商高定理的验证

1、商高定理的驗證cbabbbaaaccc 第11種    (a+b)2=c2+4(ab)a2+2ab+b2=c2+2aba2+b2=c2 (一)第一種證法： 利用四個兩股分別為a、b，斜邊為c的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方形(如圖一)。 大正方形的面積=c×c=c2 小正方形的邊長=a-b 其面積=(a-b)2=a2-2ab+b2ccba圖一 四個直角三角形的面積和=4×ab=2ab 由四個直角三角形的面積和+小正方形的面積 =大正方形的面積，化簡推出a、b、c的關係。 2ab+( a2-2ab+b2)=c2 2ab+ a2-

2、2ab+b2=c2 a2+b2=c2 bbaacc圖二甲丙乙(二)第二種證法： 利用二個兩股分別為a、b，斜邊為c的直角三角形和一個兩股皆為c的等腰直角三角形拼成一個梯形(如圖二)。 利用梯形面積為(上底+下底)×高÷2，算出 此梯形的面積=(b+a)×(a+b)÷2 =(ba+b2+a2+ab)÷2 =(a2+2ab+b2) 甲的面積=ab 乙的面積=ab 丙的面積=c2 由梯形面積=甲的面積+乙的面積+丙的面積，化簡推出a、b、c的關係。 (a2+2ab+b2)=ab+ab+c2 a2+2ab+b2= ab+ab+c2 a2+b2

3、=c2 (三)第三種證法： 以直角ABC的三邊分別做一個正方形，並作/、連接及(如圖三)，利用面積的方法來證明商高定理。 正方形BCDE的面積=a×a=a2DNAGFCEBMQPKL圖三abc EBA的面積=× =a×a=a2 正方形BCDE的面積=2EBA的面積 矩形BPQM的面積=× MBC的面積=× =(BPCL是一個矩形) 矩形BPQM的面積=2MBC的面積 =，=，MBC=EBA EBAMBC(SAS全等性質) 由、可知， 正方形BCDE的面積=矩形BPQM的面積 同樣的方法可證明，正方形ACFG的面積=矩形APQN的面積

4、由以上的證明可得， 正方形BCDE的面積+正方形ACFG的面積 =矩形BPQM的面積+矩形APQN的面積 故正方形BCDE的面積+正方形ACFG的面積=正方形ABMN的面積 即a2+b2=c2 aAIKJGFCBLDEMHbc圖四第四種證法：這種證法也是利用面積相等的方法來證明 (如圖四)，/，/，/。 正方形BCDE的面積=a×a=a2 平行四邊形ABEL的面積 =×= a×a=a2 正方形BCDE的面積=平行四邊形ABEL的面積 矩形BHIJ的面積=× 平行四邊形BCMJ的面積=× 矩形BHIJ的面積=平行四邊形BCMJ的面積 J

5、BC=ABE，=，= 平行四邊形ABEL平行四邊形BCMJ (對應角相等且對應邊也相等) 由、可知， 正方形BCDE的面積=矩形BHIJ的面積 同樣的方法可證明，正方形ACDE的面積=矩形AHIK的面積 由以上的證明可得， 正方形BCDE的面積+正方形ACDE的面積 =矩形BHIJ的面積+矩形AHIK的面積 故正方形BCDE的面積+正方形ACDE的面積=正方形ABJK的面積 即a2+b2=c2 第五種證法：這也是利用拚湊圖形的方法來驗證。如圖五和圖六都是由四個以a、b為兩股，c為斜邊的直角三角形；以及一個邊長為(a-b)的小正方形所拚湊而成的。 圖六，大正方形的面積=c2 圖五，=+

6、=(a-b)+b=a 正方形ACDF的面積=a2 =-=a-(a-b)=a-a+b=b 正方形FGHJ的面積=b2 由圖形五的面積=圖形六的面積，可得a2+b2=c2 ABCIDEFGHJ圖五abba圖六abca-b     第六種證法： 利用四個兩股分別為a、b，斜邊為c的直角三角形-ABC、ASK、KRJ、JBP所圍成的圖形(如圖七)。ACKSRJQBPacb圖七 JPQR是一個邊長為b的正方形， 其面積=b2 ASQC是一個邊長為a的正方形， 其面積=a2 ，且AKJ=90 KJBA是一個邊長為c的正方形， 其面積=c2 由AS

7、K與KRJ的面積和+五邊形ASRJB的面積 =ABC與JBP的面積和+五邊形ASRJB的面積，可推得 正方形KJBA的面積=正方形ASQC的面積+正方形JPQR的面積 即c2=a2+b2 第七種證法： 如圖八，NPM、BCA、DCF、MRB、ASN是全等的直角三角形，四邊形ANMB、ACFG、BCDE都是正方形。PNMDAGFCBAE圖八RS 四邊形SPRC是正方形 NPC=ACP=45 四邊形ACFG、BCDE也都是正方形 BEG= =45 我們可以證明四邊形NPCA四邊形BEGA： NPC=BEG，ACP=AGE PNA=EBA，NAB=BAG 且， ， 四邊形NPCA四邊形BE

8、GA 四邊形NPCA的面積=四邊形BEGA的面積 同理可證明， 四邊形BCPM的面積=四邊形DEGF的面積 將、兩式相加，得 四邊形NPCA的面積+四邊形BCPM的面積 =四邊形BEGA的面積+四邊形DEGF的面積 再同時減去共同的部分BCA，以及全等的部分(分別是NPM與DCF)，得 正方形ANMB的面積= 正方形BCDE的面積+正方形ACFG的面積 即c2=a2+b2 第八種證法：證明CBA、CAD、ABD彼此相似(直角三角形的母子相似性質)可證出(如圖九)。ABDCcab圖九 即a2+b2=c2 ABDCcab圖十第九種證法：利用母子相似性質和相似三角形面積的比等於對應邊長的平方比的性質可得(如圖十)。 CBA、CAD、ABD彼此相似 由和比性質可得， ABD+CAD=CBA 即a2+b2=c2第十種證法：根據多洛梅定理：圓內接四邊形，