高等数学第二节二重积分的计算ppt课件

1、第二节第二节 二重积分的计算二重积分的计算一一 、直角坐标系下的二重积分、直角坐标系下的二重积分79PxyDcddyc)(1yxy)()(yxy21 DdyxfV ),(轴轴投投影影向向将将积积分分区区域域YD,),(VdyxfD等于曲顶柱体的体积等于曲顶柱体的体积二重积分二重积分 .V下面用定积分来计算下面用定积分来计算)(2yxabdycbxa计算计算),(yxDxzDdc0y)(01y)(02y,dycy00任任取取截曲顶柱体得一截截曲顶柱体得一截平面平面0yy ,面为曲边梯形面为曲边梯形:其其面面积积为为,)(dcydyAV所所以以,x积积分分变变量量为为时时在在计计算算中中括括号号中

2、中定定积积分分按按.暂暂时时固固定定而而将将 yyddyxfdcD ),(因因此此)()(),(yyxdyxf21 .ydVdc即即)()(),(yyxdyxf21 ,),()()()(020100yyxdyxfyA )()(yxydycD21 .),()()(yydcxdyxfyd21 常常记记为为dxdyd记为常面积元素在直角坐标系下,ydxdyxfydxdyxfdcyyD )()(),(),(21 的累次积分后对先对yx)()(yxydycD21 Dydxdyx计算计算例例 . 121xyD,是由直线是由直线其中其中.所围成的闭区域所围成的闭区域及及xy xy1y2xxy 12221xy

3、yD:.写成写成将将解解221yDxdyxydydxdyx则则213212ydyy)()(322221221yyyxxdyxyxy.89xy1y2xxy 12:又解又解)(xxyxydyxxyx2121213121xydyxxd1212132121xdxx.8921 xxy 1DDydxdyx)(),(),()()(121yydcDxdyxfydydxdyxf )(,),()()(221xxbaDydyxfxdydxdyxf ,)()(时时当当yxydycD21 ,)()(时时当当xyxbxaD21 .,)(,)(积积分分后后对对式式先先对对积积分分后后对对式式先先对对xyyx21.)()()

4、()(称称为为交交换换积积分分次次序序化化为为或或由由化化为为由由1221,的的关关键键积积分分区区域域是是化化累累次次积积分分正正确确地地用用不不等等式式组组表表示示.要要熟熟练练掌掌握握Ddyx 2例例22xyxyD及直线及直线是由抛物线是由抛物线.所所围围成成的的区区域域xy22 xy) 1, 1 ( B)2, 4(A22xyxy由由解解.1124yxByxA解得解得12D2212yyDxdyxyddyx 所以所以.85521y22yxyxy22 xy) 1, 1 ( B)2, 4(A又又解解014xyxxD10 xyxx241xxxxDydyxxdydyxxddyx24110 所以所以

5、.855)(0 xxydyx.,不不一一样样其其计计算算的的复复杂杂程程度度可可能能选选用用不不同同的的积积分分次次序序D0RR222Ryxxy的直交圆柱体的直交圆柱体求两个半径为求两个半径为例例R.3.所所围围成成的的立立体体的的体体积积Dxyz222Ryx222Rzx. 画画出出第第一一卦卦限限内内图图形形解解DdxRV 228DRx 0220 xRyRxRydxRxdV0022228RxdxR0228)(3316R303259524xxydyxfxdI),(:. 交交换换积积分分次次序序例例 32595 302xyxxD.解解画图画图59yxor2532yxor)5 , 3(A952xy

6、 325xy 592532yxyD59253502yyxdyxfydI),(,所以所以50 yyyxdxxydIsin105 计计算算例例的原函数无法求出的原函数无法求出因为因为解解xxsin., )(积不出来积不出来yxyyD10画图画图:交换积分次序交换积分次序xyxy yx ) 1 , 1 (AxyxxD210 xxydxxxdI210sin102xdxxxxsin101xdxxsin10101xxxsincos)(11sinD1Dx1xsin1xcos0 xsindcbaDydyfxdxfydxdyfxf)()()()(2121.,围成的长方形围成的长方形是由是由其中其中dycybxa

7、xDbxadycD.证证dcDydydxdyfxf)()(21baxdyfxf)()(21dcydbaxdxfyf)()(12baxdxf)(1.dcydbaxdxf)(1)(yf2.此结论作为公式使用此结论作为公式使用:求证求证例例6.)(,)(.Axdxfxf10107并设并设上连续上连续在在设设例例.)()(I101xydyfxfxd求求,. 交换积分次序交换积分次序解解) 1 , 1 (110yxxDyxy010 xy 100yxdyfxfyd)()(Ixydxfyfxd010)()(xdydyfxfxdydyfxfxx1001012)()()()(Ixdydyfydyfxfxx101

8、0)()()(xdydyfxf1010)()(.2A.22AI yx X X型区域的特点：型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于 y y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交轴的直线与区域边界相交不多于两个交点点 . . Y Y型区域的特点：穿过区域且平行于型区域的特点：穿过区域且平行于 x x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交轴的直线与区域边界相交不多于两个交点点 . .若区域如图 ，3D2D1D在分割后的三个区域上分别使用积分公式.321DDDD则必须分割 .)(轴投影向 X)(轴投影向Y)()(xyxbxaD21 )()(yxydycD21 8281P),( r二、极坐标系下的

9、二重积分二、极坐标系下的二重积分r ox doxD d d dr:的的换换算算公公式式为为平平面面极极坐坐标标与与直直角角坐坐标标 sincosryrx 200r,D极坐标平面上有区域极坐标平面上有区域,D区区域域用用同同心心圆圆和和幅幅射射线线分分割割, d取面积元素取面积元素 drdrd d计算计算:得知得知rddrd 或或PrdoxD的的不不等等式式表表示示积积分分区区域域 D ),( rP)( 1r)( 2r )()( 21 rDDdrdrrrf )sin,cos(换极坐标换极坐标:二二重重积积分分换换元元DdyxfI ),( drdrd sincosryrx.)sin,cos()()

10、( 21rdrrrfd.8例例DyxydxdeI2200222yxRyxyxD,),(xyRD.解解:换极坐标换极坐标 sincosryrxDRr 020 Drdrdre 2Rrrdred0202 DyxydxdeI22Rre02212 214Re xyRD:进进一一步步讨讨论论2DRyRxyxD002,),(R21D22222DyxDyxydxdeydxde有有122Dyxydxde1D设设002222yxRyxyx,),(D已知已知00222yxRyxyx,),(202Rxxde12222222DyxDyxDyxydxdeydxdeydxde又因为又因为222DyxydxdeRyRxydexde0022xyRD2DR21D所以所以214Re 202Rxxde2214Re ,R令令,4 上式两端趋于同一极限上式两端趋于同一极限.2402 dxex所以所以. 9例例.)( ,常数常数求阴影部分的面积求阴影部分的面积RS解解,两两点点坐坐标标先先求求BAAB cosRrRr2由由3 RrA:3 RrB : cosRrRD233xoDR2R cosRr2 DdS cosRRrdrd23333222421 dR