圆锥曲线的原理最详细图解(平面与圆锥面的截线)

1、百度文库-让每个人平等地提升自我平面与圆锥面的截线一、直观感受：观察平面截圆锥面的图形，截线是什么图形?17立几画板制作）改变平面的位置，可得到三种曲线，它们统称为圆锥曲线 （下图由软件、分类探究:从平面图形入手，开始讨论一条直线与等腰三角形的位置关系:将等腰三角形拓广为圆锥，直线拓广为平面。如果用一平面去截一个正圆锥，而且这个平 面不通过圆锥的顶点，会出现哪些情况呢？如下图：归纳提升：定理 在空间中，取直线l为轴，直线1'与l相交于。点，其夹角为 a, 1'围绕l旋转得到以 。为顶点，1'为母线的圆锥面， 任取平面 兀，若它与轴1交角为3(兀与1平行，记作3= 0),

2、 则：(1) “，平面兀与圆锥的交线为椭圆；(2) 3= "平面兀与圆锥的交线为抛物线；(3) 3V a,平面兀与圆锥的交线为双曲线。三、证明结论：利用Dande1in双球(这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面的上方，一个位于平面的下方，并且与平面及圆锥均相切)证明： 3> %平面与圆锥的交线为椭圆 .卢仲君awnL,遁；-II冏困- = 0 361 |PA|2C = 2 52182a = 6.979。二 0.361：| 前食冏 |»» 事物携if单堂JJPF1| = 2 9615 .|PF2| = 4,0175|PO1| = 2.9615 PQ2I = 4

3、,O175 | PA| = 3.1956如图，利用切线长相等，容易证明 PF1+PF2=PQ1+PQ2 =Q1Q2=定值.下面证明：3="时，平面与圆锥面的交线为抛物线。|PA| = 5.77173 = 1 0000 I PA I|PF1| = 5.7717|PQ1| = 5.7717妞图，设平面卸与81椎内切球相切于点Fi.球与圆锥的交线为S,过谖交战的平面为丁，至与/ 交于宜我如在平面力与酬慢的世纹上任取一点P,连接PE过点P作PA_Le,交e于点A过点P作/ 塞线,垂足为B.建接用, BJABlm.所以/P4E是/与/所成二面角的平面角.连接点P嘘的DE点.与S相交于点Q一连接

4、BQ.则NBPQh。, NAPByp在 RtAAPB 中 PB" PAcos RS RtAPB& 中.PE = PQicosS-9毁”* PA COX a又丫 PCMFFd，"FA h即PFi=PA,动点P到定点艮的能M等于它到定亶线m的距离，故当口时.平面与匚二 交或为掷物线.卜面讨论当平面与圆锥面的交线为双曲线时准线的及离心率:我们就图中F面的Ih门d/m球进行讨论.即讨论一条选统的情布，上面一支哥曲线的准线同理可1 在建口上任取一点F,连接PF】,过尸和圆锥II点O作母纹，与凉格切于Q,球号照健的交线 N5.记所在的平面为一.截面寓与平面一相交于直线nr过点P

5、在t中作尸AJ_e,交m于点足,过F作平面/的垂线，卷足为丘 连接Q8. AR户屿为宜角三角形.且NQPB=d APAB应是直用三角形.且/AFB二日在 RtZkPBQ中.PBPQtcosa.在 Ri/XPAB 中.PB=PAcos.a工时e "PA又 PFi - PQi.E是双曲线的一条准也且一黑L换个角度看图:容易知道：截得的圆锥曲线的离心率等于截面和圆锥轴的夹角的余弦与圆锥顶角一半的余 弦之比.四、知识运用一个半径为2的球放在桌面上，桌面上的一点A1伊 正上方有一个光源A, AA与球相切，AAi=6,球/ 桌面上的投影是什么形状？离心率是多少？ 一 用图霸制作三维直观图:解答参

6、看下图:五、图形制作三种曲线的丹迪林 Dandelin双球图可以在几何图霸中统一到一幅图中，主要制作步骤 如下：1 .作全自由点O,过点。作平行于z轴上的点B,过B作平行于x轴上的点C,作点B、C 关于O的对称点B'、C'.2 .选取点O、B、C,作圆锥，选取点 O、B'、C',作圆锥.3.在圆B上任取点D,作D关于B对称点，连接OD, OD ,在OD上任取一点 E,以E为圆心画过点 D'、D的心点圆，在圆E上任取点F, 连EF ,它表示截面的位置，可以绕点 E转动.4 .作角OEF的平分线，与轴 BB'交于O1 ;作角DEF的平分线，与轴 BB'交于O2,它们就 是双球的球心.5 .过球心01、02分别作边EF的垂线，垂足分别为 F1、F2,它们就是焦点.6 .选取点01、F1,作球01 （图中显示大圆，光照后显示为球），同法作球O2.7 .取线EF上的点G、H,作GD0垂线上的伸缩点I,作点I关于点G的对称点I ；按向量 GH平称点I、I 得点12、I”.添加面II2门，连接四边，表示截面.它的长宽可以用点 G、 H、I控制；点F控制其转动.8.添加下底圆上的点 J,连结OJ交截面于点K,选取点J、K,添加轨迹，它就是截线，如 上图中的椭圆.9 .点E按向量OD平移得点E