力学数学预备知识微积分及矢量

1、2极极 限限 极限极限对对 y = f (x) ，若，若 x 无限趋近某一数值无限趋近某一数值x0 ，f (x) 则无限趋近某一确定数值则无限趋近某一确定数值a，则，则a就是函数就是函数f (x)在在x趋近趋近x0时的极限，记作：时的极限，记作：0lim( )xxf xa3 若函数若函数 y = f (x) 在某一区间内各点均可导，则其导数在某一区间内各点均可导，则其导数 f (x) 也是自变量也是自变量 x 的函数，称为导函数。导函数的函数，称为导函数。导函数 f(x) 对对 x 的导数叫做的导数叫做 y 对对 x 的二阶导数，定义为：的二阶导数，定义为：()( )00( )limlimyf

2、 xxf xxxxxfx yQPxyx()( )0( )limfxxfxxxfx 函数函数y=f(x)对自变量对自变量x的导数，的导数， 就是就是y对对x的变化率，定义为：的变化率，定义为：导导 数数4微微 分分 若函数若函数y = f(x)在点在点x处可导处可导, 则导数则导数f (x)与自变量与自变量增量增量dx（称为：（称为：自变量的微分自变量的微分）的乘积，就叫做）的乘积，就叫做函数函数 y = f(x) 在点在点 x 处的微分（称为：处的微分（称为：函数的微函数的微分分） ，记作：，记作： dy = f (x)dx 22dddd( ) ( )()dddd yyyfxfxxxxx（一阶

3、微分）（二阶微分） 函数一阶导数对应的微分称为一阶微分；一阶微分函数一阶导数对应的微分称为一阶微分；一阶微分 的微分称为二阶微分；二阶微分及以上的微分称为的微分称为二阶微分；二阶微分及以上的微分称为 高阶微分。高阶微分。 5 极值点的充要条件是在该点的一阶导数为零，且极值点的充要条件是在该点的一阶导数为零，且在该点两侧的导数值异号。因此，令在该点两侧的导数值异号。因此，令 f(x) = 0 即即可求出极值点可求出极值点x0 若若 f(x0) 0，则为极大值点，则为极大值点 若若 f(x0) 0，则为极小值点，则为极小值点 函数的极值点和极值函数的极值点和极值 xyx1x26导数的运算导数的运算

4、 导数定义给出了求导方法导数定义给出了求导方法 例如，求例如，求 y = x2 的导数：的导数：2220()( )0()00()lim lim lim lim(2) 2yxxf xxf xxxxxxxxxxxxx 722221221ln111111111( )0()(sin )cos(cos )sin()sec()csc()ln( )(log)(ln )(arcsin )(arccos )()()nnxxxxaxaxxxxxcxnxxxxxtgxxctgxxaaaeexxxxarctgxarcctgx基本函数的求导公式基本函数的求导公式8 (uv) = u v (uv) = u v + v u

5、 (u/v) = (u v - v u)/v2 设设 y = f(x) 的反函数为的反函数为 x = (y) 则则 (y) = 1/ f (x) 复合函数的导数复合函数的导数 设设y = f(u) , u = (x)，则则 （连锁律）（连锁律）导数的基本运算法则导数的基本运算法则ddddddyyuxux9例例 题题 dcos()dcos() d()sin()dd()daxbaxbaxbaaxbxaxbx 222222221/21/221/21/21221/21/2121/23/2ddd()ddddd()d()d( 2)(0.52)axaxaxaxaxaxaxaxxexeexxxxeaxxexa

6、xxxexeaxexaxaxxaax2)()22 （xaxaxax/1)(ln)(ln)ln(ln)/ln( 22222)()()(xexexeexexxxxxx 10导数的应用导数的应用质点沿质点沿x轴作直线运动的速度：轴作直线运动的速度：ddxxvt质点沿质点沿x轴作直线运动的轴作直线运动的加速度：加速度：22ddddxxvxatt电流强度：电流强度：ddqit11不定积分不定积分1、不定积分的定义、不定积分的定义 若若 F (x) = f(x)，则，则 F(x) + c = f(x)，F(x) + c 就叫就叫做做 f(x) 的原函数，有无穷多个；函数的原函数，有无穷多个；函数 f(x)

7、 的所有原函的所有原函数，就叫数，就叫 f(x) 的不定积分，记为：的不定积分，记为：f(x)dx = F(x) + c 。 其中其中叫做积分号，叫做积分号，f(x)叫做被积函数，叫做被积函数，x叫做积分叫做积分变量，变量，f(x)dx叫做被积式，叫做被积式，c叫做积分常数，求已知函叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。（积分是微分的逆运算，即知道了导函数，求原函数）（积分是微分的逆运算，即知道了导函数，求原函数） (sinx)cossincosxcos dsinxxcx xxc例如：是的原函数写成不定积分的形式：12不定积分

8、不定积分.2、性质、性质 (f(x)dx ) = f(x) (先积后导等于自身先积后导等于自身) f (x)dx = f(x) + c (先导后积等于自身加上任意常先导后积等于自身加上任意常数数)13基本积分公式基本积分公式 adx = ax + c af(x)dx = af(x) dx (uv)dx =udxvdx xndx = xn+1/(n+1) + c (n-1) x-1dx=lnx+caxdx = ax/lna + c exdx = ex+ c sinxdx = - cosx + c cosxdx = sinx + c sec2xdx = tgx + c csc2xdx = - ct

9、gx + c 22darcsinxaxcax2darcsin1xxcx22dxaxarctgcax2d1xarctgxcx14换元积分法与分部积分法换元积分法与分部积分法 换元积分法换元积分法 适当变换积分变量，把被积表达式化成基本积分公式适当变换积分变量，把被积表达式化成基本积分公式中的形式（又称凑积分）中的形式（又称凑积分）2221122dd(2 )xxxexexec11sin()dsin()d()cos()aaaxbxaxbaxbaxbc 22313sincos dsind(sin )sinxx xxxxc221/222221222d()d()x xxaxaxacxasindcosddl

10、ncoscoscosxxtgx xxxcxx 15换元积分法与分部积分法换元积分法与分部积分法 分部积分法分部积分法 其基本思路是将不易求得结果的积分形式，转化为等其基本思路是将不易求得结果的积分形式，转化为等价的但易于求出结果的积分形式。价的但易于求出结果的积分形式。 d(uv) = (uv) dx = u vdx + v udx = vdu + udv 两边同时积分，得：两边同时积分，得： uv = vdu + udv 则则udv = uv - vdu16分部积分法分部积分法 例题例题 xexdx = xdex = xex - exdx = xex ex + c lnx dx = x ln

11、x - xdlnx = x lnx - dx = x lnx - x + c17不定积分的应用不定积分的应用 已知加速度求速度已知加速度求速度 已知速度求位矢（或运动学方程）已知速度求位矢（或运动学方程）（见教材（见教材P3637）18定积分定积分 定积分概念定积分概念 设函数设函数 y = f(x) 在区间在区间 a,b上连续，把上连续，把 a,b分分成宽为成宽为x的的 n个小区间，当个小区间，当 n 时，时，的极限叫函数的极限叫函数 y = f(x)在区间在区间 a,b 上的定积分，上的定积分，记作：记作： niix)x(f11( )dlim( )bniniaf xxf xxyxabxix

12、i+xy=f (x)定积分的几何意义为曲边梯形的面积。定积分的几何意义为曲边梯形的面积。 19定积分的主要性质定积分的主要性质( )d( )dbaabf xxf xx ( )d( )dbbaakf xxkf xx()dddbbbaaauvxu xv x( )d( )d( )dbcbaacf xxf xxf xx20牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式 设设F(x)为函数为函数f(x)在区间在区间a,b上的一个原函数上的一个原函数,即即F(x)=f(x), 则则 ( )d( )d |( )|( )( )bbbaaaf xxf xxF xF bF a称为称为牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式（可以证明）

13、（可以证明）。( )d( )( )baf xxF bF a牛顿牛顿- -莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。方法。 21牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式 例题：例题： 1/21/21/2110220001111/222 sin2dsin2d(2)cos2| cos2|(cos0 cos )x xxxxx123 1110330 d|xxx22定积分的应用定积分的应用 计算平面几何图形的面积计算平面几何图形的面积 计算立体的体积计算立体的体积

14、 计算曲线的弧长计算曲线的弧长 变力的冲量变力的冲量 质心计算质心计算 变力做功变力做功 转动惯量转动惯量23矢量的概念矢量的概念矢量的初步概念矢量的初步概念 既有大小又有方向，且加法遵从几何法则的量叫矢量既有大小又有方向，且加法遵从几何法则的量叫矢量 ，用黑体字母或带箭头的字母表示：用黑体字母或带箭头的字母表示：A, 。 矢量的大小又叫矢量的模，用矢量的大小又叫矢量的模，用 或或A 表示。表示。 模等于模等于1 的矢量叫单位矢量，用的矢量叫单位矢量，用 表示。在直角表示。在直角坐标系中，沿坐标系中，沿 x、y、z轴的单位矢量，分别用轴的单位矢量，分别用 表示。表示。 矢量具有平移不变性：矢量

15、的平动既不改变矢量的量矢量具有平移不变性：矢量的平动既不改变矢量的量值，也不改变矢量的方向。值，也不改变矢量的方向。 A|A|AeA或 , ,i j k24矢量的几何描述矢量的几何描述 矢尾矢尾 矢端矢端 单位单位 AAAAA25矢量的加法与减法矢量的加法与减法 矢量加法矢量加法 可用平行四边形法则、三角形法则可用平行四边形法则、三角形法则 、多边形法则、多边形法则矢量减法矢量减法 用三角形法则求矢量相减最方便，注意：差矢量方用三角形法则求矢量相减最方便，注意：差矢量方向是由减矢量末端指向被减矢量末端向是由减矢量末端指向被减矢量末端 BAC CBAD BAC ABCABCABCDABCB C2

16、6矢量的正交分解矢量的正交分解 矢量的加减在直角坐标系中表示为矢量的加减在直角坐标系中表示为：AAcos,AAcos,AAcosAAAA,kAjAiAAzyxzyxzyx 222k)BA(j)BA(i)BA()kBjBiB()kAjAiA(BAzzyyxxzyxzyx AxAyAzxyzA27矢量乘法矢量乘法 矢量的数乘矢量的数乘 定义：矢量定义：矢量 与实数与实数m的乘积的乘积m 仍然是矢量，大仍然是矢量，大小是小是 的的|m|倍，方向与倍，方向与 的方向相同或者相反，的方向相同或者相反，取决于取决于m的正负。的正负。性质：性质：AAAA()()()()n mAm nAm ABmAmBmn

17、AmAnA28 矢量的标积（点乘积）矢量的标积（点乘积） cosAB)B,Acos(ABBA 定义：定义：CBCAC)BA(ABBA 性性质质：BAB,A,BA 则则，且且若若000zzyyxxzyxzyxBABABAkBjBiBkAjAiABA )()()ikkjji,kkjjii(01 标积的分量表示标积的分量表示29 矢量标积应用矢量标积应用 功的定义功的定义 功率的定义功率的定义ddAFrPF v30矢量的矢积（叉乘积）矢量的矢积（叉乘积） sin( ,)sin(), ,ABCCABA BABA BCA BA B C 1、定义为一新的矢量，其大小等于以为邻边的平行四边形的面积， 的方向

18、垂直所在平面，且满足右手螺旋关系。：CAB 方法：伸开右手，除拇指外的四指并拢、沿方法：伸开右手，除拇指外的四指并拢、沿 的方向伸的方向伸出，并从出，并从 经小于经小于180的角向的角向 弯曲，则与四指垂直的弯曲，则与四指垂直的拇指的方向即为拇指的方向即为 的方向。的方向。CABA31矢量的矢积（叉乘积）矢量的矢积（叉乘积） ()0,0,0,A BBAABCA CB CA BABAB 2、性质：若且则 32矢积的分量表示矢积的分量表示k)BABA(j)BABA(i)BABA(BBBAAAkji)kBjBiB()kAjAiA(BAxyyxzxxzyzzyzyxzyxzyxzyx （按第一行展开）

19、按第一行展开）0 iijjkkijkjkikij （，）ijk33 矢量矢积应用矢量矢积应用 力矩的定义力矩的定义 角动量的定义角动量的定义 洛伦兹力的定义洛伦兹力的定义FqvBrFLrp34三个矢量的混合积三个矢量的混合积 ()()()AB CABCAB CB CACA B为一标量，其几何意义是以 、 、 为边的平行六面体的体积。（ABCBA 35双重矢积双重矢积 ()()()()()()A BCC A BC B AAB CA C BA B C 记忆方法：“外点内，先远后近”36矢量的非法运算矢量的非法运算 1 , , , , ln .ABeAAAAABC非法运算：矢量与标量不能相等！例如：

20、37矢量函数（矢函）矢量函数（矢函） 一个矢量在某一过程中，若大小、方向都不发生变化，一个矢量在某一过程中，若大小、方向都不发生变化，则为则为恒矢量恒矢量；反之则为；反之则为变矢量变矢量，可有三种情况：大小、，可有三种情况：大小、方向均变化；大小变化，方向不变；大小不变，方向方向均变化；大小变化，方向不变；大小不变，方向变化。变化。 说一个变矢量说一个变矢量 是标量是标量 t 的矢函，意味着对应的矢函，意味着对应 t 的每的每一个数值，变矢一个数值，变矢 都存在一个确定的矢量与之对应，都存在一个确定的矢量与之对应，记为：记为： 分量表示：分量表示：k)t (Aj)t (Ai)t (A)t (Azyx )t (AA AA38(