复合函数求导Word版

1、复合函数导数、定积分一、考试说明要求：内 容要求ABC导数及其应用简单的复合函数的导数定积分二、应知应会知识和方法：1已知x0，比较2x与ln(2x1)的大小解 2xln(2x1)说明 利用函数f(x)2xln(2x1)的导数，研究其单调性，进而说明其恒大于0xyO2已知函数f(x)sinx，x0，的图象如图所示，求图中阴影部分的面积解 3xyO3yx3yx22x33计算抛物线yx22x3与直线yx3所围成的图形的面积解 如图，由解得x10，x23因此，所求图形的面积是Sdx(x3x2)|4若(2x)n展开式中，各项二项式系数之和为64，求dx的值解 由条件得n6所以dxdxdx(x34x)|

2、xyOyax2(a0)x115如图，用图“以直代曲”的方法计算直线x0，x1，y0和曲线yax2(a0)围成的阴影图形的面积 2 / 9解 （1）分割把区间0，1等分成n个小区间：0，（2）以直代曲Sif()×xa×（3）作和因为每个小矩形的面积是相应的小曲边梯形面积的近似值，所以以n个小矩形面积之和就是曲边三角形面积S的近似值，即SS1S2SnSi×n×(n1)×(2n1)×(1)×(2)（4）逼近当分割无限变细，即x无限趋近于0（亦即n趋向于）时，×(1)×(2)无限趋近于S，而当n趋向于时，

3、5;(1)×(2)无限趋近于由此可知S 二 复合函数的求导法则掌握导数的四则运算，复合函数的求导法则并能熟练运用法则解决实际问题。 教材、参考材料复习：法则一: (u(x) ± v(x)¢ = u¢(x) ± v ¢(x);法则二: (u(x)v(x)¢ = u(x)v¢(x) + u¢(x)v(x);法则三（约10分钟）讲解新课二、复合函数的求导法则（重点讲解，约50分钟）定理2 设函数y=f(u)，u=j(x)均可导，则复合函数 y = f(j (x) 也可导.且 或 或 课堂练习（约25分钟）小结（

4、约5分钟）二、复合函数的求导法则定理2 设函数y=f(u)，u=j(x)均可导，则复合函数 y = f(j (x) 也可导.且 或 或 证：设变量 x 有增量 Dx，相应地变量 u 有增量 Du，从而 y 有增量 Dy. 由于 u 可导，即推论设y = f(u) ， u = j(v)， v = y(x) 均可导，则复合函数 y = fj(y(x) 也可导，且例1 设 y = (2x + 1)5，求 y ¢.解把 2x + 1 看成中间变量 u，将 y = (2x + 1)5看成是y = u5，u = 2x + 1复合而成，由于所以例2 设 y =sin2x，求 y ¢.解这

5、个函数可以看成是 y = sinx·sinx, 可利用乘法的导数公式，这里，我们用复合函数求导法.将 y = sin2 x 看成是由 y = u2，u = sin x 复合而成. 而 所以例3 设y=sin3x，求 .解：例4 设y=lncosx， 求解：例5 设解：例6 设 y = etan x，求 y ¢.解 y = etan x 可以看成是由 y = eu，u =tanx 复合而成，所以复合函数求导数熟练后，中间变量可以不必写出.例7 求 y ¢.解例8 设 f(x) =arcsin(x2) ，求 f ¢(x).解例9 求 y¢. 解例10 求 y ¢.解例11 求 y ¢.解先用除法的导数公式，遇到复合时，再用复合函数求导法则.例12 设 y =sin(xlnx)，求 y ¢.解先用复合函数求导公式， 再用乘法公式y¢ = cos(xlnx)·(xlnx)¢ = cos(xlnx)·(x ·(lnx)¢ + x ¢lnx ) = (1+lnx)cos(xlnx) .例13 解先用复合函数求导公式，再用加法求导公式，然后又会遇到复合函数 的求导.补证一下 (xa)¢ = 所以(xa)¢ =