44、离散型随机变量、分布列、数学期望、方差,修改,2020,2,28

1、离散型随机变量、分布列、数学期望、方差：一、框架第一方面：离散型随机变量及其分布列1 .离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随 机变量。常用大写英文字母 X、Y等或希腊字母 &刀等表示。2 .分布列：设离散型随机变量 E可能取得值为：X1, X2,，X3,，E取每一个值xi (i=1, 2,)的概率为P( Xi) R ,则称表X1X2XiPP1P2Pi为随机变量E的分布列.3 .分布列的两个性质：(DPi>Q i=1, 2,P1+P2+=1.常用性质来判断所求随机变量的分布列是否正确！第二方面：条件概率、事件的独立性、独立重复试

2、验、二项分布与超几何分布1.相互独立事件：如果事件 A (或B)是否发生对事件 B (或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件 叫做相互独立事件。如果事件A、B是相互独立事件，那么， A与B、A与B、A与B都是相互独立事件两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。 我们把两个事件 A、B同时发生记作 A旧，则有P(A-B)=P (A) P (B)推广：如果事件A1, A2,A n相互独立，那么这n个事件同时发生的概率， 等于每个事件发生的概率的积。 即：P(A1 A2 nB=P (A1)P (A2)P(A相互独立事件 A, B有关的概率的计算公式如下表：事件A, B相互独立概

3、率计算公式A, B同时发生P(AB)=P(A)P(B)A, B同时不发生 P(A B)=P(A)P(B)=1 P(A)1 P(B)=1 P(A)- P(B) + P(A)P(B)A, B至少有一个不发生P=1-P(AB) = 1-P(A)P(B)A, B至少有一个发生 P= 1 P(A B)= 1- P(A)P( B)= P(A)+ P(B)- P(A)P(B)A, B恰有一个发生一丁P=P(AB + AB) = P(A)P(B)+P( A)P(B)=P(A)+ P(B)- 2P(A)P(B)P(AB)2 .条件概率：称 P(B|A) 为在事件A发生的条件下，事件 B发生的概率。 P(A)3

4、.独立重复试验：在同样的条件下， 重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的4 .如果在1次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率计算公式：Pn (k) =C：P k (1p)厂k淇中，k=0,1,2,n.5 .离散型随机变量的二项分布：在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数E是一个随机变量.如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是k k n k,Pn(k

5、) Cn p q , (k=0,1,2,n, q 1 p).于是得到随机变量 E的概率分布如下：01knP八00 nCn p ql 11 n 1Cn p q八 k k n kCn p qc n n 0Cn p q由于C：pkqn k恰好是二项展开式n0 0 0 n -1 1 n 1k k n kn n 0(q p) Cn p qCnP q L Cn p q LCn p q中的各项的值，所以称这样的随机变量E服从二项分布，记作EB(n, p),其中n, p为参数,并记 Ck pkqn k = b(k; n, p).6 .两点分布：X01P1-pp7 .超几何分布:cMcN kM在含有M件次品的N

6、件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X=k)=-n, k= 0,1,2,，m,Cn其中 m=min M, n,且 nWN, M< N, n, M, NC N*.X01mPCMCN1 0M CNCMCN M CNCMCN二 M CN如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布.第三方面：离散型随机变量的期望和方差1.数学期望：一般地，若离散型随机变量E的概率分布为xix2xnPp1p2pn14 为E的数学期望，简称期望.b一、22E ) p2+ (xn E ) pn +贝U称 Ex1Plx2 P2 xn pn2 .期望的一个性质：E(a b) aE3 .若 E

7、： B (n,p)，则 E E =np*24 .万差：D = (x1E )p1 + (x25 .标准差:5 叫做随机变量E的标准差. _2_6 .方差的性质：D(a b) a D ；7 .若 丁 B(n, p),则 D np(1-p)、方法诠释第一方面：离散型随机变量分布列的性质例1.1 :设X是一个离散型随机变量,其分布列为:则q的值为（A. 1B3也32. 6X101P1 32 3qq2解：由分布列的性质知2 - 3q > 0q2> 0,1+2-3q + q2=1, 3 q = 3-隼,选 C.例1.2 :离散型随机变量X的概率分布规律为aP(X=n1廿（n=1,2,3,4）,

8、其中a是常数，则P2Xv：的值为（）B.4C4C.5D.f解：由（1 、)x a= 1545 .1_51,.5知5a=1.，a = 7故P£X-)=P(X=1)+P(X = 2)=-x-+1x 5=5,选6 4 6D.小结：离散型随机变量的分布列的性质主要有三方面的作用: 利用“总概率之和为 1”可以求相关参数的取值范围或值;（2）利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的 概率；（3）可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.第二方面：离散型随机变量及其分布列的计算例2:某商店试销某种商品 20天，获得如下数据:日销售量（件）0123频数

9、1595试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品 3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于 2件，则当天进货补充至 3件，否则不进货，将频率视为概率.（1）求当天商店不进货的概率;（2）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求 X的分布列.153斛：（1）p（当天商店不进货）=p（当天商品销售重为 。件）+p（当天商品销售重为1件）=20+20=70.一、. .、一. .51（2）由题意知，X的可能取值为2,3.P（X=2）=P（当天商品销售量为1件）=前=4，P(X= 3) = P(当天商品销售量为。件)+ P(当天商品销售量为2件)+ P(当天商品销售量

10、为3彳4，)工+2+2=320 20 20 4.，、1或P X=3 =1P X=2 = 1 -4小结：求离散型随机变量分布列的步骤:X231r 3P44(1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i = 1,2, 3,，n);(2)求出各取值的概率 P(X = xi)= pi;(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确.第三方面：超几何分布1 .随机变量是否服从超几何分布的判断若随机变量X满足如下条件，则 X服从超几何分布：第一，该试验是不放回地抽取n次；第二，随机变量X表示抽取到的某类个体的个数 (如次品件数或类似事件)，反之亦然.2 .超几何分布的特征(1)考察对象分

11、两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.例3:某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4"，求事件A发生的概率;(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列.解：(1)由已知，有P/X&CtC1.所以事件A发生的概率为1.C1033(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0) =C3+ C2+ C44C2015'P(X= 1)=c3

12、c3+ c3c4C20715'P(X=2) =C3c44C20 15.所以X的分布列为所以随机变量X的分布列为X012P415715415小结：求超几何分布的分布列的步骤：第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N, M, n的值；第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率;第三步，用表格的形式列出分布列.第四方面：数学期望与方差的求解例4:某市A, B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了 3名男生、2名女生，B中学推荐了 3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机 抽取3人、女生中随机抽取 3

13、人组成代表队.(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取 4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列、均值和方差.解：(1)由题意，参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全从 B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代3-3表队)的概率为Cy= 100.因此，a中学至少有i名学生入选代表队的概率为i荷=丽.(2)根据题意，X 的可能取值为 1,2,3.P(X=1) = C1C43 = 5，P(X= 2) = C3CC3=-5, P(X=3)=CC3 = 5，C6 5C65C65所以X的分布列为X123P131555因此，X 的均值 E(X)= 1

14、 X P(X= 1)+2X P(X= 2)+ 3X P(X=3)=1 X1 + 2x+3X= 2. 555方差 D(X)= (1 2)2>< 1+ (2 2)2>< 3+(3-2)2X1=1+0 + =2555 55 5小结:1 .均值与方差的一般计算步骤(1)理解X的意义，写出X的所有可能取的值；(2)求X取各个值的概率，写出分布列；(3)根据分布列，由均值的定义求出均值E(X),进一步算出D(X).2 .以特殊分布(两点分布、二项分布、超几何分布)为背景的均值与方差的计算 (1)先根据随机变量的特点判断出随机变量服从什么特殊分布；(2)可以根据特殊分布的概率公式列出

15、分布列，根据计算公式计算出均值和方差； 也可以直接应用离散型随机变量服从特殊分布时的均值与方差公式来计算；若X=aHb不服从特殊分布，但 E服从特殊分布，可利用有关性质公式及 E( 3, D( $求均值和方差.第五方面：均值、方差在决策中的应用随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体 和全局上刻画了随机变量，是实际生产中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同， 再用方差来决定.例5:为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值

16、之和为该顾客所获的奖励额.若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求:顾客所获的奖励额为 60元的概率；顾客所获的奖励额的分布列及均值；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的 4个球只能由标有面值 10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.解：(1)设顾客所获的奖励额为X.依题意，得P(X=60)= 婴 =1,即顾客所获的奖励额为60元的概率为C422依题意，得 X的所有可能取值为 20,60. P

17、(X=60) = 1, P(X=20) = C3=1，即X的分布列为 2C4 211 一所以顾客所获的奖励额的均值E(X)= 20X11+60X11=40兀.(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找均值为 60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以均值不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以均值也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,

18、40) 和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析：对方案 1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为X1,则X1的分布列为X12060100P1:2r 1636，一1 一 2 - 1 .X1 的均值 E(X1)=20X6+ 60X3+100X6 = 60,X1 的方差 D(X1)= (20-60)2X 1+ (60 60)2X2+ (100 60)2X1=1600. 6363对方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励额为X2,则X2的分布列为X2406080P121636X2 的均值 E

19、(X2)=40X1+ 60X2+80X1=60, 6369 19 21 400X2 的方差 D(X2) = (40 60)2 X 6+ (60 60)2 X 3 + (80 _ 60)2 X 6 =彳.由于两种方案的奖励额的均值都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案 1的小，所以应该选择方案2.第六方面：事件的相互独立性例6:甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对， 则“星队”3 2得0分.已知甲每轮猜对的概率是 3,乙每轮猜对的概率是 二；每轮活动中甲、乙猜对与否

20、互不影响，各轮4 3结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求:(1) “星队”至少猜对 3个成语的概率；(2) “星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X).解：(1)记事件A: “甲第一轮猜对”，记事件B: “乙第一轮猜对”，记事件C: “甲第二轮猜对 记事件D: “乙第二轮猜对”，记事件E: “星队至少猜对3个成语”.由题意,E = ABCD+ A BCD + A B CD + AB C D+ABC D ,由事件的独立性与互斥性,得 P(E) = P(ABCD) + P( A BCD) + P(A B CD) + P(AB C D) + P(ABC D ) = P(A)P(B)P(

21、C)P(D) +P( A-) P(B)P(C)P(D)+ P(A)P(-B )P(C)P(D)+ P(A)P(B)P(万)P(D)+ P(A)P(B)P(C)P(-D ) =-3 X | X 3 X 1 + 4 3 4 32x卜家3+4* 14H =3,所以“星队”至少猜对3个成语的概率为3.(2)由题意，随机变量 X可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得P(X= 0) = -x-X-X-= , P(X= 1) = 2X 3X-X-X-+-X2X-X-P(X 0) 4 3 4 3 144'()4343434310 _ 514472'31313112123

22、11212P(X= 2) = -X -乂 乂 一+ ->< 一 X 一 X 一十 一乂一乂一乂 一十 一 X _ X _ X - =P(X 2) 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 325144'P(X= 3) = 3X2X-X-+ 1X1X3X2=2-=, P(X=4)=2X - X2X3X-+3X-X-X2P(X 3) 4 3 4 3 4 3 4 3 144 12''44343434360 5144 123 232361，P(X= 6) = 4X3X4X3= -41= 4.可得随机变量 X的分布列为: 4 3431444X0123

23、46P1525151144721441212414472144121246 ,+ 1 x+2X-25- + 3x+ 4X +6X - = 23所以数学期望E(X)=0X求相互独立事件的步骤：第一步，先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件，并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥的事件 的和；第二步，求出这些彼此互斥的事件的概率；第三步，根据互斥事件的概率计算公式求出结果.此外，也可以从对立事件入手计算概率.第七方面：条件概率例7:如图，EFGH是以。为圆心，半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用 A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)

24、内”，则P(B|A) =解：由题意可得，事件 A发生的概率P(A)=.:EFGH=2.事件ab表示S圆O兀X 1 兀-X122落在 EOH 内”，则 P(AB)=SSEOH=?=21；故 P(BA)=PPAB=2F=4.7t解决条件概率问题的步骤：第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“已知” “在前提下”等 字眼，一般为条件概率.题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注 意是否为条件概率.若为条件概率，则进行第二步.第二步，计算概率，这里有两种思路.思路一：缩减 样本空间法计算条件概率.如求P(A|B),可分别求出事件 B, AB包含的基本事件的个数， 再利用

25、公式P(A|B)X1234P1m11346署计算.思路二：直接利用条件概率的计算公式计算条件概率，即先分别计算出P(AB), P(B),再利一P AB . .用公式P(A|B)=PPA一计算.第八方面：高考真题例8: (2016全国卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,此搜集并整理了 100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,台机器更换的易损零件数发生的概率,得下面柱状图：以这 100台机器更换的易

26、损零件数的频率代替1记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)求X的分布列；(2)若要求P(X<n)>0.5,确定n的最小值;(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n= 19与n= 20之中选其一，应选用哪个?解：(1)由柱状图及以频率代替概率可得,台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2, 0.4, 0.2,0.2.从而 P(X= 16) = 0.2X0.2=0.04; P(X= 17) = 2X 0.2X 0.4 = 0.16; P(X= 18)= 2X0.2X 0.2+ 0.4X 0.

27、4=0.24; P(X= 19) = 2X 0.2 X 0.2+ 2X 0.4X 0.2= 0.24; P(X= 20)=2X 0.2X 0.4+0.2 X 0.2= 0.2 ;P(X= 21)= 2X 0.2X 0.2=0.08; P(X= 22) = 0.2X 0.2 = 0.04.所以 X 的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由知 P(XW 18)= 0.44, P(XW 19)=0.68,故 n 的最小值为 19.(3)记丫表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元).当 n=19 时，E(Y)= 19X 200X

28、 0.68+(19X 200+ 500)X 0.2 +(19X 200+ 2X 500)X 0.08+ (19X 200 +3X 500)X 0.04= 4 040;当 n=20 时，E(Y) = 20 X 200 X 0.88 + (20 X 200 + 500) X 0.08 + (20 X 200 +2X 500)X 0.04=4 080.可知当n= 19时所需费用的期望值小于当n= 20时所需费用的期望值，故应选n= 19.三、巩固训练1.若 P(口 X2)= 1 - 3, P(登 X1)=1-a,其中X1<X2,则P(X1< 宇X2)等于()A. (1矶1 B. 1 -

29、( a+ )C. 1 a(1 D. 1 H1 一 S2.设随机变量X的概率分布列为P(|X-3|=1) =3.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件 A为“取到的2个数之和为偶数”，事件 B为“取到的2个数均为偶数”，则 P(B|A)=()1A.81B.42 C.51D.24.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为2和日，两个零件是否加工为一等品相互独立，3 4则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()51112C.4D.61A. 25 .某人参加一次考试，4道题中解对3道即为及格，已知他的解题正确率为0.4,则他能及格的概率是()A. 0.18 B. 0.28 C. 0.3

30、7D. 0.486 .有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取 3件，若X表示取到次品的次数，则D(X)7 . 一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中 的数字是3.从盒中任取3张卡片.4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求 为这三个数的中位数.)X的分布列.(注：若三个数a, b, c满足awbwc,则称b8 .袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等,表示取出的3个小球上的最大数字，求:(1)取出的3个小球上的数字互

31、不相同的概率;(2)随机变量X的分布列及均值 E(X).9.为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小日收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为 1, "6； 1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为 1, 2;两人滑雪时间都不会超过3小时.2 3(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量E,求E的分布列与数学期望 E($.10.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一

32、定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有 5个红土5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在 3次抽奖中获一等奖的次数为 X,求X的分布列和数学期望.离散型随机变量、分布列、数学期望、方差答案:1 .解析：选B 显然P(察X2)= 3, P(%X1)= a曲概率分布列的性质可知P(X1 < m X2)= 1 P( >X2) P( gX1)= 1 a 3.11111 1552 .解析：由3+m+

33、4+6=1，解得m=4, P(|x一同一人改:0+改一尸1：行答案：石C2+C2 2 C21 一 1e PAB P B 13 HA)=1- = 5, P(B)=CTG 又 A?B，则 1ABXP(B)=6 所以 P(B|A)=7V=P7=4.4.解析:选B 恰有一个一等品即一个是一等品，另一个不是一等品，则情形为两种，2P=33、(1 -) +4(1 l)35X4 12.5.解析:选 A c3x 0.43X 0.6+C4x 0.44=0.179 2 = 0.18.6.解析:-1、_1、,3 XB(3,) , D(X)=3X 4X4 =44 416-答案:16C3+ c357.解：(1)由古典概

34、型中的概率计算公式知所求概率为(2)X的所有可能值为1,2,3,且P(X=1) =C2C5+C4 17c3-42P(X = 2) =c3c4c2+C2C6+C3 43C384'P(X= 3)=下C2c7112-故X的分布列为8 .解：(1) “ 一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A,则P(A) =C5c2c2c22C30 3.(2)由题意，X所有可能的取值为2,3,4,5.P(X= 2)=c2c2+c2c21C1030'P(x=3)=F0C2C2+ c4c2215'P(X=4) =c6c2+ c6c23 P(X=5) =C2C2+C8c28C1015-所以随机变量X的分布列为X2345P1302153 7q815C10_8_ 13E(X) =