2017年辽宁省高考数学试卷(理科)含答案

1、一、选择题：本题共项是符合题目要求的。2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有1.3-=( 1 iA. 1 +2iB. 1 -2iC. 2 iD. 2-i2.设集合A=,1,2,4 )B - lxx24x+m=0.若 AB =1,则 B =()A, 1,-3B.11,04C. i1,3)D. i1,5)2x 3y -3 < 05 .设x, y满足约束条件2x3y+3之0,则z = 2x + y的最小值是（）y 3-0A. -15B. -9C. 1D. 96 .安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成 1项，每项工作由1人

2、完成, 则不同的安排方式共有（）A. 12 种 B. 18 种 C. 24 种 D. 36 种7 .甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们SS+a K四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成a 二一a绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（）A.乙可以知道四人的成绩B. 丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩8 .执行右面的程序框图，如果输入的a = T,则输出的S=（）A. 2B. 3C. 4D. 52X9.若双曲线C: ab2=1 (a>0,22b >

3、0）的一条渐近线被圆（x 2 ） + y =4所截得的弦长为2,则C的离心率为（）A2B.、.3C.2D过3310.已知直三棱柱 ABCAiBCi中,ZAB C =120 AB=2, BC = CC1 = 1 ,则异面直线 g 与BG所成角的余弦值为（）A.bH511.若x = 2是函数f （x） =（x16.已知F是抛物线C: y2 =8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N ,若M为FN的中点，则FN =三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第 1721题为必做题， 每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。+ax1）e"

4、的极值点，则f（x）的极小值为（）一 §3A. -1B. -2eC. 5eD.112.已知 MBC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA （PB + PC）的最小 值是（）A. -2B. C. D. T23二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。13 .一批产品的二等品率为 0.02 ,从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D（X）=.14 .函数 f （x = sin2 x + J3cosx-3 （ x w 。, 三 L 的最大值是 4 IL 2 .一一115 .等差数列Ln的前项和为0, 23=3, S4=10,则工m

5、.k=1 Sk2 BABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sin(A+C) =8sin -求cos B(2)若 a+c=6 , AABC 面积为 2,求 b.18. (12 分)淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)某频率直方图如下:0*0400.0340.0320 m4 0 mo0.014 0.01225 30 35 40 45 50 55 60 65 70 海产身螃旧养渲法(1) 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于 50kg,估计A的概

6、率;(2) 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:箱产量50kg箱产量=50kg旧养殖法新养殖法(3) 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01 )附：P(K2 - k) 0.0500.0100.0013.8416.63510.828 E 是 PD 的中点22n(ad-bc)K (a b)(c d)(a c)(b d)19. (12 分)如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面三角形 BCD, AB - BC -AD, . BAD -/ABC -90°, 2(1)证明：直线CE/平面PAB

7、,求二面角M-AB-D(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为45° 的余弦值2°. (12 分)2X 2设。为坐标原点，动点 M在椭圆C: 一 + y2=1上，过M做X轴的垂线，垂足为 N,点P2满足 NP = /2NM .(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x=-3上，且OP PQ =1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.21 . (12 分)已知函数 f (x) =ax2axxln x且 f (x) >°.(1)求 a；(2)证明：f (x)存在唯一的极大值点 x°,且.e” < f (x°

8、 )< 2,.(二)选考题：共1°分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一 题计分。22 .选彳4-4:坐标系与参数方程(1°分)在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的 极坐标方程为 Pcos日=4.(1) M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足OM OP =16，求点P的轨迹C2的 直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为(2, 三)，点B在曲线C2上，求AOAB面积的最大值.3223.选彳4-5:不等式选讲(10分)已知 a0,b>0,a3 +b3 =2 .证明：(1) (a+bla5+

9、b5叵4错误！未找到引用源。；(2)错误！未找到引用源。2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国n卷）理科数学解析3 i J _2 i1 i 1 i 1 -i2. C【解析】1是方程x2 4x +m =0的解，x =1代入方程得 m =3-1 x2 -4x +3 =0 的解为 x =1 或 x =3 , B = 1 , 33. B设顶层灯数为 a1 , q=2, S7 =a!l二2_)= 381 解得 a1 =3 .1 -24. B【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半.5. A一 一 1、，21V =V、V上tt 3 10 22_2Tt 3 6 =63 兀目标区域

10、如图所示，当直线y= -2x+ z取到点（-6, -3"，所求z最小值为-15 .6. D【解析】只能是一个人完成 2份工作，剩下2人各完成一份工作.由此把4份工作分成3份再全排得C4 A；=367. D【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话.8. B【解析】9. A【解析】10. C【解析】甲不知自己成绩一乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）一乙看了丙成绩，知自己成绩一丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己 成绩.S=0, k =1 , a=_1代入循环得， k =7时停止循环， S=3.取渐近线y=bx,化成一般式bxay=0 ,圆心（2,

11、 0 ）到直线距离为 甚=2 aa b222付 c =4a , e =4) e=2M , N , P分别为AB , BBi , BQ中点，则ABi, BCi夹角为MN和NP夹角或其补角（异面线所成角为0 , - I）,21512可知 MN = ABi =,NP = BG =, 2222作BC中点Q ,则可知 PQM为直角三角形.1PQ =1 , MQ AC2 ABC 中，AC MH NP =AB2 +BC2 -2AB BC cos/ABC1.= 4+12 31 1一力7, ac则 MQ =?,则 MQP 中，MP =q'MQ2 +PQ2 =号2_ 2_2MN NP -PM105则PMN

12、 中，cos/PNM =又异面线所成角为0,-则余弦值为 任.,2511. A【解析】12. B【解析】在线段AD上, 贝 U2PD PAmin=2 PA PDf x = x2，a 2 x a _1 ex L贝U f 1-2 )=4-2(a +2 )+a-1 e"=0= a = 1 , 则 f (x )=(x2 -x - 1 ) ex-, f *(x )=(x2 +x -2 )ex, 令 f，x )=0 ,得 x=2 或 x=1,当 x<-2 或 x>1 时,f'(x)>0,当-2 <x <1 时,f '(x )<0 , 则f (x

13、)极小值为f(1)= 一1.几何法：如图，PB+PC=2PD（ D 为 BC 中点），则 PA fPB + PC ）=2PD PA,要使PAPD最小，则PA , PD方向相反，即P点即求PD ,PA最大值,又 PA -|PD = AD =2 -y = 3则PA一1必回|=值1=9,< 2 J I= 43 3则 2 PD PAmin = -2 =-4 2解析法：建立如图坐标系，以 BC中点为坐标原点，A(0,舟,B(-1, 0 ), C(1, 0).设 P(x, y ),PA =(-x, %”3 -y ),PB =(1x, -y)PC =(1 -x, -y >PA PB PC )=2

14、x2 -2.2y 2y2=2 x + y 3 yFI " 4则其最小值为2j3 L_3 ,此时x = 0 , 4 213. 1.96p=0.02, n =100【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中则 Dx =np 1 p)=100 0.02 0.98=1.9614. 1【解析】f (x )=sin2 x+V3cosx_；j。，23f x =1 -cos x - . 3cos x -y - -t23t 2n= 2!1 =n 1 n 1415.2则当t时,f (x )取最大值1.2nn+1【解析】设an首项为a1 ,公差为d .贝U 氏 =a1 2d =3 & =4a1

15、 6d =10求得 a1 =1 , d =1 ,则 an = n ,n 1222、 2k土& 1 2 2 3 n n -1 n n 1=2 1 - 1 -1 1 -2 2 3n -1 n n n 116. 618.【解析】y2 =8x则 p=4,焦点为 F(2, 0),准线 l:x = _2,CN =2 , AF =4,22 16(1cosB)2+cos2B=1 , (17cosB 15)(cosB _1)=0,.cosB 二"17 '(2)由可知sin B =.17S>A ABC 2 ,1一ac sin B =22，18 门ac =221717 ac =2，(

16、a +c)2 -2ac-b2 =15 ,(1)记：旧养殖法的箱产量低于 新养殖法的箱产量不低于50 kg ”为事件B50 kg ”为事件C【解析】17.【解析】如图，M为F、N中点，故易知线段BM为梯形AFMC中位线,lA丫.22sin B +cos B =1,15 - cosB =17222a c -b _152ac 17a2 +c2 -b2 =15 ,36 -17-b2 =15 ,b =2 .ME =3NF| |NM| -|MF =6(1)依题得:222 B 1 -cosB sin B =8sin2 =8 =4(1 - cos B).又由定义ME| = MF ,且 MN = NF ,xC=

17、LNMB=LA而 P B)=0.040 5 0.034 5 0.024 5 0.014 5 0.012 5 =0.62P C)=0.068 5 0.046 5 0.010 5 0.008 5 = 0.66P A =P B P C =0.4092(2)箱产量50kg箱产量50 kg旧养殖法6238新/广殖法3466由计算可得K2的观测值为= 15.7052 20062 66 -38 34一 100 100 96 10415.705 6.635l- P(K2 > 6.635 怜0.001. 有99%以上的把握产量的养殖方法有关.(3) 5 =0.2, 0.2(0.004+0.020+0.04

18、4)=0.032880.032+0.068 =, 乂5=2.35171750 2.35 =52.35. 中位数为52.35 .19【解析】(1)令PA中点为F ,连结EF , BF , CE .1, E , F 为 PD, PA 中点，EF 为 APAD 的中位线，/. EF JL AD.一2又: /BAD =ZABC =90 °,BC II AD .一1i 1又AB =BC =AD , . BC JL AD, ，EF 工 BC .22四边形BCEF为平行四边形，CE/ BF .又: BF U 面 PAB , CE II 面 PAB(2)以AD中点。为原点，如图建立空间直角坐标系.设

19、 AB =BC =1 ,则 0(0, 0 0,) A(0 ,-1,0), B(1,1,0), C(1, 0,0), D(0 , 1 , 0),P(0, 0,第).M 在底面 ABCD 上的投影为 M .MMUBM'. ./MBM' = 45' .MBM '为等腰直角三角形.3,P0C 为直角二角形，0C = OP ,，NPC0 =60，3设 MM ' =a,3.3CM = a , OM =1 - a.33BM1=储a3 a21 =a=OM f =10,0,AM |11,AB =(1,0,0).设平面ABM 的法向量 m = (0, y1 , z1).6

20、n yi + 2- 4=0,. m=(0,而，2)AD =(0, 2, 0),AB=(1, 0,0).设平面 ABD的法向量为n=(0, 0,n =(0 ,0,1).一cos ： m,n .：m卜m n 101 .mL,又M在椭圆上.面角M -AB-D的余弦值为 要520.【解析】设P(x, y),易知N(x, 0)."a. .NP =10, 2NP =(0 , y)又 NM =工2(+：_yj=1,即 x2+y2=2.设点 Q(q Vq) , P(Xp , yp) , (Vq =0)，由已知：OP PQ=(Xp , y)(3-yP , yQ y0)=1 ，OP OQ -OP )=O

21、P OQ - OP2二1 ，. OP OQ =OP2 +1=3 ,XP XQ * yPyQ = -3XP * yPyQ =3 .设直线OQ : y =Vqx ,因为直线l与Ioq垂直. ,3, , kl -yQ3故直线l方程为y =(x 一xP) +yP , Vq令 y =0 ,得-Vp Vq =3(x -xp),1-VpVq =xXp,31-X = yp Vq十Xp ,3VpVq =3 +3xp ,1x =F(3 +3xP) +xP =T ,若 Vq=0,则-3xp =3,xp= T ,yp=±1,21.【解析】直线OQ方程为y =0 ,直线l方程为x =_1 , 直线l过点(1,

22、 0),为椭圆C的左焦点.因为 f (x )=x(axalnx 户 0 , x >0 , 所以 ax _a _lnx> 0 .1 ax -1令 g(x )=axaInx ,则 g(1)=0 , gx)=a_=,x x当aw。时，g、x)<0, g(x)单调递减，但 g(1)=0, x>1 时,g(x)<0;当 a >0 时，令 g'(x)=0,得 x=1 a-1 ._ 1 . 一 一当 0<x< 时，g(x)<0, g(x)单倜减；当 x> 时，g(x)>0, g(x)单倜 aa增.若0 <a <1 ,则g(

23、x )在：1,1 |上单调减，g '- l1 .a a<g(1 )=0;若a >1,则g (x代''1,1 |上单调增，g匚( a a<g(1 )=0;-. 1右 a =1 ,则 g(X m =g M J=g(1) = 0，g(x 户 0.综上，a =1 .f (x )=x2-x-xln x , f'(x )=2x-2-In x , x>0.1令 h (x )=2x -2 -ln x ,则 h (x )=2 = x2x-1令 h *(x )=0得 x =-.1.当 0<x<3 时，h'(x)<0, h(x)单调递

24、减;递增.1 .、,一当 x>3 时，h (x)>0 , h(x)单调所以，h(xn =h：1 |=1 -2 +ln2<0 .因为 h(e2)=2e'>0, h(2)=2ln2A0,21 二2 12，+的上，h(x)即f'(x游有一个零点.设f x械。，2 J和1,+s上的零点分别为一 一.1,x0 , x2,因为 f (x )在.0,- | 上单调减,fx)<0, f(x)1所以当0 cx <x0时，f (x)>0, f(x)单调增；当x0<x<3时,单调减.因此，x0是f(x)的极大值点.因为,I上单调增，所以当1<x