有理数的测度

1、ILil 事亠LUJIdlr V IT«,t In*wv *w.-1-ILil 事亠LUJIdlr V IT«,t In*wv *w.有理数的测度陈必红深圳大学数学与计算科学学院，深圳(518026)E-mail : cbhmath摘 要：想象一个随机试验，其样本空间是在0,1区间中的全体有理数。这就提出一个问题，怎样定义充满一个区间的所有有理数的测度呢？如果按传统的测度理论给出的定义，都不太适合。本文给出一个对有理数的测度的定义，主要是要给出结论，就是有理数虽然是可数集合，但是，本文的定义规定，可数集合的这种测度不满足可列可加性，也不满足次可加性。但是，它仍然能够作为解决

2、实际问题的一个手段，因为它满足有限可加性，及一定条件下的可列可加性。要点是，当可列个集合中存在测度为零集合的时候，禁止它们具有可列可加 性。关键词：测度，可数集合中图分类号：0153.41 .引言在文献1中我提出了一个悖论，就是认为非程序数不存在，这个悖论无法被反驳，因 为，根据程序数集的定义，人们是无法具体举出一个非程序数的例子。从这个角度考虑，也许人类只研究程序数就够了。而这个想法，使我想到，也许可以重 新定义一个可列实数集合的测度，这个定义也能够用在概率论上。因为，我所关心的，主要 是概率论的问题。比如说，想象这样一个随机试验，是在0,1区间中的有理数中任取一个。因此，可以认为这属于在0

3、,1区间均匀分布的随机变量。但是，怎样在0,1区间的有理数中搞均匀分布呢？按传统的测度论，那的确是一个困难。这是因为，有理数是可数集合，就是说，存在着 一种办法，可以将全体有理数排成一列，以自然数为下标，写成x1 ,x2,。在这种情况下如果用一个长度为I小区间把X1套住，再用长度为1/2的小区间把X2套住，再用长度为1/4的小区 间把X3套住，等等，则相信全体有理数集合的测度不会大于所有这些小区间的长度之和I,但I是可以取得任意小的，这就说明了可列个集合的测度为0 了(参见文献2，第46页)。但是，这是传统测度论对测度的定义造成的。我下面试图用一种新的办法来定义全体有理数的测度，努力做到合理。

4、比如说，按新的测度定义，在0,1区间的全体有理数的集合的测度是1，而在0, 0.5区间的测度是1/2,等等。我将要制定一些禁则，来避免矛盾。2. 0,1区间的均匀测度下面始终讨论的是0,1区间里的有理数。将0,1区间里的所有有理数集合，记为Q0,1。我们知道，任何一个有理数都可以表示成为p/q的形式，其中p和q(q和)都是自然数，而且在0,1区间里，pWq。现在我们记Qn为0,1区间里，分母q不大于n的全体有理数，这里n是不等于0的自然数。因此，Qn为有限个元素的集合。 例如，Q3 =0,丄,2,1共五个有理数。2 3 3因此有关系Q ? Q2 ? Q3 (1)是丄，这个测度称之为假设Qn由厶

5、个有理数组成，则在 Qn上定义一个测度，规定所有这厶个有理数的测度，都 均匀测度，用运算符mn(i)表示，则有mn(Qn)=1 , n=1,2,因此就知道0,1区间的全体有理数集Qpi有关系mQo,1 = UQn(2)n = 1成立。当然，考虑到(1)式，也许可以写成 Q01 = lim Qn ? (lim不过是一种记号，并非极 n fm限的定义。)在Qn上定义的均匀测度有一个重要之点，就是次可加性不成立。这是显然的，就是说，对Qn的总共kn个有理数，如果用kn个区间I1,I2, ,Ik n将这kn个数给覆盖，这kn个区间的长度加起来，不一定会比 Qn的测度1要大，这简直太显然了，只要这k个区

6、问的长度都足够小，导致它们加起来小于1,次可加性就可以看出是不成立的了。这一点很重要。就是说，当我们现在要考虑0,1区间中的所有有理数 Q0,1的测度时，我们是打算用Qn随着n的增大来逼近Q0,1的，在这个逼近的过程中，相信次可加性一直是不成 立的，也就是说，用上一节的方法，用可列个小区间将可列个有理数罩住，并将小区间的长 度和趋向于零来证明有理数的测度为零的证明办法是要禁用的，就是说，我们必须宣布当 Qn逼近Q0,1的时候，会使Q0,1的测度保持有Qn的测度的一些性质。现在我们就用Qn的均匀测度来逼近 Q0,1的测度，则因为Qn的测度不随n而变，统统都是 1,则相信Q0,1的测度为m(Q0,

7、1) = lim m.©) =1(3)n fm但是，当n趋于无穷的时候，Qn中的每一个有理数的均匀测度是趋向于0的。但是我们仍然规定次可加性不成立，不允许用，我们还可以强行规定在Q0,1的测度中只满足有限可加性，可列可加性并不总是成立。也就是说，当每一个有理数的测度为零的时候，仍然可以强 行地承认0,1区间的全体有理数的测度为1。这样的强行规定是否不合理呢？我们注意到原实数集的通行的勒贝格测度，是不满足“不可列可加性”的，就是说，每一个具体的实数的测度为零，但是，一个区间的实数难道不正是这区间中的每一个实数的单点集的并集么？因此“勒贝格测度的单点实数的测度为0但区间内实数的总体测度不

8、为0”给我们树立了一个好榜样，既然我们只讨论有理数这样的可列集组成的样本空间，我们当然也可以规定可列可加性在有理数测度上不总是成立了。我们只承认有限可加性。现在就可以定义在0,1区间中任意一个有理数集合A的测度怎么计算了。对于 Qn,假设kA中属于Qn的有理数共有kA,n个，拿它除以Qn中的元素个数,称-为集合A的精度为n的测knkA,nkn度，用mn(A)表示，则A在0,1区间的测度可定义为m(A) = lim mn (A) = limn fmn fm则这样定义的测度是可以满足有限可加性的。但是，虽然可列可加性并不总是成立，我们可以这样规定，如果一个可列集合族 A1,A2,An,的测度都大于

9、0，且互不相交，则它们满足可列可加性。而对于存在零测度的可列集合族，可列可加性不一定成立。当然，说不一定成立，当然 是在说在某些情况下也许成立，却不是一个一般的公理罢了。3. 推广到一般情况上一节的测度的定义可以轻而易举地推广到任意一个闭区间假设有理数集合 A被区间a,b所包含，则A的测度可定义为m(A) = lim mn( A) = lim( b- a)n fmn fmkA,nkna,b的全体有理数Qa,b上。(5)其中kA,n是闭区间a,b中分母q小于n的属于集合A的有理数的个数，而 6则是闭区间中分 母q小于n的所有有理数的个数。当然可以证明上述极限必然存在，而且满足有限可加性。但是不满

10、足可列可加性。只有在互不相交的无限集合列 Ai,A2,的测度都大于0时，可列可加性才成立。而在文献1中定义了实数集的子集程序数集合，并指出它是人类社会所能够接触到的 实数的集合。程序数集合也是可列个。因此，可以在程序数集合上定义类似的测度。假设全体程序数集合用一种排列办法，可写为X!,X2,X3,。因此可定义，在被某区间a,b所包含的一个程序数集合 A的测度定义为kAnm（A） = nirH mn（A）=nim（b- a） |k,其中kn是区间a,b中落在前n个程序数X!,X2,中的实数的个数，当然，从个数不等于0 的对应的n开始起算，而kA,n则是区间a,b中落在前n个程序数中的且属于集合

11、A的实数的个 数。则不难证明此极限必然存在，且作为测度，可满足有限可加性。但是，不满足可列可加 性。只有在互不相交的无限集合列Ai ,A2,的测度都大于0时，可列可加性才成立。那么，定义这样的测度有什么好处呢？由文献1，实数集合中的程序数集合，是人类社会所能够接触到的实数的集合，因此 在所有的应用中，只使用程序数集合就足够用了。而按照本文定义的在程序数集合中的测度，所有的子集都存在测度，不存在不可测集，这就为概率论的公理化体系打下一个良好的基础。此外，因为不存在不可测集，因此所有的函数都是可积函数，不存在不可积函数。这也 简化了高等数学教学中的一些定义和定理的描述。4. 结语因此，按本文的对有

12、理数和程序数的集合的测度的定义， 可以重新撰写所有的数学分析 教程和高等数学教程，及概率论教程。在这些教程中的定义和定理，只对程序数集合进行描 述，将会变得相当简洁。参考文献1陈必红.实数集的程序数子集.中国科技论文在线，2008. number=200803-82.2郭懋正.实变函数与泛函分析.北京大学出版社,2005.The Measure of Rational NumberCHEN Bih ongSchool of Mathematics and Computi ng Science of Shen zhe n Uni versity, Shen zhe n, PRC (518060)

13、AbstractThinking of a ran dom test, its sample space is made by all rati onal nu mber in 0,1 in terval. So a proplem is put out. How we define a measure of all rational number which fill out a interval? If defining measure with traditional way, it is not suitable for thd test model. In this paper, I

14、 give adefinition of the measure of the rational number. I want it lead to a conclution that, although the set of rati onal nu mber is coun table, but this measure does not satisfy the coun table additivity and subadditivity. But, it can be a way to resolve the actual problem, because it satisfies the finite additivity, and coun table additivity un der some con diti on