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1、文档供参考,可复制、编制,期待您的好评与关注! 函数的概念和性质基础知识梳理一、函数的概念与表示 1、映射:设A、B是两个集合,如果按照某种映射法则f,对于集合A中的任一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,则这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记作f:AB。注意点:(1)对映射定义的理解。(2)判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射,多对一是映射2、函数:设X是一个非空数集,Y是非空数集 ,f是个对应法则 , 若对X中的每个x,按对应法则f,使Y中存在唯一的一个元素y与之对应 , 就称对应法则f是X上的一个函数,记作yf(x),称X为函数f(x)

2、的定义域,集合y|y=f(x),xR为其值域(值域是Y的子集),x叫做自变量,y叫做因变量,习惯上也说y是x的函数。构成函数概念的三要素 定义域对应法则值域两个函数是同一个函数的条件: 定义域和对应法则相同1、下列各对函数中,相同的是 ( )A、 B、 C、 D、f(x)=x,2、给出下列四个图形,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有 ( )A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个xxxx1211122211112222yyyy3OOOO二、函数的解析式与定义域1、求函数定义域的主要依据:(1)分式的分母不为零;(2)偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义;(3)对数函数的真数

3、必须大于零;(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1; 6.(05江苏卷)函数的定义域为2求函数定义域的两个难点问题(1) (2) 例2设,则的定义域为_变式练习:,求的定义域。三、函数的值域1求函数值域的方法直接法:从自变量x的范围出发,推出y=f(x)的取值范围,适合于简单的复合函数;换元法:利用换元法将函数转化为二次函数求值域,适合根式内外皆为一次式;判别式法:运用方程思想,依据二次方程有根,求出y的取值范围;适合分母为二次且R的分式;分离常数:适合分子分母皆为一次式(x有范围限制时要画图);单调性法:利用函数的单调性求值域;图象法:二次函数必画草图求其值域;利用对号函数几何意

4、义法:由数形结合,转化距离等求值域。主要是含绝对值函数1(直接法)2 3(换元法)4. (法) 5. 6. (分离常数法) 7. (单调性)8., (结合分子/分母有理化的数学方法)9(图象法)10(对号函数) 11. (几何意义)四函数的奇偶性1定义:设y=f(x),xA,如果对于任意A,都有,则称y=f(x)为偶函数。如果对于任意A,都有,则称y=f(x)为奇函数。2.性质:y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称, y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,若函数f(x)的定义域关于原点对称,则f(0)=0奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶

5、 偶×偶=偶 奇×偶=奇两函数的定义域D1 ,D2,D1D2要关于原点对称3奇偶性的判断看定义域是否关于原点对称看f(x)与f(-x)的关系1 已知函数是定义在上的偶函数. 当时,则当时, .2 已知定义域为的函数是奇函数。()求的值;()若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围;3 已知在(1,1)上有定义,且满足证明:在(1,1)上为奇函数;4 若奇函数满足,则_五、函数的单调性1、函数单调性的定义:如果函数yf (x)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称f (x)在这个区间上是增函数,而

6、这个区间称函数的一个 增区间 ;都有 f(x2)<f(x1) ,则称f (x)在这个区间上是减函数,而这个区间称函数的一个 减区间 .2 设是定义在M上的函数,若f(x)与g(x)的单调性相反,则在M上是减函数;若f(x)与g(x)的单调性相同,则在M上是增函数。1判断函数的单调性。2例 函数对任意的,都有,并且当时, 求证:在上是增函数; 若,解不等式 3函数的单调增区间是_4(高考真题)已知是上的减函数,那么的取值范围是 ( )(A) (B) (C)(D)六函数的周期性:1(定义)若是周期函数,T是它的一个周期。说明:nT也是的周期(推广)若,则是周期函数,是它的一个周期对照记忆说明

7、:说明:2若;则周期是21 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),则,f(6)的值为(A)1 (B) 0 (C) 1 (D)22 定义在R上的偶函数,满足,在区间-2,0上单调递减,设,则的大小顺序为_3 已知f (x)是定义在实数集上的函数,且则f (2005)= .4 已知是(-)上的奇函数,当01时,f(x)=x,则f(7.5)=_例11 设是定义在R上的奇函数,且对任意实数x恒满足,当时求证:是周期函数;当时,求的解析式;计算:七、反函数1.只有单调的函数才有反函数;反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域;2、求反函数的步骤 (1)解 (2)换 (3)写定义

8、域。3、关于反函数的性质(1)y=f(x)和y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称;(2)y=f(x)和y=f-1(x)具有相同的单调性;(3)已知y=f(x),求f-1(a),可利用f(x)=a,从中求出x,即是f-1(a);(4)f-1f(x)=x;(5)若点 (a,b)在y=f(x)的图象上,则 (b,a)在y=f-1(x)的图象上;(6)y=f(x)的图象与其反函数y=f-1(x)的图象的交点一定在直线y=x上;1设函数的反函数为,且的图像过点,则的图像必过(A) (B) (C) (D)高考试题1. (2009年广东卷文)若函数是函数的反函数,且,则 A B C D2 2.(2009

9、浙江文)若函数,则下列结论正确的是( )A,在上是增函数B,在上是减函数C,是偶函数 D,是奇函数3.(2009北京文)为了得到函数的图像,只需把函数的图像上所有的点( ) A向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 B向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 C向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 D向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度1 x y 1 O A x y O 1 1 B x y O 1 1 C x y 1 1 D O 4.(2009山东卷文)函数的图像大致为( ).5.(2009山东卷文)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ,则f(3)的值为( ) A

10、.-1 B. -2 C.1 D. 26.(2009山东卷文)已知定义在R上的奇函数,满足,且在区间0,2上是增函数,则( ).A. B. C. D. 7.(2009全国卷文)函数y=(x0)的反函数是 (A)(x0) (B)(x0) (B)(x0) (D)(x0) 8.(2009全国卷文)函数y=的图像 (A) 关于原点对称 (B)关于主线对称 (C) 关于轴对称 (D)关于直线对称9.(2009全国卷文)设则(A) (B) (C) (D)21.(2009安徽卷文)设,函数的图像可能是【解析】可得的两个零解.当时,则当时,则当时,则选C。22.(2009江西卷文)函数的定义域为ABCD【解析】

11、由得或,故选D.23.(2009江西卷文)已知函数是上的偶函数,若对于,都有,且当时,则的值为A B C D【解析】,故选C.24.(2009江西卷文)如图所示,一质点在平面上沿曲线运动,速度大小不变,其在轴上的投影点的运动速度的图象大致为 【解析】由图可知,当质点在两个封闭曲线上运动时,投影点的速度先由正到0、到负数,再到0,到正,故错误;质点在终点的速度是由大到小接近0,故错误;质点在开始时沿直线运动,故投影点的速度为常数,因此是错误的,故选.29.(2009天津卷文)设,则A a<b<c B a<c<b C b<c<a D b<a<c30.

12、(2009天津卷文)设函数则不等式的解集是( )A B C D 【解析】由已知,函数先增后减再增当,令解得。当,故 ,解得【答案】A【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。33.(2009四川卷文)函数的反函数是 A. B. C. D. 【答案】C【解析】由,又因原函数的值域是,其反函数是34.(2009四川卷文)已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数都有 ,则的值是 A. 0 B. C. 1 D. 【解析】若0,则有,取,则有: (是偶函数,则 )由此得。于是,39.(2009湖南卷文)设函数在内有定义,对于给定的正数K,定义函数 取函

13、数。当=时,函数的单调递增区间为【 C 】A B C D 解: 函数,作图易知,故在上是单调递增的,选C.42. (2009辽宁卷文)已知函数满足:x4,则;当x4时,则(A) (B) (C) (D)【解析】32log234,所以f(2log23)f(3log23) 且3log234 f(3log23) 43.(2009辽宁卷文)已知偶函数在区间单调增加,则满足的x 取值范围是(A)(,) (B) ,) (C)(,) (D) ,)【解析】由于f(x)是偶函数,故f(x)f(|x|) 得f(|2x1|)f(),再根据f(x)的单调性 得|2x1| 解得x46.(2009陕西卷文)函数的反函数为

14、(A) (B) (C) (D)学科答案:D. 解析:令原式则 故 故选D.47.(2009陕西卷文)定义在R上的偶函数满足:对任意的,有.则(A) (B) (C) (D) 解析:由等价,于则在上单调递增, 又是偶函数,故在单调递减.且满足时, , ,得,故选A.49.(2009陕西卷理)定义在R上的偶函数满足:对任意的,有.则当时,有(A) (B) (C) (C) (D) 答案:C52.(2009全国卷文)已知函数的反函数为,则 (A)0 (B)1 (C)2 (D)4【解析】本小题考查反函数,基础题。解:由题令得,即,又,所以,故选择C。53.(2009湖北卷文)函数的反函数是A. B.C.

15、D.【解析】可反解得且可得原函数中yR、y-1所以且xR、x-1选D61.(2009福建卷文)下列函数中,与函数 有相同定义域的是 A . B. C. D.解析 解析 由可得定义域是的定义域;的定义域是0;的定义域是定义域是。故选A.62.(2009福建卷文)定义在R上的偶函数的部分图像如右图所示,则在上,下列函数中与的单调性不同的是AB. C. D解析 解析 根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反,故可知求在上单调递减,注意到要与的单调性不同,故所求的函数在上应单调递增。而函数在上递减;函数在时单调递减;函数在(上单调递减,理由如下y=3x2>0(x<0),故函数单调递增,显然符合题意;而函数,有y=-<0(x<0),故其在(上单调递减,不符合题意,综上选C。63.(2009福建卷文)若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25, 则可以是A. B. C. D. 解析 的零点为x=,的零点为x=1, 的零点为x=0, 的零点为x=.现在我们来估算的零点,因为g(0)= -1,g()=1,所以g(x)的零点x(0, ),又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25,只有的零点适合,故选A。64. 都有>的是A= B. = C .= D 解析依题意可得函数应在上单调递减,故由选项可得A正确。6

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