxLd)(

17、d2112xyxy 解法解法2 取 y 为参数, 则11:,:2yyxL54d2114yy从点从点xxxd10的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到)1 , 1(B)1, 1( Aoyx例例2. 计算计算其中其中 L 为为,:, 0aaxyyBAoaax(1) 半径为半径为 a 圆心在原点的圆心在原点的 上半圆周上半圆周, 方向为逆时针方向方向为逆时针方向;(2) 从点从点 A ( a , 0 )沿沿 x 轴到点轴到点 B ( a , 0 ). 解解: (1) 取取L的参数方程为的参数方程为,d2xyL0:,sin,costtaytaxxyLd2)d(cos)cos1 (023tta(2

18、) 取取 L 的方程为的方程为xyLd2ta202sinttad)sin(334aaaxd00则则yxo例例3. 计算计算,dd22yxxyxL其中其中L为为(1) 抛物线抛物线 ; 10:,:2xxyL(2) 抛物线 ;10:,:2yyxL(3) 有向折线 .:ABOAL解解: (1) 原式22xxxx d4103(2) 原式yyy222yy d5104(3) 原式yxxyxOAdd22102d)002(xxx1)0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 10(xxxd)2210(yyd)4yxxyxABdd2210d)102(yy11例例4.4.求求3223x dxzy dyx ydz，

19、为为A(3,2,1)A(3,2,1)到到B(0,0,0)B(0,0,0)的直线段的直线段解：直线解：直线ABAB的方程为的方程为321xyz32:10 xtyttztt令故：原式故：原式031(273tdt23 42ttdt292)tt dt03187t dt874 ,)()( tytxL ：设设有有向向平平面面曲曲线线弧弧为为,),( 为为处的切线向量的方向角处的切线向量的方向角上点上点yxL LLdsQPQdyPdx)coscos(则则其中其中,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt 三、两类曲线积分之间的联系第 一类第 二类表达式dsdx ,dy方向性无向有向1.1

20、.区别区别2.2.联系联系,),( 为为处的切线向量的方向角处的切线向量的方向角上点上点zyx dsRQPRdzQdyPdx)coscoscos(则则 dstA rdA, dsAt可用向量表示可用向量表示，其其中中,RQPA ,cos,cos,cos t,dzdydxdstrd 有向曲线元；有向曲线元；.上上的的投投影影在在向向量量为为向向量量tAAt处处的的单单位位切切向向量量上上点点),(zyx （可以推广到空间曲线上（可以推广到空间曲线上 ） 例例7. .211y将积分yyxQxyxPLd),(d),(化为对弧长的积分,0222xyx).0 , 2()0 , 0(BO到从解：解：oyxB

21、,22xxy212xyxx 21y212xxcos2cos1yyx1yyxQxyxPLd),(d),(syxQyxPLd),(),(22xx)1(x其中L 沿上半圆周22,xx1. 定义kkkknkyQxP),(),(limkk10LyyxQxyxPd),(d),(2. 性质(1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2) L 表示 L 的反向弧LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向!内容小结内容小结3. 计算,)()(:tytxL: tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),( )(),()(t)(t 对有向光滑弧 对有向光滑弧baxxyL:, )(:xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyx