第七讲_+弹性本构关系

1、第四讲 弹性力学基础胡才博中国科学院大学地球科学学院中国科学院计算地球动力学重点实验室本构关系4.1 弹性应力应变关系 4.1.1 一般表示 4.1.2 材料对称性 4.1.3 各向同性弹性体 4.1.4 弹性常数的测定 4.1.5 矩阵形式表达 4.1.6 弹性应变能 应力只取决于应变状态，与达到该状态的过程无关4.1.1 一般表示一般表示()ijijf弹性的数学表达：如果材料ij=f(ij)呈单值连续关系（不一定线性），则称为柯西弹性材料，即为一般意义下的弹性。对于线性弹性材料，应力与应变是线性关系 x =c11 x+ c12 y+ c13 z+ c14 xy+ c15 yz+ c16 z

2、x y =c21 x+ c22 y+ c23 z+ c24 xy+ c25 yz+ c26 zx z =c31 x+ c32 y+ c33 z+ c34 xy+ c35 yz+ c36 zx xy =c41 x+ c42 y+ c43 z+ c44 xy+ c45 yz+ c46 zx yz =c51 x+ c52 y+ c53 z+ c54 xy+ c55 yz+ c56 zx zx =c61 x+ c62 y+ c63 z+ c64 xy+ c65 yz+ c66 zx 系数cmn共36个，取决于材料弹性性质，与坐标系选取有关。称为广义虎克定律的一般形式。 张量形式表示 ij =Cijkl

3、 kl 其中Cijkl称为四阶弹性张量，共81个分量。 同样也取决于坐标系，服从四阶张量的坐标变换定律。 弹性张量的对称性 （1）根据应力张量的对称性 Cijkl= Cjikl （ij=ji） （2）根据应变张量的对称性 Cijkl= Cijlk （ij=ji） 独立的分量也是36个。线弹性本构关系的一般形式：矩阵形式： C x =c11 x+ c12 y+ c13 z+ c14 xy+ c15 yz+ c16 zx y =c21 x+ c22 y+ c23 z+ c24 xy+ c25 yz+ c26 zx z =c31 x+ c32 y+ c33 z+ c34 xy+ c35 yz+ c3

4、6 zx xy =c41 x+ c42 y+ c43 z+ c44 xy+ c45 yz+ c46 zx yz =c51 x+ c52 y+ c53 z+ c54 xy+ c55 yz+ c56 zx zx =c61 x+ c62 y+ c63 z+ c64 xy+ c65 yz+ c66 zx张量形式ijijklklC、分别为应力和应变列向量，C：弹性矩阵，其元素cmn为36个。cmn和Cijkl的下标关系：m、n123456ij、kl112233122331c22=C2222, c56=C2331根据应力张量和应变张量的对称性，Cijkl也只有36个独立参数：Cijkl= Cjikl，Ci

5、jkl= Cijlk两种形式是完全等效的。（3）应变能存在，则弹性张量关于ij和kl也应对称 Cijkl= Cklij 独立的弹性常数Cijkl共有21个。 弹性系数cmn也应具有对称性 cmncnm 独立的弹性系数cmn共有21个。 弹性对称面 该面对称的两个方向具有相同的弹性关系 4.1.2 材料对称性材料对称性 1. 横观各向异性材料横观各向异性材料仅具有一个弹性对称面的材料称为横观各向异性材料。设Oxy平面为材料的弹性对称面，z轴为弹性主轴。体内一点P(x,y,z) 的应力和应变为 ，则有 =CC为一般意义下的各向异性的弹性矩阵。现将z轴反向，考察其在新坐标系下的本构关系。由于弹性对称

6、，应力应变关系应该保持不变。 =C， =C应力张量的坐标变换：=x y z xy -yz -xzT,=x y z xy -yz -xzT联立以上各式，比较系数，c15=c16=c25=c25=c35=c36=c45=c46=0 xyzx100y010z00-1 zzyzxyzyyxxzxyx zzyzxyzyyxxzxyx 212121212121 zzyzxyzyyxxzxyx - - - zzyzxyzyyxxzxyx - - - 212121212121以最后一个方程为例zx 反号，而x，y，z和xy不变，c61c62c63c640 x =c11 x+ c12 y+ c13 z+ c14

7、 xy y =c12 x+ c22 y+ c23 z+ c24 xy z =c13 x+ c23 y+ c33 z+ c34 xy xy =c14 x+ c24 y+ c34 z+ c44 xy yz = c55 yz+ c56 zx zx = c56 yz+ c66 zx13个独立常数横观各向异性材料的广义虎克定律可以表示为：有13个独立的弹性常数。 x =c11 x+ c12 y+ c13 z+ c14 xy y =c12 x+ c22 y+ c23 z+ c24 xy z =c13 x+ c23 y+ c33 z+ c34 xy xy =c14 x+ c24 y+ c34 z+ c44

8、xy yz = c55 yz+ c56 zx zx = c56 yz+ c66 zx正应变会产生切应力（ xy ）剪应变会产生正应力（ x 、 y 、 z ）单斜晶体（如正长石）可简化为横观各向异性弹性体。 2. 正交各向异性材料 具有三个相互正交的弹性对称面的材料称为正交各向异性材料。将z轴反向，由横观各向异性材料的特点可知：c15=c16=c25=c25=c35=c36=c45=c46=0同理，将x轴反向，c14=c16=c24=c26=c34=c36=c46=c56=0将y轴反向，不产生新的结果 x =c11 x+ c12 y+ c13 z y =c12 x+ c22 y+ c23 z

9、z =c13 x+ c23 y+ c33 z xy = c44 xy yz = c55 yz zx = c66 zx正交各向异性材料的广义虎克定律可表示为：有9个独立的弹性参数，正应变仅产生正应力；剪应变仅产生剪应力。工程中，一般用三个弹性模量（E1,E2,E3）， 三个泊松比（v1,v2,v3），三个剪切模量（Gxy,Gyz,Gzx） 表示。煤、木材、增强纤维复合材料等可简化为正交各向异性弹性体。 3. 横观各向同性材料 存在一个弹性对称轴（z轴），在垂直该轴的平面内材料各向同性（在此平面内所有射线方向的弹性性质均相同）。横观各向同性是正交各向异性的进一步特殊化。取两个特殊的变换： 将x，y

10、轴互换时，材料弹性关系不变 c11=c22， c13=c23， c55=c66 将坐标系绕z轴旋转450，剪切应力应变关系不变，得 c44=0.5(c11 c12)横观各向同性材料的广义虎克定律可表示为：有5个独立参数正应变只产生正应力；剪应变只产生剪应力。工程中，常用两个杨氏模量(Exy,Ez)，两个泊松比（vxy,vz），一个剪切模量（Gz）地层、层状岩体、复合板材等可简化为横观各向同性弹性体。 x =c11 x+ c12 y+ c13 z y =c12 x+ c11 y+ c13 z z =c13 x+ c13 y+ c33 z xy =0.5(c11 c12) xy yz = c55

11、yz zx = c55 zx 广义Hooke定律 在横观各向同性材料的基础上， 将x轴与z轴互换，或将y轴与z轴互换时，材料弹性关系不变， 这种材料称为各向同性材料。 c11=c33， c12=c13， c55=c66=0.5(c11 c12) 于是，独立的弹性常数减少到2个。4.1.3 各向同性弹性体各向同性弹性体 x x = =c c1111 x x+ + c c1212 y y+ + c c1212 z z y y = =c c1212 x x+ + c c1111 y y+ + c c1212 z z z z = =c c1212 x x+ + c c1212 y y+ + c c11

12、11 z z xyxy =0.5(=0.5(c c1111 c c1212) ) xyxy yzyz =0.5(=0.5(c c1111 c c1212) ) yzyz zxzx =0.5(=0.5(c c1111 c c1212) ) zxzx各向同性弹性体各向同性弹性体令 c12= ， 0.5(c11 c12) =G、G称为Lame（拉梅）弹性常数 x=2G x + xy =G xy y=2G y + yz = G yz z=2G z + zx = G zx = x + y + z 是体积应变 x x = =c c1111 x x+ + c c1212 y y+ + c c1212 z z

13、 y y = =c c1212 x x+ + c c1111 y y+ + c c1212 z z z z = =c c1212 x x+ + c c1212 y y+ + c c1111 z z xyxy =0.5(=0.5(c c1111 c c1212) ) xyxy yzyz =0.5(=0.5(c c1111 c c1212) ) yzyz zxzx =0.5(=0.5(c c1111 c c1212) ) zxzx 广义Hooke定律的张量形式 ij=kk ij +2G ij ij =Cijkl kl Cijkl=ij kl+G( ik jl+ il jk) 某个面上的剪切应力为零

14、时，剪应变也为零， 因此应力的主方向与应变的主方向重合。 ij=kk ij +2G ij 由上式反解应变，令此式即为虎克定律的工程形式，其中常数E，G，为熟知的杨氏模量、剪切模量和泊松比，仅两个是独立的。2(1)EG 应变用应力表示 kk=(3 +2G) kk kkijijijGGG)23(221 体积应力与体积应变关系（体积虎克定律） 将等式对应相加，可得平均应力与体积应变的关系： 3 0=(2G+3 ) 式中 0=( x+ y+ z)/3是平均应力。 0=K 式中 K = (3 +2G)/3 是体积变形模量。 偏应力与偏应变关系 x=2G x + sx+ 0=2G(ex + )+ 将体应力

15、与体应变关系代入： sx=2Gex 同理可得： sy=2Gey sz=2Gez 31 张量形式表示为 sij = 2Geij 在线弹性范围内，偏应力只产生偏应变，即只产生形状改变，体积应力只产生体应变，即只产生体积改变。sij = 2Geij 0=K 广义虎克定律的偏量形式：广义虎克定律的偏量形式：此形式便于塑性分析。静水压缩实验体积模量GGKkkkk323233/kk313322114.1.4 弹性常数的测定弹性常数的测定 单轴拉伸实验使用物理关系，有弹性模量和泊松比：相反，有 00000000 xijG)3G2(GxxE)G(2xy)( 12EG)( 211E纯剪实验使用物理方程，xy =

16、 2Gxy， 因此， G也是剪切模量。 0000000 yxxyijxyxyxyxyG2 单轴应变实验 有唯一应变分量 约束模量：11GM21111 各向同性弹性本构关系用其他参数表示： 正应力只产生正应变；剪应力只产生剪应变。 每个应变等于各个应力单独作用时产生的应变之和。ijkkijijEE)21)(1 (1ijkkijijEE1 弹性常数的限制 实验结果表明，E、G、K总为正值，有 大多数材料为正值，而 ，有 即材料弹性不可压缩，如橡胶。5 . 015 . 00/1,3KEG EEzyxx xyxyE 12 EExzyy yzyzE 12 EEyxzz zxzxE 12 C4.1.5 矩

17、阵形式表达矩阵形式表达)1 (20)1 (200)1 (20001000100011称对EC D2/ )21 (02/ )21 (002/ )21 (000100010001)21)(1 (称对ED 平面应力情况0zxyzzxyyxxyyxE2/ )1 (00010112)(1)(yxyxzE 平面应变情况（重力坝）0zxyzzxyyxxyyxE2/ )21 (000101)21)(1 ()(, 0yxzzxyz 一维情况 一细长杆，长度L，横截面积S，两端受拉力P作用，伸长量为L，外力功为由于应力 x=P/S， x= L/L，上式可写成 LLPdU0)( xxxdSLU04.1.6 弹性应变

18、能弹性应变能 单位体积的应变能W为 求应变能相对应变的偏导 xxWxxW xxxdSLUW02E21WxxxW 三维情况 考察微小六面体，应力分量ij产生的应变分量ij，各应力分量ij都只在与它相同的应变分量ij上做功，ijijij0dWxyzyyzyxzyzxxyxzyzyxxzxz根据能量平衡，单位体积的应变能应是所以 dW= ijd ij 对于弹性体，应变能只取决于状态，是应变状态的单值函数W=W(ij)，应变能增量dW必须是全微分 ijijijij00ddWWijijdWdW 于是对于任意的应变增量dij都应成立：这是从能量角度出发建立的弹性物体的应力-应变关系可导出如下对称性 Cijkl= CklijijijW klijijklWWijklklij将物理方程 ij =Cijkl kl代入dW=ijdij，考虑对称性，则 W= Cijkl ij kl = ij ij klijijklklijijklklijijklijklijklCddCdCdCdW2121212121 zxzxyzyzxyxyzzyyxxW 21 22222222