高中数学高考题型数列求和题目以及答案

1、高中数学高考题型数列求和题目以及答案1.公式法n ai + ann n 1 d(1)等差数列an的前n项和Sn=2-=nai +2一推导方法：倒序相加法.(2)等比数列an的前n项和Sn =nai, q=1,ai i qn d,，q*.i-q推导方法：乘公比，错位相减法.一些常见的数列的前 n项和:n n+ 1 1 + 2+3+n =n 2' 2+4+6+ 2n=n(n+1); 1 + 3+5+ 2n- 1 = n22.几种数列求和的常用方法(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.(2)裂项相消法：把数

2、列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消, 从而求得前n项和.(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解.(4)倒序相加法：如果一个数列an与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个 常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.方法一分组转化法求和n2+ n*1.已知数列an的前n项和Sn=2, nCN .(1)求数列an的通项公式；(2)设 bn=2an+( 1)nan,求数列bn的前 2n 项和.解题技法1 .分组转化求和的通法数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通

3、过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求数列的前n项和的数列求和.2 .分组转化法求和的常见类型题组训练1 °2.已知数列an的通项公式是an=2n- 2n,则其刖20项和为（）A.1 379+220B.399 + 220C.1 419+220D.1439 + 2203.（2019资阳诊断）已知数列an中,a1= a2= 1, an+2 =an+2, n是奇数，叱则数列an2an, n是偶数，'的前20项和为（）B. 1 122D. 1 124A. 1 121C. 1123方法二裂项相消法求和考法形如an=n；=型4.(2019南宁摸底联考)已知等差数列an满足a3=7,

4、 a5+a7= 26.(1)求等差数列an的通项公式；1(2)设n" ,求数列cn的刖n项和"1考法(二)形如an = -i=一产型Vn+ k +Vn5.已知函数f(x)=x"的图象过点(4,2),-1令an = fn+1+fn ' n°N .记数列an的刖n项和为 Sn,则 S2 019=()A.V2018-1B.72019- 1C.V2 020-1D.12 020+ 1解题技法1 .用裂项法求和的裂项原则及消项规律裂项原则一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止消项规律消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒

5、数第几项提醒要注意n= 1时，是否符合所求得的通项公式；裂项相消后，注意留下了 哪些项，避免遗漏.2 .常见的拆项公式(1).n n+1 n n+11 = 1 _1_1.(2) 2n-1 2n+1一2 2n1 2n+1'=n+1 5;2n 2n 1 2n 十11 = 27TT2题组训练6.在等差数列an中，a3+a5+a7=6,aii=8,则数列an+3 an+4的前n项和为()n+ 1A.- n+ 2nC.n 12nD.n+ 17.各项均为正数的等比数列an中，a1 = 8,且2a1，a3,3a2成等差数歹U.(1)求数列an的通项公式；1(2)若数列bn满足bn=nlog2an，求

6、bn的前n项和Sn.方法三错位相减法求和8 .(2017山东高考)已知an是各项均为正数的等比数列，且a+a2=6, a1a2= a3.(1)求数列an的通项公式；bn ,(2)bn为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn.已知S2n+1=bnbn+1,求数列 云 的刖n项和Tn.变透练清9 .变结论若本例中an, bn不变，求数列anbn的前n项和Tn.10.已知an为等差数列，前n项和为Sn(nCN*), bn是首项为2的等比数列，且公比 大于 0, b2+ b3= 12, b3= a4 2a1, Sn= 11b4.(1)求an和bn的通项公式；(2)求数列a2nbn的前n项和(n 

7、3; N*).解题技法错位相减法求和的4个步骤写和式I评出二二不二；：春y薪嬴跳籥赢而瘫祠看二疏构差式一例式错位相减转化成等比数列求和得结论商近而窿而二;亲值仁二百求雇直讯度石;为1进行讨论'1.4.Ji 9, <8. X 8 8 RdlAWABa&S一 144上4 &±&届！.4114第.上显国工3.4*«-4*3 W 4* ,易误提醒(1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号.(2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n 1项和当作n项和.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q=1和qwi两种情 况求解

8、.课时跟检测1.数列an的通项公式为1an=Vn + Vn-1若该数列的前k项之和等于9,则k=(A. 80B.81C. 79D. 822.若数列an的通项公式是 an=(1)n(3n 2),则 ai + a2+ aio=()A. 15B. 12D. 15C. 123.已知an是首项为1的等比数列，Sn是an的前一一 .1 Sn项和，且9s3=S6,则数列的 an前5项和为()3115C.wD.?4.在等差数列an中,a4=5, a7=11.设bn=(-1)n an,则数列bn的前100项之和S100 =()A. 200B. - 100C. 200D. 1005 .已知Tn为数列22n 的前n

9、项和，若m>T0+ 1 013恒成立，则整数m的最小值为()A. 1 026B, 1 025C. 1 024D, 1 0236 .已知数列：4，21, 31,，n+Tn ,，则其前n项和关于n的表达式为 .24827 .已知数列an满足 a=1, an+1 an = 2n(nC N*),则 S2。18=.8 . (2019成都第一次诊断性检测)已知等差数列an的前n项和为Sn, a2=3, S4= 16, nC N*.(1)求数列an的通项公式；1(2)设bn=,求数列bn的前n项和Tn.anan+19 . (2018南昌摸底调研)已知数列an的前n项和Sn=2n+1-2,记bn = a

10、nSn(nC N*).(1)求数列an的通项公式；(2)求数列bn的前n项和Tn.参考答案：1解当n=1时，ai=Si= 1;p)2+ nn一 2+ n一1当 n>2 时，an= Sn Sn 1= " -=n.又a1=i也满足an = n ,故数列an的通项公式为an= n.(2)由知 an=n,故 bn=2n+ (-1)nn.记数列%的前2n项和为T2n,则 T2n=(21+22+ - + 22n)+( 1 + 2 3+4+ 2n).iE A=21+22+ + 22n, B = - 1 + 2- 3+4- - +2n,o A 22n则 A= = 22n+l-2,1-2B= (

11、-1 +2)+(-3 + 4) + - + -(2n-1)+2n = n.故数列%的前 2n 项和 T2n=A + B = 22n，1+ n-2.2.解析：选C令数列an的前n项和为Sn,则S20= ai + a2+a3+ a20= 2(1 + 2+31111"1 .c 1+ +20)- 2+22+ 於+产=420 1产=419+/.3 .解析：选C 由题意可知，数列a2n是首项为1,公比为2的等比数列，数列a2n-1是首项为1,公差为2的等差数列，故数列an的前20项和为工、二2 +10X1+10；9 X21 22=1 123.选 C.4 .解(1)设等差数列的公差为d,则由题意可

12、得a1+2d=7,2a1 + 10d=26,解得a1= 3, d=2.所以 an = 3+2(n 1) = 2n+ 1.(2)因为Cn =anan+12n+ 1 2n+ 3 '所以cn=21_12n+ 1-2n + 31 1 _1_ n2 3 2n+ 3 - 6n + 9.所以1an+ 3 an+41n n+ 11 _ 1 n n+1”,1111111所以 Tn=2 3 5+5-7+ 2nZ7-2nZ315 .解析由f(4)=2可得4"= 2,解得“=2,因此数列1， 一，的刖n项和为an+3 an+42q 2 3 n n 1- n 1C.7.解：(1)设等比数列an的公比为

13、q(q>0).-2a1, a3,3a2成等差数列， 2a3= 2a+3a2,即 2a1q2= 2a+3aq,-3q-2=0,解得 q= 2 或 q= /舍去)，an = 8X 2n 1 =2n + 2.111 11(2)由(1)可得 bn = ZnT2= p- I Q ,nlog22 n n+ 2 2n n+ 2 Sn = bi + b2+ bs+ + bn11111111=-1 -+ - + - -+ , + 232435 n n+21 . 111- 1 -I-2 2 n+1 n+ 2=3_1 1 ! 14 2 n+1 n+23 2n+ 3-4 2 n + 1 n+28解设an的公比为

14、q, 由题意知:ai(1 + q) = 6, a？q=aiq2.又 an>0,解得 a1 = 2, q = 2, 所以an=2n.由题意知，2n + 1S2n + 1 =bl + b2n+12(2n + 1 )bn+i,又 S2n+1 = bnbn + 1, bn+1 0,所以 bn=2n + 1.2n + 12n2n 1 2n + 1+ '" + pn 1 + -2-'3因此 Tn= C1 + C2+ , - - + 6 = 5 +3_ 5_ Z 2n 1 2n+1又2"Tn= 22+23+ 2，+ 2n + 2n+1 ，两式相减得2n+ 1 5 2

15、n+ 52n+1 = 2 - 2" i ，13 1,1 . . . ,2n+1 3 彳2"=2+ 2+22 + 2n ,I 一 2”十二2十一后二【、丁 c 2n + 5所以 Tn= 5 -ri .9 .解：由本例解析知 an= 2n, bn= 2n + 1,故 Tn= 3X 21+ 5X 22+ 7X 23+ + (2n + 1) X 2n,2Tn= 3X 22+ 5X 23+ 7X 24+- + (2n+1)x2n+1,上述两式相减，得，一 Tn=3 X 2 + 2 X 22 + 2 X 23+ - - +2 X 2n-(2n+1)2n+1o d nn 1=6+ 2(2

16、n+ 1)2n+l= (1-2n)2n+l-2得 Tn= (2n-1)X2n + l+2.10 .解：设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.由已知 b2+b3= 12,得 bi(q+q2)= 12,而 bi=2,所以 q2+q-6=0.因为q>0,解得q= 2,所以bn = 2n.由 b3=a4-2ai,可得 3d ai = 8. 由 Sii=Wb4,可得 ai+5d=16.联立，解得ai= 1, d=3,由此可得an= 3n-2.所以an的通项公式为an=3n-2, bn的通项公式为bn=2n.(2)设数列a2nbn的前n项和为Tn,由a2n=6n2,有Tn = 4X 2+

17、 10X 22+ 16X 23+ + (6n-2)X 2n,2Tn=4X 22+ 10X 23+ 16X 24+ + (6n- 8)X 2n+(6n - 2) x2n+1,上述两式相减，得-Tn = 4 X 2 + 6 X 22 + 6 x 23+ + 6X 2n-(6n - 2) X 2n+112X 12n1-2-4-(6n-2)X2n+1=-(3n-4)2n+2- 16,得 Tn= (3n-4)2n+2+ 16.所以数列a2nbn的前n项和为(3n-4)2n+2+16.练习：1 .解析：选 B an= F I =1,故 Sn = n ,令 Sk= Vk= 9,解得 k= 81,Vn+n-1

18、故选B.2 .解析：选 A ai + a2+ as+ a4+ as+ ae+ a7+ as+a9+aio= - 1 + 4-7+10-13+16- 19 + 22 25+28=5X 3= 15,故选 A.9 1 / i _ q63 .解析：选C 设an的公比为q,显然qwl,由题意得 .二=7，所以1十i - q i - q=9,得q=2,所以 J是首项为1,公比为1的等比数列，前5项和为an21- 1 * * * * 52_ _ 31F=76.-2a1+3d=5,4 .解析：选D 设数列an的公差为d,由题意可得a1+6d= 11a1 = - 1,? and=2=2n 3? bn =( l)

19、n(2n - 3)? Sioo = ( ai + a2)+ ( a3+ a4)+ + ( a99+ aioo)= 50X 2 =100,故选D.5 .解析：选C2n+ 1,1 n-2-=1+ 2 'Tn = n + 1 -T10+ 1 013= 111产+1 013=1024 270,又 m>0+ 1 013,.整数m的最小值为1 024.6.解析：设所求的前n项和为Sn,Sn=(1 + 2+3+n)+ 2+4+n n+ 11 '2 1-2n2n11.22n1-21-28.解:(1)设数列an的公差为d,- a2= 3, S4= 16,-a1 + d=3,4a1+6d=16,解得 a1= 1 , d=2. - an = 2n 1.(2)由题意知，bn =2n- 1 2n+-2 2n 1 2n + 1 Tn = b1 + b2+ + bn111111=2 1 -3 + 3-5 + 2n 厂2n+1=1/2