湖南省师大附中2013届高三第四次月考数学理试题（附答案）

1、湖南师大附中2013届高三月考（四）数学（理）试题 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分150分。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知全集U=R，集合=AB-1，1CD2对于空间任意直线l和平面，下列命题中成立的是A平面内一定存在直线与直线l平行B平面内一定存在直线与直线l垂直C平面内一定没有直线与直线l平行D平面内可能没有直线与直线l垂直3设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于1的概率是ABCD4若复数是纯虚数，则的值为ABCD5在如图的程序框图中，若输

2、出的结果为60，则在图中空白处应填上ABCD6已知A7B5C5D77设函数的图象为曲线C，动点在曲线C上，过A且平行于x轴的直线交曲线C于另一点，设线段AB的长为的图象可以为8已知正数的取值范围是ABCD二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。9双曲线的焦点到其渐近线的距离为 。10不等式，则a的值是 。11的展开式中的常数项的值为 。12直角三角形ABC中，C=90，A=30，AC=BC=2，CD为斜边AB边上的高，将三角形ACD沿CD折起与面BCD成60的二面角，则翻折后线段AB的长为 。13直线相交于A，B两点（其中a，b是实数），且AOB

3、是直角三角形（O是坐标原点），则点与点之间距离的最大值为 。14已知ABC为等腰直角三角形，A=90，且，则ABC的面积为 。15我们称正整数n为“好数”，如果n的二进制表示中1的个数多于0的个数。如6=（110）：为好数，1 984=（11 111 000 000）；不为好数，则： （1）二进制表示中恰有5位数码的好数共有 个； （2）不超过2012的好数共有 个。三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16（本小题满分12分） 师大附中高二某课题小组对长沙市工薪阶层对“楼市限购令”的态度进行调查，抽调了50人，他们月收入频数分布表及对“楼市限购令”赞成

4、人数如下表： （1）完成如图的月收入频率分布直方图，并估计被抽调人的月平均收入 ； （2）若从月收入（单位：百元）在的被调查人中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成：“楼市限购令”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望。17（本小题满分12分）已知四棱锥ABCPM的三视图如图，其中正视图是梯形，侧视图是直角三角形。 （1）求异面直线AM与直线PC所成角的大小； （2）求三棱锥PMAC的体积。18（本小题满分12分）已知一非零的向量列 （1）计算；证明：数列是等比数列； （2）设的夹角的弧度数，19（本小题满分13分） 如图，实线部分是某公园设计的游客观光路线平面图，曲线部分是以AB

5、为直径的半圆，点O为圆心，ABD是以AB为斜边的等腰直角三角形，其中AB=2千米，若游客在每条路线上游览的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且中间路线DE，DF，EF的比例系数为2k，两边路线DA，DB，AE，BF的比例系数为k（k0），假定该公园整体的“心悦效果”y是游客游览所有路线“心悦准备果”的和。 （1）试将y表示为x的函数； （2）试确定当x取何值时，该公园整体的“心悦效果”最佳？20（本小题满分13分） 给定椭圆，称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”，若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F的距离为 （1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程； （2）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2