高中数学第二章随机变量及其分布2.3.2离散型随机变量的方差学案含解析

1、2. 3.2离散型随机变量的方差层析教材.新知无师自通A, B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表:A机床次品数X0123P0.70.20.060.04B机床次品数X20123P0.80.060.040.10问题 1:试求 E(X) , E(X2),提示：E(Xi) =0X0.7 + 1X0.2 +2X0.06 +3X0.04 = 0.44.E(X) =0X0.8 +1 X0.06 +2X0.04 +3X0.10 = 0.44.问题2:由E(X)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？提示：不能，因为 E(X)=HX2).问题3:试想利用什么指标可以比较加工

2、质量.提示：样本方差.1 .定义设离散型随机变量X的分布列为XX1X2XiXnPP1P2PiPn则(x E(X) 2描述了 xi(i=1,2,，n)相对于均值 E(X)的偏离程度，而QX)=nZ Xi-E X2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均1 =1偏离程度.称 受为为随机变量X的方差，其算术平方根 ，D X为随机变量X的标准差.2 .意义随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离平均值的平均程度.方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小.3 .性质设 a, b 为常数，则 口 aX+ b) = a2D(X).4.两点分布和二项分布的方差XX

3、服从两点分布XB(n, p)D(X)p(1 p)( p为成功概率)np(1 -P)1.方差与标准差的作用随机变量的方差与标准差一样，都是反映随机变量的取值的稳定与波动、 集中与离散程 度的，方差越小，取值越集中，稳定性越高，波动性越小；反之，方差越大，取值越不集中， 稳定性越差，波动性越大.2.随机变量的方差与样本方差的关系随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的.对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的 方差.锁定考向，考题干变不离其宗21突破求离散型随机变量的方差袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上

4、n号的有n个(n=1,2.3.4) ,现从袋中任取一个球，X表示所取球的标号.(1)求X的分布列、均值和方差；(2)若 Y= a(X) + b(a, bCR), E(M = 1, D(Y) = 11,试求 a, b 的值.(1) X的分布列为X01234P1113122010205 - E(X) =0X 2 + 1X20+2X 110+3X 20 + 4X 5=1.5. 2201020521212123D(X) = (0 - 1.5) X 2 +(11.5) X 20+(21.5) X 而+(3 1.5) X . 十 (4 1.5) 2X1 = 2.75.5(2)由 D(Y =a2D(X),得

5、 a2x2.75= 11,即 a=±2.又 E(Y) =aE(K +b,，当 a=2 时，由 1=2X1.5+ b,得 b= 一2；当 a= 2 时，由 1 = 2X1.5 + b,得 b=4,a= 2,a=- 2,即为所求.土或Vb= - 2b= 41 .离散型随机变量的分布列、均值和方差是三个紧密联系的有机统一体，一般在试题中综合在一起考查，其关键是求出分布列.2 .在求分布列时，要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式计算 概率，并注意结合分布列的性质，简化概率计算.3 .对于已知D(X)求D(aX+ b)型，利用方差的性质求解， 即利用D(aX+ b) = a2

6、D(X)求解.编号为1,2,3的三位同学随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位同学一个座位，设与座位编号相同的学生的个数为X,求口的.解：由题意可知，X的所有可能的取值为0,1,3.213116.RX= 0) = 3T=3； P(X= 1) = 3T=r1R X= 3)= 3!所以，x的分布列为X013P111326111日X)=0x +1x +3X =1,326D(X>=(0-1)2x1+ (1 -1)2x1+(3-1)V1=1.326I求两点分布、二项分布的方差、标准差某厂一批产品白合格率是一98%(1)计算从中抽取一件产品为正品的正品数的方差；(2)从中有放回地随机抽取10件产品

7、，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差.(1)用七表示抽得的正品数，则七=0,1.七服从两点分布，且P(七=0)=0.02 ,P(七 =1) =0.98 ,所以由 D( E ) = p(1 p) =0.98 X(1 0.98) =0.019 6.(2)用X表示抽得的正品数， 则X曰10, 0.98),所以D(X) =10X0.98 X0.02 = 0.196, 标准差“D X =0.44.解此类问题，首先要确定正确的离散型随机变量，然后确定它是否服从特殊分布，若它服从两点分布，则其方差为p(1 -p);若其服从二项分布，则其方差为np(1 -p)(其中p为成功概率).一个人每天开车上班，

8、从他家到上班的地方有 6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯一，.I 1,、，一 ,一 、，的事件相互独立，并且概率都是看设X为这人途中遇到红灯的次数，求X的均值和方差.3X与Y,且X, Y的分解：由题意知 Xb'6, 1 |- .E(X) = np = 6x；=2, D(X)=np(1 p)=6x1x I'11 ；= 4. 33333离散型随机变量的均值、方差的实际应用甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量布列如下:X123Pa0.10.6Y123P0.3b0.3(1)求a, b的值；(2)计算X, Y的期望与方差，并以此分析甲、乙技术状况.(1)由离散型随机变

9、量的分布列的性质可知a+0.1 +0.6 =1,得a= 0.3.同理 0.3 +b+0.3 = 1,得 b= 0.4.(2) E(X) =1X0.3+2X0.1 +3X0.6= 2.3 ,E(Y) =1X0.3 +2X0.4 +3X0.3 = 2,D(X) =(1 -2.3) 2X0.3 + (2-2.3) 2X0.1 + (3 -2.3) 2X0.6= 0.81 ,D(Y) =(1 2) 2X0.3+ (2 2)2X0.4+ (3-2)2X0.3= 0.6.由于 E(X)>E(Y)，说明在一次 射击中，甲的平均得分比乙高，但D(X)>D(Y),说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙

10、两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势.均值体现了随机变量取值的平均大小，但有时仅知道均值大小是不够的，比如：两个随机变量的均值相等(即均值相等)，这时还需要知道随机变量的取值如何在均值附近变化，即计算其方差，方差大说明随机变量取值比较分散；方差小说明随机变量的取值比较集中、稳士 7E.甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等.两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为甲保护区X0123P0.30.30.20.2乙保护区Y012P0.10.50.4试评定这两个保护区的管理水平.解：甲保护区的违规次数X的均值和方差分别为：E(X) =0X0.3

11、 + 1X0.3 +2X0.2 +3X0.2 = 1.3 ;D(X) =(0 - 1.3) 2X0.3 + (1 1.3) 2X0.3 + (2 -1.3) 2X0.2 + (3 1.3) 2X0.2 = 1.21.乙保护区的违规次数Y的均值和方差分别为：E(Y) =0X0.1 +1X0.5 +2X0.4 = 1.3 ;D(Y) =(0 -1.3) 2X0.1 + (1 -1.3) 2X0.5+ (2 -1.3) 2X0.4= 0.41.因为 日 X) = E(Y , D(X)>D(Y),所以两个保护区内每季度发生的平均违规次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区

12、的违规事件次数相对分散，故乙保护区的管理水平较高.修补短板.拉分噩一分不丢押金系列7.错用公式D aX+ b =a2D X已知随机变量X的分布列如下表:X-21012P0.10.20.40.10.2且 Y= 3X+ 1,求 E(Y) , RY» .因为 E(X) =-2X0.1 + ( 1) X0.2 +0X0.4 + 1X0.1 +2X0.2 = 0.1 ,所以 E(Y) = E(3X+ 1) =3E(X) +1 = 1.3.又因为 口X) = ( 2 0.1) 2X0.1 + ( 1 0.1) 2X0.2 + (0 0.1) 2X0.4 + (1 0.1) 2X0.1 + (2

13、-0.1) 2X0.2 = 1.49 ,所以 D(Y) = U3X+ 1) =9D(X) = 13.41.1.求解D(Y)时错误类比均值的关系，把D(Y)错误地求解为 D(Y=D(3X+ 1) =3D(X) +1 = 5.47.2.求解此类问题，学会利用公式E(aX+ b) =aE：X) +b, D( aX+ b) = a2D(闪，将求E( aX+ b), D(aX+ b)的问题转化为求 日X) , D(X)的问题，从而可以避免求aX+ b的分布列的烦琐的计算，解题时可根据两者之间的关系列出等式，进行相关计算.已知随机变量 X的分布列如下表:X01P0.20.22340.30.20.1试求 D

14、(X)和 D(2X- 1).解：E(X) =0X0.2+ 1X0.2+2X0.3+3X0.2+4X0.1 =1.8 ,所以D(X)=(0 1.8) 2X0.2 + (1 1.8) 2X0.2 + (2 1.8) 2X0.3 + (3 1.8) 2X0.2 + (4 1.8) 2X0.1 = 1.56.所以 D(2X- 1) = 4D(X) =4X1.56= 6.24.Ml酱你宅幽自主演练.百炼方成钢1 .已知随机变量 X的分布列为 P(X= k)=! k= 3,6,9.则口 X)等于()3A. 6B. 9C. 3D. 4 ,111解析：选 A E(X)=3X -+6X-+9X-=6.33321

15、2121D(X)=(3-6) x3+(66) x3+(9 6) x- = 6.2 .已知 七B(n, p),日E ) = 8, D(E ) =1.6，则n与p的值分别为()A. 100 和 0.08B . 20 和 0.4C. 10 和 0.2D, 10 和 0.8np= 8,np 1 - p =1.6 ,解析：选D由于EB(n, p),所以,解得 n= 10, p=0.8.3 .有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X, Y,已知E(K=E(Y),RX)>RY),则自动包装机的质量较好.解析：在均值相等的情况下，方差越小，说明包装的质量越稳定， 所以自动包装机乙的答案：乙1&#

16、39;a+ b+c+= 1,11 Xa + 0x b+1x c+2x 12= 0, -1-0 2xa+ 0-0 2xb+ 1-0 2xc+ 2-0 2x5=i,1251解得a=瓦，b=c= 4.答案:5 112 45.已知某运动员投篮命中率p=0.6.(1)求一次投篮命中次数E的均值与方差；(2)求重复5次投篮时，命中次数 Y的均值与方差.解：(1)投篮一次命中次数E的分布列为E01P0.40.6贝U E( E ) =0X0.4+1X0.6= 0.6 ,D( E ) = (0 0.6) 2X 0.4 + (1 0.6) 2X 0.6 = 0.24.(2)由题意知，重复5次投篮，命中次数 Y服从

17、二项分布，即 YB(5,0.6)由二项分布均值与方差的计算公式，有：E( Y ) = 5X0.6 = 3, D( Y) ) = 5X0.6 X 0.4 = 1.2.、选择题1.如果 七是离散型随机变量， 刀=3E +2,那么()A.E(刀)= 3E( E ) + 2,D( y ) = 9D( UB.旦刀)=3E( E ) , 口刀)=3D( E ) + 2C. E(刀)= 3E( E )+2, 口刀)=9受卫)+4D. E(刀)= 3E( E )+4, D( r ) = 3D( U + 2解析：选A 直接代入均值与方差的公式中.2.同时抛两枚均匀硬币 10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为八1

18、5A. 8B 15 B.4X,则RX)等于()C.5D. 5解析：选 a . xbo, 4D(x) =10x ；x3=185.3.已知E的分布列如下表:101P12131 6若刀=2卫+2,则D( r)的值为()A. 1 B.31020 91111-、1 2 1 1 2 1解析：选 D )= -1*2+。><3+1、=二，Dm=L+3/2+ 户3卜3+1215203/><6 = 9,所以 DU)=D(2 E +2)=4D( E ) =§4.随机变量X的分布列如下:若E(X)=工，则D(X)等于(87 A. 3233C.64X123P12xy)B.3255D.6

19、4151x2+2x+3y=, 解析：选D由| 2+x + y=1, .2所以rx)J1引4,"春襄律. 828888 645 .已知随机变量 X+ Y= 8,若XR10Q.6)，则E(Y» , D(Y)分别是()A. 6,2.4B. 2,2.4C. 2,5.6D. 6,5.6解析：选B由已知随机变量X+ Y= 8,有Y=8 X.因此，求得E(Y)=8E(X)=8 10X0.6=2, D(Y) = (-1)2D(X) = 10X0.6 X0.4= 2.4.二、填空题6 .设投掷一枚骰子的点数为随机变量X,则X的方差为.解析：解析：依题意 X的分布列为X123456P16161

20、6161616为1 7故 E(X> = (1 +2+ 3+4 + 5+6) X -= 2,7 217 21X)= -2,b 6+?-2卜 6+3512.-35答案：127 .一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项 是正确的，每个答案选择正确得 4分，不作出选择或选错不得分， 满分100分，某学生选对 任一题的概率为0.6,则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为 .解析：设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X,所得的分数(成绩)为Y,则 Y= 4X.由题知XB(25,0.6),所以 旦X) =25X0.6= 15, D(X) =25X0

21、.6 X 0.4 = 6,E(Y) =E(4X) =4E(X) =60, D(Y) = 口4闪=42X 口为=16X 6= 96,所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96.答案：60,962 _1 一 一，4 _8 .若 X是离散型随机变量， RX= xi) =-, RX= X2)=-,且 Xi<X2,又知 E(X) =-, D(X) 339=2,贝 U Xi + X2 =.解析：由题意可得 E(X)= 2xi + 1X2, 334 2 24 21DrX)= Xi-9 |X3+ X2-9 ,X3,2143X1+3X2=9,J-4卜 2+54 219 x3=2.解得 Xi

22、+ X2=197.9答案:I79"三、解答题9 .有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设项目，为了对重点建设项目负责, 政府到两建材厂抽样验查，他们从中各取等量的样本检查它们的抗拉强度指数如下：II0I20I25I30I35P0.i0.20.40.i0.2i00ii5I25I30I45P0.i0.20.40.i0.2其中E和刀分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性好.解：E( E ) mIIOXO.I +I20X 0.2 +I25X0.4 + I30X0.I +I35X 0.2 =I25,E( r ) = I00X 0.i +II5X0.2 +I25X0.4 + I30X 0.i +I45X0.2 =I25,D( E ) = 0.i X(ii0 I25) 2+0.2 X(i20 I25) 2+0.4 X(i25 i25)2 + 0.i X(i30 i25)2 + 0.2 X(i35 i25) 2=50,D( r ) = 0.i X(i00 I25) 2+0.2 X(ii5 I25) 2+0.4 X(i25 i25)2 + 0.i X(i30 I25)2 + 0.2 X(i45 I25)2=i65,由于E(E ) = E" ) , D( E )< DU ),故甲厂的材料稳定性