圆锥曲线大题20道(含答案)

1、1.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2, 0),右顶点为1r(J3,0)(1)求双曲线C的方程;(2)若直线l : y kx J2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且OAOB2 (其中。为原点).求k的取值范围.解：(I)2设双曲线方程为x7 a2 y b11 (a 0,b 0).由已知得a73,c2,再由 a2b222,得b21.故双曲线2C的方程为工31.(H)将2y kx. 2代入31 得(1 3k2)x2 6.2kx9 0.由直线l与双曲线交于不同的两点得-21 3k 0,(6.2k)2 36(1 3k2)36(1k2)0.即 k21 且k21. d3设 A(XA,yA),B(X

2、B,yB),则xaxb6.2k2, xaxb1 3k291.，01,由OA OB2#xaxb yAyB 2,3k而 xaxbYaYb xaxb(kxA 2)(kxB . 2) (k21)xAxB2k(xAXB )93k2-2k- 16.2k 3k2 72223k2 3k2 1日 3k2 7一23k2 12,即3k23k2 10,解此不等式得1 k2 3.3由、得k2 1.故k的取值范围为3(1, 1)3.3八(,1).32 x2.已知椭圆C：二十a2J=1 (a>b>0)的左.右焦点为 Fi、F2,离心率为e. b2直线l : y = ex + a 与 x 轴.y轴分别交于点 A

3、B, M是直线l与椭圆C的一个公共点,P是点F1关于直线l的对称点,设AM =入AB .(I)证明：入=1 e2;(n)确定入的值，使得 PF1F2是等腰三角形(I)证法一：因为A、B分别是直线l ： y ex a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是(汐.由y2 x-2 aex a, y211,所以点M的坐标是b2c,)a即b2解得证法二:因为A、B分别是直线设M的坐标是(xo, yo),由AM/ a 、(x。，y。)e所以Xoe( 1)V。a.因为点M在椭圆上，所以2 x。a即目1)2解得(n)2(1)e2e2 1c,b2这里cja1由AMy ex(a,a),e2出1 b2AB#( c

4、a,W e a(a,a).ea与x轴、y轴的交点，所以 A、B的坐标分别是(,0), (0, a).e(a)2b21,所以(1)22e(1)20,1 e2.解法一：因为PF±l ,所以/PFF2=90°+ /BAF为钝角，要使 PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|二|F后| ,rr 1 .即 一 | PF1 | c.2设点F1至心的距离为d,事1由一| PF1 | d2|e( c)0 a |2| a ec|/曰 1 e2得 9e.2-1 e所以e2I,于是31 e23即当2 一，.一 ,2时，PF1F2为等腰三角形.3解法二：因为 PFH ,所以/ PFiF2=90

5、76;+ /BAF为钝角，要使 PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F 1F2I ,设点P的坐标是(x0,y0)y。1则x。cey。x。ce22a.解得XoV。e2 3-2 c c，e 122(1 e2)ae2 1(e2由 |PF1|=|F 1F2I 得J Je3)c1c22(1e2)a24c2,c(a21)2两边同时除以4a2,化简得(e2 1) e 1从而即当3.设 x, ya xi (y2,一时，3PF1F2为等腰三角形R , i、j为直角坐x轴、y轴正方向上的单位向量，若<13)j, b xi (y 、j ,且 a4.(I)求点P(x, y)的轨迹C的方程;(n)若A、B为

6、轨迹C上的两点，满足AM MB ,其中 M (。，J3),求线段AB的长.启思4.已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于 A、B两点，OA OB与a (3, 1)共线.(I)求椭,圆的离心率;(n)设 M为椭圆上任意一点，且 OMOA OB ( , R),证明22为定值.解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力.满分12分.22(1)解：设椭圆方程为、4 1(a b 。)才仁,。) a b22则直线AB的方程为y x c,代入、4 1,化简得a2b2222、222 22 2(a b )x

7、2a cx a c a b 0.2 2222.2令 A(X1,y1),B(X2,y2),则”,X1X2力由OAOB (x1x2,y1 y2),a (3, 1),OA OB与a共线,3(yiv2(XiX2)0,又 yiXic, y2X23(xiX22c)(X1 X2) 0,x1x2即 2a2ca2 b23c,所以222a2 3b2.,a2 b23 c.2, 6a53故离心率e(II )证明:(1)知a223b2,所以椭圆三 a2 y b21可化为3y2 3b2.设OM(x, y),由已知得(x, y) (X1,y)(X2, y2),X1X2,M (x, y)在椭圆上， (x1x2.X1X2)23

8、(yy2)2 3b2.即 2(X123y2)2(x13y1) 2(XiX23yiy2) 3b2.由(1)知 X1X23c 22 ,a3c2,b 2变式新题型3抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，准线与x轴相交于点A( - 1, 0),过点A的直线与抛物线相交于P、Q(1)求抛物线的方程;(2)若FP?FQ=0,求直线PQ的方程;(3)OF FP t,oM OP 设AP =入AQ (入1),点P关于X轴的对称点为 M证明：FM =-入FQ.6.已知在平面直角坐标系 xoy中，向量j (0,1), OFP的面积为2%；3,且 (I)设4 t 4由，求向量OF与FP的夹角 的取值范围;(II )设以原

9、点O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点 M,且|OF| c,t «3 1)c2,当|OP|取最小值时，求椭圆的方程7.已知M (0,2),点A在x轴上，点B在y轴的正半轴，点P在直线AB上，且满足,i|ipB , mA aP0.(I)当点 A在x轴上移动时，求动点 P的轨迹C方程；(n)过(2,0)的直线l与轨迹C交于E、F两点，又过E、F作轨迹C的切线11、l2，当11 l2,求直线l的方程.8.已知点C为圆(x 1)2Q在圆的半径 CP上，且2y 8的圆心，点 A (1,0), P是圆上的动点，点MQ AP 0, AP 2AM.(I)当点P在圆上运动时，求点 Q的

10、轨迹方程；(n)若直线y kx Jk2 1与(i)中所求点 Q的轨迹交于不同两点 F, H, O是坐标原点，I 23且一 OF OH ,求 FOHW面积 34已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过一一 一一一3.2,0、B 2,0 > C 1 -三点，2(I)求椭圆E的方程;(n)若直线l ： y k x 1 (k 0)与椭圆E交于M、N两点，证明直线 AM与直线BN的交点在直线x 4上.10.如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点。(I )设点P分有向线段AB所成的比为入，证明QP(QA

11、QB);(II)设直线 AB的方程是x2y+12=0，过A、B两点的圆C与抛物线在点 A处有共同的切线，求圆 C的方程。10.已知平面上一定点C( 1,0)和一定直线l:x4. P为该平面上一动点，作PQ 1,垂足为Q ,(PQ 2PC) (PQ 2 PC) 0.问点P在什么曲线上并求出该曲线方程;(2)点O是坐标原点， A、B两点在点P的轨迹上，若的取值范围.11.如图，已知E、F为平面上的两个定点|EF |6 , |FG | 10,且2EH2(G为动点，P是HP和GF的交点)(1)建立适当的平面直角坐标系求出点P的轨迹方程;(2)若点P的轨迹上存在两个不同的点A、B,且线段AB的中垂线与E

12、F(或EF的延长线)相交于一点C,(。为EF的中点).12.已知动圆过定点1,0 ,且与直线x1相切.(1)求动圆的圆心轨迹C的方程;(2)是否存在直线1 ,使1过点(0, 1),并与轨迹C交于P,Q两点，且满足OP OQ0若存在，求出直线1的方程；若不存在，说明理由13.已知 M (4,0), N(1,0)若动点 P满足 MNMP 6| NP|(1)求动点P的轨迹方C的方程；B(2)设Q是曲线C上任意一点，求 Q到直线l :x 2y 12 0的距离的最小值319 .如图，直角梯形 ABCEDK / DAB 90 , AD/ BC, AB=2, AD± ,2椭圆F以A、B为焦点且过点

13、D,(I )建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程；(n)若点 e满足EC 1 AB,是否存在斜率 2k 0的直线l与 椭圆F交于M、N两点，且|ME| |NE|,若存在，求K的取值范围；若不存在，说明理由。解(1)已知双曲线实半轴 ai=4,虚半轴bi=25,半焦距c=J16 206 ,，椭圆的长半轴 a=c=6,椭圆的半焦距 c尸ai=4,椭圆的短半轴b2=，62 42 V20 ,22.所求的椭圆方程为 x- y- 13620(2)由已知A( 6,0), F(4,0),设点P的坐标为(x, y),则AP (x 6,y),FP (x 4, y),由已知得22x y 136 202(x 6)(x

14、4) y2 03 则2x 9x 18 0 ,解之得x 或x 6 ,235 -3 5 -由于y>0,所以只可匕取x 于是y V3,所以点P的坐标为 73 9分222 2(3)直线 AP:x <3y 60 ,设点M是(m,0),则点M到直线AP的距离是又,点M在椭圆的长轴上，即，当m 2时，椭圆上的点到 M (2,0)的距离.22225x 49 2d (x 2) y x 4x 4 20 -(x -)15992又6 x 6 ，当x ©时，d取最小值15解。(1)由一 1 4 443 ,OF FP圻. " r 2*3 -|OF | | FP | sin ，得 |OF |

15、 |FP | -，由 cos-=22sin|OF | | FP |4得tan 返 3分t4 t 4V3 1 tan V30,，夹角 的取值范围是(一，一)4 3(2)设P(x°,y°),则FP(x° c,y°),OF (c,0).6分oF fP (X0 c,y0)(c,0) (X0 c)c t (,3 1)c2OF1 1y01 2 ,3 y04c3|OP| VXTT(底)2 4)2 M3c 竽 276 10分当且仅当73c 迪，即c 2日t,|OP|取最小值2遍,此时,OP (273,273) cOM (2 .3,2.3) (0,1) (2,3) 33

16、或 OM (2<3, 23) (0,1) (2, 1) 12 分3椭圆长轴a 4,b2 122a (2 2)2 (3 0)2(2 2)2 (3 0)2 89分或 2a (2 2)220)2.(2 2)( 120)171 .172,b1 .172故所求椭圆方程为162y121.或 x2917214分解：（I） op- OQ=0,1172则 X1X2+ y1y2= 0,又P、Q在抛物线上,y12= 2px1, y22=2px2,22y 1y2=- 4p2 ,yiy2一丁丁+ y1y2= 0,2p 2p|y 1y2| =4p2,又|y 1y2| =4, . 4p2=4(n )设 E(a,0 )

17、,直线PQ方程为x= my+ a ,联立方程组x= my+ a y = 2px消去 x 得 y22pmy- 2pa = 0y 1y2= _ 2pa ,设 F(b,0) , R(X3,y 3),同理可知:y1y3= 2pb ,由、可得y2=b ,y2 a若 TR= 3TQ 设 T(c,0),则有3分4分5分6分7分8分(x 3 c,y 3 0) = 3(x 2 c,y 2 0),10分一 y3_y3= 3y2即=3, d将代入，得b=3a.11分又由(I)知， OQ= 0 ,y iy2= - 4p2,代入,得_ 2pa= - 4 p 2a= 2p,13分b = 6p,故，在x轴上，存在异于 E的

18、一点F(6p,0),使得tR = 3TQ.14分注：若设直线PQ的方程为y = kx + b,不影响解答结果.(I)解：设 P (x, y)AP (x x y)前AP (X Xa , y) PB(x,yBy).2 分pB 得 xAI(Xa , 2) AP2x, yB(x Xa , y)2y.4分由 mA aP 0 得 x2y(y 0)(n)设 E(x1, y1), F(x2, y2)因为y',故两切线的斜率分别为由方程组2yk(x 2)当l1 l2时，Xi X2所以，直线l的方程是解：(I ) ; MF2 x 轴,_2_2|MFi|(2c)又e9得c2即mA (2x,2), aP (

19、x, y).8得 x2 2kx18(x 2)x1、 X210分4k 0 x1 x2 2k x1 x24k1 ，一一、|MF2| 一,由椭圆的定义得:2|MFi|.12 (2a 2)2 4c2 43 2-a42_ 24a 2a 3a ,1,6分4.所求椭圆2C的方程为士y21.4(n)由(I)知点 A（2,0）,点B为（0, 1）,设点P的坐标为（x,y）则pA (2 x, y),AB (2, 1),由m 4得一4，点P的轨迹方程为y 2x设点B关于P的轨迹的对称点为B'（xo,yo）,则由轴对称的性质可得:y 1Xo1 y0 12, 2Xo解得：x04 4my02m511丁点B'

20、;（Xo,yo）在椭圆上，点P的轨迹方程为y 2x/ 4 4m、22m 3、2()4()4,整理得55.31 或 y 2x -,2m2 m130解得m经检验y 2x 1和y 2x-都符合题设,2，满足条件的点 P的轨迹方程为y 2x31 或 y 2x 一2解（I）依题意，可设直线AB的方程为ykx m ,代入抛物线方程x2 4y得2x 4kx 4m 0.设A、B两点的坐标分别是（x1,y 1)、(x2,y 2),则 x1、x2所以 x1x24m.由点P （0, mm分有向线段AB所成的比为 ，x1x2又点Q是点P关于原点的以称点,是方程的两根。故点Q的坐标是（0, -m），从而QP(0,2m)

21、.QAQB 函， m)m)QP(x1x2，y1(QA QB) 2my12y2y2土x2(1(12 x24)m).)m(1 t)mx12m4=02m(x1 x2)2m(x1 x2)所以OP (QAQB).(n)由x 2y 124y,°,得点由x24y得y所以抛物线x1x2 4m4x24m 4m4x2B的坐标分别是(1-x, 22x 4y在点A处切线的斜率为 y6, 9)、(-4 , 4)。3。设圆C的方程是(x a)2 (y b)2则a(a66)213, (b 9)2(a 4)2(b 4)2.解之得23 22 ,(a224) (b 4)12523 c所以圆C的方程是(x -)22解：(

22、1)由(PQ 2pC)?(PQ 2pC)(y23T)0,得:21252 T212PQ 4PC0,(2分)设 P(x, y),则(x 4)2 4 (x 1)2 y20,化简得：2匕1,3(4分)t _ x2点P在椭圆上，其方程为4设 A( X, yi)、B'yz)2L 1.3由oA(6分)得：(xi 1,yi)(x2 1,y2) 0,即:OBxiV1(1)oC得:cAx2，八、(8分)0,所以，A、B、C三点共线.且 0,y2x2)(y2)23(9分)2江1,所以3(x2)2(y2)23(10 分)42(12 分)由-得：()x2()12，化简得：x2 丁一.3 5因为 2 x22,所以2 2.21 1解得：3所以的取值范围为,333解：(1)如图1,以EF所在的直线为x轴，EF的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系。由题设2EHEG , HP? EG 0.|PG| |PE|,而逢|市E|，Pg| 2a.二点P是以E、F为焦点、长轴长为10的椭圆,2故点P的轨迹方程是： 252匕116(2)如图 2 ,设 A(xy1)，B(x2,y2), C(x0,0),一 x1即(x1、222x0)Vi(x2x0)2y2又A、2红2522江1,红16252红116即y：2y2“ 16216 25x1，16 x22-25代入整理得