省级联考2018年广东省高考数学一模试卷

1、2018 年广东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题 5分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1. 已知集合 A=x| - K1 -x1, B=x|x 2V 1,则 AH B=（）A. x| - 1x 1 B. x|0 x1 C. x|x 1D. x|0 x0, b0）的一个焦点，点F到C的一条渐近线的距离为2a,则双曲线C的离心率为（）A 2 B C D 26 的展开式中，x3 的系数为（）A 120 B 160 C 100 D 807 如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（

2、）A. 48+8 兀 B. 96+8 兀 C. 96+16 兀 D. 48+16 兀8 已知曲线，则下列结论正确的是（ ）A.把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称B.把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称C.把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称D.把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称9 大衍数列，来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中， 曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数 列题.其规律是：偶数项是序号平方再除以2,奇数项是序号平方减1再除以

3、2, 其前10项依次是0, 2, 4, 8, 12, 18, 24, 32, 40, 50,如图所示的程序 框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个中，可以先后填 入()A. n是偶数，n1100 B. n是奇数，n1100C. n是偶数，n100 D. n是奇数，n10010. 在4ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若A二,且 2bsinB+2csinC=bc+a .则 ABC勺面积的最大值为()A. B. C. D.11 .已知抛物线C: y2=x, M为x轴负半轴上的动点，MA MB为抛物线的切线， A, B分别为切点，则的最小值为()A. B. C.

4、 D.12 .设函数，若互不相等的实数 a, b, c, d满足f (a) =f (b) =f (c) =f (d), 则2a+2b+2c+2d的取值范围是()A. B. (98, 146) C. D. (98, 266)二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13 .已知单位向量，的夹角为30 ,则|-|=.14 .设x, y满足约束条件，则z=x+y的最大值为.15 . 已知 sin10 +mcos10 =2cos140 ,贝U m=.16 .如图，圆形纸片的圆心为 O,半彳全为6cm,该纸片上的正方形 ABCD勺中心 为 O, E, F, G H 为圆 O上的点， ABE

5、ABCF5 CDG ADH别是以 AB, BC, CD DA为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以 AB, BC, CD DA为折 痕折起 ABE ABCF ACDG AADH使得E, F, G H重合，得到一个四棱锥.当 该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为 .三、解答题：共70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 第 17-21 题为必考题，每道试题考生都必须作答. 第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17 .（分）已知公差不为零的等差数列an满足a1=5,且a3, a6, aii成等比数歹！J.1）求数列a n

6、的通项公式；（2）设，求数列bn的前n项和S.18 （分）“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号用户只需以运动手 环或手机协处理器的运动数据为介， 然后关注该公众号， 就能看见自己与好友每50 人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：10000 以上步数/步 0 30003001 6000 6001 80008001 10000男生人数/12715人女性人数/0379人规定：人一天行走的步数超过8000 步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈 怠性”（ 1）以这 50 人这一天行走的步数的频率代替1 人一天行走的步数发生的概率，记X表示随机抽取3人中被系统评为“积极性”的人数，求

7、 P （Xy的概率.19 .（分）如图，在直角梯形 ABCDfr, AD/ BC, AB BG 且 BC=2AD= 4 E, F 分 别为线段AB, DC的中点，沿EF把AEFDM起，使AE! CF,得到如下的立体图形.（1）证明：平面 AEFDL平面EBCF(2)若BDEG求二面角F-BD- C的余弦值.20 (分)已知椭圆的离心率为，且C 过点( 1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线l与椭圆C交于P, Q两点(点P, Q均在第一象限)，l与x轴，y 轴分别交于M, N两点，且满足(其中O为坐标原点).证明：直线l的斜率为定 值21 .(分)已知函数 f (x) = (x2) ex+a (l

8、nx x+1).(1)讨论f (x)的导函数f (x)零点的个数；(2)若函数f (x)的最小值为-e,求a的取值范围.(二)选考题：共10 分 . 请考生在22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选修 4-4 ：坐标系与参数方程22 .(分)在直角坐标系xOy中，圆C: (x-2) 2+ (y-4) 2=20,以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，Q: 8=.( 1)求 C1 的极坐标方程和C2 的平面直角坐标系方程；(2)若直线G的极坐标方程为8=,设C2与。的交点为Q M G与。的交点为 O N,求zOMN勺面积. 选修 4-5 ：不等式选讲2

9、3 .已知函数 f (x) =3|x a|+|3x+1| , g (x) =|4x - 1| - |x+2| .(1)求不等式g (x) 6的解集；(2)若存在Xi , x2 R,使得f (xi)和g (x2)互为相反数，求a的取值范围.2018 年广东省高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题 5分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1. 已知集合 A=x| - K1 -x1, B=x|x 2V 1,则 AH B=()A. x| - 1x 1 B. x|0 x1C. x|x 1D. x|0 x2【分析】解不等式得出集

10、合A、B,根据交集白定义写出AH B.【解答】解：集合 A=x| - 11-x1=x0 x2,B=x|x 2 1=x| - 1 x 1,则 AH B=x|0 x0, b0)的一个焦点，点F到C的一条渐近线的距离为2a,则双曲线C的离心率为()A 2B C D 2【分析】根据题意，由双曲线的几何性质，分析可得b=2a,进而可得c=a,由双曲线的离心率公式计算可得答案【解答】解：根据题意，F是双曲线C: - =1 (a0, b0)的一个焦点，若点F到C的一条渐近线的距离为2a,则b=2a,则 c=a，则双曲线C 的离心率e=，故选：C【点评】 本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的焦点到渐近线的距

11、离为 b6 的展开式中，x3 的系数为（）A 120 B 160 C 100 D 80【分析】利用多项式乘以多项式展开，然后分别求出两项中含有x3 的项得答案【解答】解：=，x （1+2x） 5的展开式中含x3的项为，的展开式中含x3 的项为的展开式中，X3的系数为40+80=120.故选：A【点评】 本题考查二项式系数的性质， 关键是熟记二项展开式的通项， 是基础题7 如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. 48+8 兀 B. 96+8 兀 C. 96+16 兀 D. 48+16 兀【分析】由三视图可得，该几何体是长方体截去两个半圆

12、柱，即可求解表面积【解答】解：由题意，该几何体是长方体截去两个半圆柱，二表面积为：4X6X2+2 （4X6 4兀）+2X27tx 4=96+3兀，故选： B【点评】 本题考查了圆柱和长方体的三视图， 结构特征， 面积计算， 属于基础题8 已知曲线，则下列结论正确的是（ ）A.把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称B.把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称C.把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称D.把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称【分析】直接利用三角函数的图象平移逐一核对四个选项得答案【解答】解：把C 向左平移个单位长度，可得函数解析式为 y=sin2 （

13、x+） - =sin （2x+） =cos2x,得到的曲线关于 y 轴对称，故A 错误；把 C 向右平移个单位长度，可得函数解析式为 y=sin2 (x-) - =sin (2x-) =-cos2x,得到的曲线关于 y 轴对称，故B 正确；把 C 向左平移个单位长度，可得函数解析式为y=sin2 (x+) - =sin (2x+),取x=0,得y=,得到的曲线既不关于原点对称也不关于y轴对称，故C错误；把C向右平移个单位长度，可得函数解析式为 y=sin2 (x-) - =sin (2x-), 取x=0,得丫=-,得到的曲线既不关于原点对称也不关于 y轴对称，故D错误. .正确的结论是B.故选

14、：B【点评】本题考查y=Asin (x + 小)型函数的图象变换，考查y=Asin (x + 小) 的图象和性质，是基础题9 大衍数列，来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理 数列中的每一项， 都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和， 是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题 其规律是： 偶数项是序号平方再除以 2， 奇数项是序号平方减1 再除以 2，其前10项依次是0, 2, 4, 8, 12, 18, 24, 32, 40, 50,如图所示的程序 框图是为了得到大衍数列的前100 项而设计的， 那么在两个“”中， 可以先后填入(

15、)A. n是偶数，n100 B. n是奇数，n100C. n是偶数，n100 D. n是奇数，n100【分析】模拟程序的运行过程，结合退出循环的条件，判断即可【解答】解：n=1， s=0，n=2， s=2，n=3， s=4，n=99， s= ，n=100， s=，n=101100,结束循环，故选：D【点评】 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题10 在 ABC 中 ， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c ， 若 A=， 且 2bsinB+2csinC=bc+a .则 ABC勺面积的最大值为（）A B C D【分析】由正弦定理

16、和余弦定理即可求出 a二,再由余弦定理可得：b2+c2=3+bc, 利用基本不等式可求bc2bc （当且仅当b=c时，等号成立），.2bc3+bc,解得 bc3,& AB（=bcsinA=bc故选：C【点评】 本题主要考查了余弦定理， 基本不等式， 三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题11.已知抛物线C: y2=x, M为x轴负半轴上的动点，MA MB为抛物线的切线,A, B分别为切点，则的最小值为(A B C D【分析】设切线MA的方程为x=ty+m,代入抛物线方程得y2 - ty - m=0由直线 与抛物线相切可得 =t2+4m=0分别求出A B, M

17、的坐标，根据向量的数量积和 二次函数的性质即可求出【解答】解：设切线MA的方程为x=ty+m,代入抛物线方程得y2-ty - m=Q 由直线与抛物线相切可得 =t2+4m=0则 A (,), B (,-),将点A的坐标代入x=ty+m,得m=-,-M(- , 0),；二(,)?(, 7 =-=2_ ) 2一,则当t2=,即t=时，的最小值为-故选：C【点评】 本题考查了直线和抛物线的位置关系， 以及向量的数量积和二次函数的性质，属于中档题12 设函数，若互不相等的实数a， b， c ， d 满足 f ( a) =f ( b) =f ( c ) =f ( d) ，则 2a+2b+2c+2d 的取

18、值范围是()A B ( 98， 146) C D ( 98， 266)【分析】不妨设abc2 时，f (x) =x2 11x+30,可得 c+d=11，令 x2- 11x+30=2,解得x=4或7,由图象可得存在a, b, c, d使得f (a) =f (b) =f (c) =f (d),可得 4c5,即有 16V2c32,贝U 2a+2b+2c+2d=2+2C+2d=2+2c+,设t=2c,则t+在(16, 32)递减，可得 g (t) =t+ (96, 144), 则2+2c+的范围是( 98, 146).故选：B.【点评】本题考查代数式取值范围的求法， 考查函数性质等基础知识，考查运算

19、求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13 .已知单位向量，的夹角为30 ,则|-|= 1 .【分析】根据单位向量的夹角为 300即可求出的值，从而可求出的值，进而得 出的值.【解答】解：单位向量的夹角为30。；一 一 一故答案为：1.【点评】考查向量数量积的运算，以及单位向量的概念.14 .设x, y满足约束条件，则z=x+y的最大侑为 2 .【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最大值 即可.【解答】解：x, y满足约束条件的可行域如图， 则2=乂+丫经过可行域的A时，目标函数取得最大值， 由解得A (4,

20、- 2),所以z=x+y的最大值为：2.故答案为：2.【点评】本题考查线性规划的简单应用， 考查约束条件的可行域，判断目标函数 的最优解是解题的关键.15 . 已知 sin10 0 +mcos1(J =2cos140 ,贝U m=一 . 【分析】由题意可得m=,再利用三角包等变换求得它的值. 【解答】解：由题意可得m=-,故答案为：-.【点评】本题主要考查三角包等变换，属于中档题.16 .如图，圆形纸片的圆心为 O,半彳全为6cm,该纸片上的正方形 ABCD勺中心 为 O, E, F, G H 为圆 O上的点， ABE ABCF5 CDG ADH别是以 AB, BC, CD DA为底边的等腰三

21、角形.沿虚线剪开后，分别以 AB, BC, CD DA为折 痕折起 ABE ABCF ACDQ AADH使得E, F, G H重合，得到一个四棱锥.当 该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为 .【分析】根据题意，设正方形ABCD勺边长为x, E, F, G, H重合，得到一个正 四棱锥，四棱锥的侧面积是底面积的 2倍时，即可求解x,从而求解四棱锥的外 接球的体积.【解答】解：连接OE交AB与I , E, F, G, H重合为P,得到一个正四棱锥，设 正方形ABCD勺边长为x.则 OI=, IE=6 -.由四棱锥的侧面积是底面积的2倍，可得，解得：x=4.设外接球的球心为Q半

22、彳全为R,可得OC= OP=.该四棱锥的外接球的体积V=故答案为： 【点评】本题考查的知识点是球的体积，其中根据已知求出半径是解答的关键三、解答题：共70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 第 17-21 题为必考题，每道试题考生都必须作答. 第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分.17 .(分)已知公差不为零的等差数列an满足a1=5,且a3, a6, aii成等比数列.( 1)求数列a n 的通项公式；(2)设，求数列bn的前n项和S.【分析】(1)公差d不为零的等差数列an满足ai=5,且a3,a6,aii成等比数歹1.可 2得二次?21

23、1,即(5+5d) = (5+2d) (5+10d),解得：d.(2) = (2n+3) ?3n 1.利用错位相减法即可得出.【解答】解：(1)公差d不为零的等差数列an满足a1=5,且a3, a6, a11成等比 数列；=a3?aii,即(5+5d) 2= (5+2d) (5+10d),化为：d2- 2d=0,解得：d=2.an=5+2 (n-1) =2n+3.(2) = (2n+3) ?3n1.数列bn的前 n项和 &=5+7X3+9X 32+ (2n+3) ?3n 1. .3S=5X3+7X 32+ (2n+1) X 3n 1+ (2n+3) X 3n, - 2&=5+2 (3+32+3

24、n1) - ( 2n+3) 乂 3n=5+2X - ( 2n+3) 乂 3n, 解得 &= (n+1) 3n- 1.【点评】 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、 错位相减法， 考 查了推理能力与计算能力，属于中档题18 (分)“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介， 然后关注该公众号， 就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现现随机选取朋友圈中的 50 人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：10000 以上步数/步 0 30003001 6000 6001 80008001 10000男生人数/127

25、15人女性人数/0379人规定：人一天行走的步数超过8000 步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈 怠性”（ 1）以这 50 人这一天行走的步数的频率代替1 人一天行走的步数发生的概率，记X表示随机抽取3人中被系统评为“积极性”的人数，求 P （Xy的概率.【分析】（1）由题意得被系统评为“积极性”的概率为 二,XB （3,）,由此能求 出P （Xy 包含 x=3, y=2 ，x=3, y=1 ，x=3, y=0 ，x=2, y=1“x=2, y=0 ，x=1, y=0 ，分别求出相应的卞K率，由此能求出P (xy).【解答】解：(1)由题意得被系统评为“积极性”的概率为 二,XB (3,)

26、,.P (Xy 包含 x=3, y=2 ，x=3, y=1 ，x=3, y=0 ，x=2, y=1“x=2， y=0“，“x=1， y=0“，P( x=3， y=2) =，P( x=3， y=1) =，P (x=3, y=0) =x=,P (x=2, y=1) =x=,P (x=2, y=0) =x=,P (x=1, y=0) =x =, . P (xy)=.【点评】 本题考查概率的求法， 考查离散型随时机变量的数学期望的求法， 考查 二项分布、 互斥事件概率加法公式等基础知识， 考查运算求解能力， 考查函数与 方程思想，是中档题19.(分)如图，在直角梯形 ABCDfr, AD/ BC, A

27、B BG 且 BC=2AD= 4 E, F 分 别为线段AB, DC的中点，沿EF把AEFDM起，使AE! CF,得到如下的立体图形.(1)证明：平面 AEFDL平面EBCF(2)若BD!EG求二面角F-BD- C的余弦值.【分析】(1)根据AE! EF, AE CF可得AE1平面BCFE故而平面 AEFDL平面 EBCF；(2)建立空间坐标系，根据 BDL EC求出AE,求出平面BDF和平面BCD的法向 量即可得出二面角的余弦值【解答】(1)证明：二.在直角梯形 ABCDfr, AD/ BG AB! BGE, F分别为线段AB, DC的中点，EF/ AD, a AE EF, 又 AE! CF

28、,且 EFA CF=p .AE!平面 EBCF v AE?平面 AEFD 平面AEFDL平面EBCF(2)解：由(1)可得EA EB, EF两两垂直，故以 E 为原点建立空间直角坐标系， (如图) 设 AE=m 则 E (0, 0, 0), A (0, 0, nj), B ( 0, 0),F（ 0， 3， 0） ， C（ m， 4， 0） ， D（ 0， 2， m） ，.= （ - m, 2, mj）,. DBL EC, . . m+8=0, . m=2= （-2, 2, 2）,设面DBF的法向量为，则，即，令 y=4 可得： =（ 3， 4， ） ，同理可得平面CDB的法向量为， cos=.

29、由图形可知二面角F-BD- C为锐角，二面角F-BD- C的余弦值为.【点评】 本题考查了面面垂直的判定， 二面角的计算与空间向量的应用， 属于中 档题20 .（分）已知椭圆的离心率为，且 C过点.（ 1）求椭圆 C 的方程；（2）若直线l与椭圆C交于P, Q两点（点P, Q均在第一象限），l与x轴，y 轴分别交于M, N两点，且满足（其中O为坐标原点）.证明：直线l的斜率为定 值【分析】（ 1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程、a， b， c 的关系，解方程可得a, b,即可得到所求椭圆方程；（2）由题意可设直线l的方程为y=kx+mi, （mr0）, P, Q的坐标为（x1，y1），（X

30、2, y2） ，联立椭圆方程，消去y ，可得x 的方程，运用判别式大于 0 和韦达定理，以及三角形的面积公式，化简整理，解方程可得直线的斜率，即可得证【解答】解：（1）由题意可得=,+=1, a2 - b2=c2,解得a=2， b=1， c=，故椭圆C的方程为+y2=1;（ 2）证明：由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+nn, （m 0）,P, Q的坐标为(xi, yi), (x2, y2),令 x=0,可得 y=n)IP |MO|=|m| ,令 y=0,可得 x二，IP|NO|=| ,则 Sapm(f|MO|?|y i| , Saqmf|MO|?|y 2),Sap

31、n(f|MO|?|x i| , Saqnf|NO| ?|x 2| ,由，可得二，即有-2=-2,可得二，即二(LX,由y=kx+m代入椭圆+y2=1,可得(1+4kj x2+8kmx+4(m - 1) =0,则=64k?吊-16 (1+4k2) (m- 1) 0,即为 1 +4k2- m0,Xi+X2= - , X1X2=, 22yiy2= (kxi+n) (kx2+n) =kxiX2+km(X1+X2) +m=k2?+km ( - ) +m一 ?可得二k?,即有 4kJi (0),可得k=-(舍去)，则直线I的斜率为定值.【点评】本题考查椭圆方程和性质，主要是离心率和基本量的关系，考查直线方

32、 程和椭圆方程联立，运用判别式和韦达定理，同时考查三角形的面积的求法， 以 及化简整理的运算能力，属于中档题.21 .(分)已知函数 f (x) = (x- 2) ex+a (Inx - x+1).(1)讨论f (x)的导函数f (x)零点的个数；(2)若函数f (x)的最小值为-e,求a的取值范围.【分析】(1)令f (x) =0可得x=1或xex - a=0,讨论a的范围得出方程xex a=0的根的情况，从而得出结论；( 2)讨论a 的范围，分别得出 f ( x )的最小值，从而得出结论【解答】解：(1) f (x) = (x-1) ex+a ( 1) = (x0),令 g (x) =xe

33、x- a (x0), g (x) = (x+1) ex0, ，- g (x)在(0, +oo)上单调递增，g (x) g (0) =- a. 二当a&0或a=e时，f ( x) =0只有1个零点，当0ae时，f ( x)有两个零点.(2)当a00时，xex-a0,则f (x)在x=1处取得最小值f (1) =- e,当a0时，y=xex-a在(0, +)上单调递增，则必存在正数 x0,使得 xce - a=0,若ae,则x 1,故函数f (x)在(0, 1)和(x, +oo)上单调递增，在(1, x0)上单调递减，又f (1) =- e,不符合题意；若 0ae 时，则 0x01,设正数 b=eC (0, 1),则 f (b) = (b 2) eb+a (lnb b+1) aln (e b+1) =a ( 一 ) =- e- ab e, 不符合题意综上，a的取值范围是0.【点评】 本题考查了函数单调性判断与最值计算， 考查函数零点个数与单调性的关系，属于中档题(二)选考题：共10 分 . 请考生在22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选修 4-4 ：坐标系与参数方程22 .(分)在直角坐标系xOy中，圆G: (x-2)