苍南县“姜立夫”杯数学竞赛高二试卷

1、.2007年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试卷考生注意事项：1本卷共有17道题目，全卷满分100分，考试时间120分钟.2答题前，务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号3本卷所有试题都必须用兰色或黑色签字笔在答题卷上书写，在试题卷上作答无效4本卷解答一律不允许用计算器一、选择题：（共8小题，每小题4分，共32分，每小题只有一个正确答案）1已知数列的前n项和, 若47, 则= ( ) A.9 B.8 C.7 D.62设集合S=x|x2-5|x|+6=0, T=x|(a-2)x=2, 则满足TS的a的值共有 ( ) A.5 B.4 C.3 D.23已知为三条不同的直线, 且

2、(1)若与b是异面直线, 则c至少与, b中的一条相交；(2)若/b, 则必有/c；(3)若不垂直于c, 则与b一定不垂直； (4)若b, c, 则必有.其中正确的命题的个数是 ( )A.3 B.2 C.1 D.04为使关于实数的不等式的解集是空集, 则实数的取值范围是 ( )A. 1 B. -10 C.01 D. 125在ABC中, 如果, 则() tanC的值等于 ( ) A. B. C. D.6若点A(1,)关于直线的对称点落在轴上, 则= ( )A. B. C.或- D.或-7已知x, y满足, 若的最大值为, 最小值为, 则 的取值范围是 ( ) A.-1或1 B.01 C.-10

3、D.-118若为奇函数, 且在0,为增函数, 则的一个值为 ( )A. B. - C. D. -二、填空题(共6小题，每小题6分, 共36分)9设向量绕点O逆时针旋转, 得向量, 且2+=(8, 9), 则向量=_.10.从3名男生和n名女生中, 任选3人参加比赛, 已知3人中至少有1名女生的概率为, 则=_.11.若sin2(x+)-sin2(x-)= -, 且x(,p), 则tanx=_.12.设是(3 +)n的展开式中x项的系数(n=2, 3, 4, ), 则当n100时, +的整数部分的值为 .13.若集合A中的每个元素都可表为1, 2, 3, 8中两个不同的数之积, 则集合A中元素个

4、数的最大值为_14.定义: 区间的长度为. 已知函数的定义域为, 值域为，则区间长度的最大值与最小值的差等于_.2007年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二答题卷一、选择题：（共8小题，每小题4分，共32分，每小题只有一个正确答案）题号12345678答案二、填空题(共6小题，每小题6分, 共36分)9. 10. 11. 12. 13. 14. 三、解答题(第15题8分, 第16, 17题各12分, 共32分)15.设为实数, 且函数的最小值为.(1)设, 求的取值范围, 并把表示为的函数.(2)求的值.16.直线过点(1,1), 交轴, 轴的正半轴分别于A, B, 过A, B作直线的垂线, 垂足

5、分别为C, D.(1)当AB /CD时, 求CD中点的坐标；(2)当|CD|最小时, 求直线的方程.17.设函数的定义域为R, 当x0时, 1, 且对于任意的实数, 有成立. 又数列满足, 且(1)求证: 是R上的减函数；(2)求的值； (3)若不等式k ·对一切均成立, 求的最大值.2007年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二答题卷一、选择题：（共8小题，每小题4分，共32分，每小题只有一个正确答案）题号12345678答案CABCACDB二、填空题(共6小题，每小题6分, 共36分)9. （-2,5） 10. 4 11. 12. 17 13. 24 14. 8 三、解答题(第15题8

6、分, 第16, 17题各12分, 共32分)15.设为实数, 且函数的最小值为.(1)设, 求的取值范围, 并把表示为的函数.(2)求的值.15.解:(1), 要使t有意义, 必须, 解得-1x1, 且t0 t的取值范围是又, , (2)由题意知g()即为函数m(t)=, 的最小值.此时, m(t)在,2上是减函数, 故得g()=m(2)= -16.直线过点(1,1), 交轴, 轴的正半轴分别于A, B, 过A, B作直线的垂线, 垂足分别为C, D.(1)当AB /CD时, 求CD中点的坐标；(2)当|CD|最小时, 求直线的方程.16.解: 依题意, 设A(a, 0), B(0, b),

7、a0, b0, 则直线AB的方程为点(1, 1)在AB上, (1)当AB/CD时, 则可得kAB= -3, 即- b=3a 结合解得a=, b=4设AB的中点为N, 则N(, 2). 又AC, BD垂直于CD, M是CD的中点MNCD,从而直线MN的方程为y=(x-)+2与方程3x+y+3=0联立, 可解得M() (2)AC, BD垂直于直线y= -3x-3, 直线AC的方程为y=(x-a), 即x-3y-a=0, 且点B到直线AC的距离就等于|CD|, 故得|CD|=()= 等号成立当且仅当即因此, 所求的直线l的方程为x+y -1=017.设函数的定义域为R, 当x0时, 1, 且对于任意

8、的实数, 有成立. 又数列满足, 且(1)求证: 是R上的减函数；(2)求的值； (3)若不等式k ·对一切均成立, 求的最大值.17.解(1)由题设, 令x= -1, y=0, 可得f(-1)=f(-1)f(0), f(0)=1. 故a1=f(0)=1 当x0时, -x0, f(-x)1, 且 1=f(0)=f(x)f(-x), 故得 0f(x)1 从而可得f(x)0, xR 设x1, x2R, 且x1x2, 则x2-x10, 故f(x2-x1)1, f(x1)0 从而f(x1) -f(x2)=f(x1) -f(x1+x2-x1)=f(x1) -f(x1)f(x2-x1)=f(x1)1-f(x2-x1)0 即f(x1)f(x2), 函数f(x)在R上是减函数. (2)由f(an+1)=, 得f(an+1)f( -2-an)=1, 即f(an+1-an-2)=f(0) 由f(x)的单调性, 故an+1-an-2=0 即an+1-an=2 (nN*) 因此, an是首项