九年级圆的相关证明与计算(教师版)

1、圆的相关证明与计算1 .如图，aABC中，Z ABC=90%以AB为直径的。交AC于点七为弧8。上一点，且NE4B= NC.延长3E交AC于点凡求证：AF=CF,AE 4(2)若竺二，AB=5&,求AE的长.1解：略；(2)由(1)知力尸=8立 连5。，：.BDLAF.由面积法知5Q=AE=4x, AO=3x, ：.AB=5x=5>/2 , ：.x= >/2 , ：.AE= 472 .2 .以OO的弦/W为边作等边ABC,。是。上一点，且80 = A3,连OC交。0于£ (1)如图(1),当C在。内，求证：AE=CE；(2)如图(2),当。O外时的结论是否还成立?

2、证明你的结论：(3)若CE=3,求。0的半径长.证/E4C+NCA8+ND=180。，ZECA + ZACB+ZBCD =180% 又ABC为正,：.ZCAB=ZACB=60% :BC=BD.:/BCD=/D, ：.ZEAC=ZECA, ：.AE=CE.(2)由 8c=3D得N£>=N3CQ.又NO=N5AE,:NBAE=/BCE.又NE4c=60。-N3AE, Z£CA=60°-ZFCD. ：.ZEAC=ZECA. ：.AE=CE.(3)连 OA、OE,由 EC=E4. 8C=D4 可知 BE 垂直平分 AC, ：. ZEBA=30°.又 NEO

3、A=2NE8A=60。，E4O是等边三角形，：.OE=AE=CE=3.即。的半径为3.【知识梳理】1、圆中的重要概念2、圆中的重要定理3、易与圆结合的其他知识知识点一(圆的相关计算)以垂径定理为中心的计算1.(2015元调)如图，在。O中，半径04,弦8C,点石为垂足，点。在优弧上,(1)若NAO8=56。，求 NAOC 的度数；(2)若 8c=6, AE=1,求。的半径.解：(1) ZADC=28°. (2)r=5.以弦、弦心距为中心的圆的计算1 .(元调题改)如图，Rt/kABC中，ZC=90°,。为 ABC角平分线的交点，以。C为半径的。交三边于。、E、Fn G.(1

4、)求证：BE=BF；(2)若。半径30, BF=2,求A8的长.解：(1)过0点作0M8, 0N上BC,垂足为何、N,易证 8M=3N, FM=EN.，BF=BE (2)同理可证AO=AG, R=30，,CN=EN=3, ：.CD =CE =FG=6.设AO=/lG=x, ，a+6)2+82=a+8)2, ：.x=9. ：.AB=1.2 .(元调题变式)如图，R3ABC中，NAC8=90。，点。为NA8C、NAC8外角平分线的交点，以0C为半 径的。交三边所在的直线于E、F、G.(1)求证：BF=BG；若BF=2, AO=16,求。的半径.(1)过。点作 OM«LA8, ON 1BC

5、,则 0M= ON, :.MF=NG.又,：BN=BM. ：.BF=BG.(2)同理可证 AO=AE,设 CO=CG=EF=x：A8=16(x-2)=18一1 BC=xf AC=6-x, A(18-x)2 =(x-2)2+(16-x) x=8, R=40 .以圆心角、圆周角为中心的计算1.如图。为RS ABC斜边AB上一点，以C。为直径的圆分别交三边于E、F、G三点，连接FE、 FG.(1)求证：NEFG=NB：(2)若AC=28C=46,。为AE的中点，求FG的长.略(2)解：在 RS ABC 中，9：AC=2BC=4y/5 . ：.AB2=AC2+BC2=OO.：.AB=O, 9：ACxB

6、C= CExAB=2Sabc. ：.CE=4,在 Rt田中VA£2=AC2-CE2=64，AE=8, 丁。是 AE 的中点.：.DE=4在 Rb CEO 中，9：CD2 = CE2+ED2=32. :.CD=4垃.V ZFCG=90°.，尸G 为圆的直径，：.FG = CD=4yf2 .A2.如图，等边ABC内接于0O, P是AB上任一点(点尸不与A、5重合)连AP, BP,过C作CMBP交 PA的延长线于点M.(1)求证：4PCM为等边三角形;(2)若PA = 1, PB=2,求梯形P8CM的面积.略(2)证AGWgABCP, .MA=3P=2, PM=CM=3.作于 H

7、,NMPH=30°, PH= .24直径、等弧、角平分线相结合问题1 .如图，在。中，半径OB_L弦C。于H,七为。5延长线上一点，CE交。于F.(1)求证：NB0D=2/BFE；若 BFLDE, BE=5, CD=6,求。的半径.D解：(1)连 8。、BD, ill： ZBFE= ZCDB= ZBCD= 1 ZBOD.2(2)连 OF,证NBFE=NBFD. 9：BF±DE.尸垂直平分 OE.；.BE=BD=5,: DH=3,:.BH=4,设OO 的半径为凡 在 RSOHD 中,32+(4-/?)2=/?2,2 .如图，以A8为直径的。交ABC另二边于。、E, AD=CD

8、.(1)求证：AB=BC(2)若=一，AC=M，求。的半径.BE 4解：(1)连 3D, WlJ BDLAC, ：.AB=BC.(2)连 AE,则 AEJ_3a 设。E=筋 BE=4x,则 A8=5x.：.AE=3xf 在 ACE中,/+(3疗=(加,Ax=L ：.R=2. 5.3 .如图，AB为。的直径，A8CO为圆的内接四边形，CD=BC.(1)求证：OC/AD；(2)若AB=5, AC=20求AO的长.解：略；(2)连 8D 交 OC 于 M 点，WO OC±BD.在4C3 中，易知 BC=小,设。CM=2. 5 x, ，2 52r=(6)2 (2. 5-x) a=1. 5,

9、：.AD=3.知识点二(圆的相关证明) 切线、弦、直径组成的图形证明1 .如图，ZkABC中以A3为直径作。0,分别交边AC、BC于D、E,过点。作。匚L8C于凡 且。为弧 AE的中点.(1)求证：O尸为圆。的切线;若些=±且X。=4乔时，求圆。的半径二AB 5略RF ?解:连为直径，A ZAEB=90Q, V_ = -tAB 5二设 BE=3x,则 AB=5玄：.AE=4x.又。4 =OD.：.AB=CB=5x, ACE=2x.又 AC=24O= 8",在 Rs ACE 中，AC2 = CE2 + AE2,/. (4x)2 + (2x)2 = (8x/5)2, ，x=&#

10、177;4(负舍)，A8=5x=20, ：.r=-AB = 0. 22 .如怪I,在 ABC 中，AB=AC.(1)如图1,以AC为直径的。M交BC于D作OE_LA8于£求证：。上是。M的切线.8c=8,求。的半径.(2)如图2,。为的外接圆，若E是A3的中点，连0E.0E略(2)连AO并“延K交00于匕支BC于G. £08,可得OG«LBCBG= 1bC = 4.8F=2OE=5,求得尸G= 2753 .设半径为小 在RQ08G中，得4?+(一3尸=/，解得/ =二 6切线、四边形组成的图形证明1 .如图，AB为。的直径，AC为弦，A。平分NB4C交。0于 交A

11、C、A8的延长线于E、F.(1)求证：AF+CF=2A0：(2)若 3=1, DF=2,求 AB 的长.解：(1)连 OQ,则。连 8。、CD,作 DWLA8 于 M.易证 8尸乌BDM, ：.AM=AF, BM= CF, AF+CF=AM+BM=AB=2AO.(2)设。的半径为 R,Q ODM 中，R2 +(R-1 尸=2、：.AB=5.2.如图，平行四边形ABCO中，过A、B、。三点的。且BC于B点，AO = A尸，直线OF交A8于G 点，交C3的延长线与E点.(1)求证：ED=EC；NBGE,(2)若 8c=10,求。的半径.FG 3解：(1)连 OA、OB,则 OALO凡 OBLCE,

12、，NOAB= NOBA,AZC=ZCDE, ：.EC=ED.(2)由口ABC。，：.ZC=ZDGA, ：.DA=DG=0,:FG=6,设 04 交 OE于 M 点，则 DM=8,，在Rt/kADM 中，AM= JQ-H =6,在 R" OOM 中，+(R-6)2, R" .3.(2017四调改)如图，平行四边形"CD的边AO与经过A、B、。三点00相切.(1)求证：AB = AC ：若8c=24, S, =192,求。的半径R.解：(1)连 AO. yilj OA±AD,又：ADBC, ：.OALBC. ：. AB = AC .(2)设 OA 交 3c于

13、 M点，24xAAf=192, ：.AM=S.在 RsOBM中,/?2=122+(/?-8)2, ：.R=3.切线、弦、直径组成的图形证明与计算1 .如图，aABC中以A8为直各作。分别交边AC、BC于D、E.过点。作OF_L8C于E且。为AE的 中点.(1)求证：。/为。的切线；BE_3若A8 5,且AO=4小45时，求。的半径儿略BE(2)解：连 A8 为直径，NAE8=90。，V AB m，设 BE=3x,则 A3=3.(, AE=4x.又OA = OD, ：.AB=CB=5x, ：. CE=2a,又:AC=2AD=。,，在 Rb ACE中，旦二田十8斤AE2.工(4x)2+(2x)2=

14、 ，x=±4(负舍)，A8 = 5x=20,1=2A8=10.2 .如图，在 ABC 中，AB=AC.(1)如图1,以AC为直径的0M交5。于。，作OEL48于£求证：。石是。M的切线.5(2)如图2,。为aABC的外接圆，若E是月3的中点，连。E, 0E=3 , BC=8,求。的半径.图1图2略(2)连A0并且是长交。于£ 交BC于C,连。8, T得0GLBC1BG= 2 BC=4, 8/=2。七=5 求得 FG=325设半径为八 在RS 08G中将4?x+(，3户=/，解得厂=不3 .(中考汝口图，点C在以A8为直径的。上，A。与过点。的切线垂直，垂足为点。，

15、A。交。于点£ (1)求证：AC平分(2)连接3E交AC于点凡 若AO=4, AC=5,求。的半径.（1）证明：连接 OC，则。C_LC。，又 AO_LCQ, VAD/OC, ：.ZCAD=ZOCA,又 OA=OC, ：.ZOCA =ZOAC. ，NCAO=NCAO,平分NQA反25解：84 .(2017江岸期中)如图，在。0中，直径CQJ弦AB于点E,点P是。延长线上一点，连接P8、BD (1)若8。平分NA8P,求证：P8是。的切线5(2)连接AP,延长3。交AP于点凡 若BD上AP, AB=® , OP= 4 ,求OE的长度解：（1）略.（2）连 AC, OA, NC

16、=NA8F=NAPC,，设 OE=x,在ZiAOE 中,得产区，oe=w 切线、四边形组成的图形证明1 .如图，AB为。的直径，AC为弦，A。平分N8AC交。O于。，过。点的切线分别交AC、A8的延长线于 E、F.(1)求证：AF+CF=2A0：(2)若 3=1, DF=2,求 A5 的长.解：(1)连 OD,则 凡 连 8。、CD,作。于 M.易证 CDFgZkBDM, ：.AM=AF, BM= CF, AF+CF=AM+BM=AB=2AO.(2)设。的半径为心 在ODM 中，R2=(R- V)2+22. AB=5.2 .如图，3LBCD中,过A、B、。三点的。切BC于8点，AO = A尸，

17、直线。尸交A8于G点，交C3的 延长线于E点.(1)求证：ED=EC；DG _ 5(2)若8C=10, FG 3 ,求。O的半径解：(1)连 OA、OB,则 OA_LOP, OBLCE, ： ZOAB=ZOBA, ZEBG=ZBGE.：.ZC=ZCDE, ：.EC=ED.(2)由 口函8, ： NC=NDAB=NDGA, ：.DA=DC= 10. ：.FC=6.设 OA 交。E 于 例点，则 DM=8,:.在 RtA ADM 中，72254M= J。二G = 6,在 RsQOM中，*=8-+ R-6 ，汽=3 .3 .(2017四调改)如图，必8c。的边AO与经过A、B、C三点。相切.求证：A

18、B=AC；(2)若8c=24, 5二铝8=192,求。的半径凡解：(1)连 A。，IJllJOAlAD,又,：AD/BC, OALBC. ：. AB = AC (2)设。A 交 BC 于 M 点，24xAM=192, ：.AM=S.在 R3O8W 中，/?2=122+(/?-8)2, ：.R=3.知识点三:圆中几何变换例1：如图，ABC是等边三角形，。为BC的中垂线A 上的动点，。经过以 C两点，。为8c,上一 点，D, A两点在8C边异恻，连接A。，BD, CD.(1)如图1,若。经过点A,求证：BD+CD=AD,(2)如图2,圆心。在3。上，若N3A。=45。，求的度数：(3)如图 3,若

19、 AH=OH,求证：BD2+CD2=AD2.图2解：(1)求证的是两条线段之和等于第三条线段，故考虑截长补短法，结合为等边三角形考虑旋转.方法一：延长8。到F,使OF=OC,再证BCFgaACD：方法二：在A。上截取OG=OC,连接CG,先证aOCG为等边三角形，再证 ACG也BCD；方法三：此题也可作垂线，构造全等：过C作CMJ_A。于M, CN工BD于N.先证ACMg/kBCN,再证 MCDANCD.【课堂练习】1 .如图，AB是。的直径，C为圆上一点，ZkACO为等边三角形，。在。0外，已知NAD8=45。，。的半径为4,则A。的长为 .解：NC。8=60。-45。=15。： NC3O=

20、 180。-60。- 90。- 15。= 15°；DC=CB=AC=AD； ®AD=AC=4yl2 .2 .如图，AB是。的直径，C为圆上一点，ACO为等边三角形，。在。外，已知NABO=30。，则"AB 的值为解：设 3。与。相交于 E,连接 AE、EC,弧 AE=MAE, A ZACE= ZABL OCEgZXACE； (3)DE=AE： ® = l .AB 21 .(中考)如图，点C在以AB为直径的。上，A。与过点C的切线垂直，垂足为点D,(1)求证：AC平分NOA8；(2)连接3E交AC于点F,若AD=4, AC=5,求。的半径.DE q(1)证

21、明：连接 0C,则。C_LCD,又 AD工CD, ：.AD/OC,：. ZCAD= OC,：./OCA=/OAC, ，NCAO = NCAO, ，AC平分NOA8.25(2)解：2 . (2017江岸期中)如图，在。中，直径。_1弦八8于点£点P是C。延长线上一, (1)若BD平分NABP,求证：尸8是。的切线：(2)连接AP.延长8。交AP于点E,若8。_LAP, AB=垃,OP=L 求。七的长度. 4、/ BB图1图2解：(1)略.(2)连 AC, OA, ZC=ZABF=ZAPC,二.设。E=x，在 RS AOE 中，x2+(-e)=30。= NOCE：AO交。于点E.1 ZO

22、CA,又 OA与、,连接P8、BD.马2一解得X = l. 43 .如图，oABCO中，。经过A、B、C三点，0c的延长线交。于点E, BE=AB.(1)求证:A。为。的切线：(2)若 BE= 13, DE=36,求。的半径.解：略.(2)易知 AB=CO= 13,作 于 M, AN1DE 于 N,工EM=5, BM=12,连。4 交 8c 于 H, BC=1 Q6厉，,由面积法知，从"=2万，*=(3而)2+(/?-2炳2, R = y/3.44 .如图，AB是。的直径，C为。上一点，过点C的切线CQL4。，垂足为。点，A。交。于E点.(1)连AC,求证：AC平分NBA。：(2)若

23、 CO=4, DE=2,求 8C 的长.解：略. y(2)过。点作 OA/_LA。于“点，连。，则有 0M=4, 0M=OC=R, ：.AM- EM=R 2,在4QW 中，(R-2)2+42=R2, ，/? = 5, ：.AE=6, AC2 =42+82 =64 + 16 = 80 .在 RMAC8 中，5C2 =100-80=20, BC= 25 .5 . 8c为。内一弦，A为优弧就C的中点，。为劣弧&上任意一点，过A作AEJ_5。于E, AFJ_C。于 F,则下列结论正确的有 (填序号).NABD=NACD,NEAF=NBAC,NBAC=2/DEF,"默2=2.【提示】9

24、AD=AD. ZABD=ZACD,故对：；AELBD, AFLCD.，NAE3= NAFC=90。，F 为翕C的中点， ：.AB=AC, .-.ABEAACF. A ZEAB=ZFAC.：.ZEAF=ZBAC,故对：VAABEAACF. ：.AE=AF.连 AD,则 AEDgZVIFZ), DE=DF, ：.4DEF= NDFE, NBDC= ZDEF+ ZDFE=2ZDEF.9：BC=BC9 :. /BAC= /BDC=2/DEF,故对：.BE=CF. VAAEDZXAFD,:.DE=DF,=2,故对:CD-BD CFDF-(BE-ED) DF+ED 2ED EDED = ED ='ED故填.6.如图，在。中，直径AB_L弦CD,点P是检上任一点，作AMJ_OP延长线于则与产=解：连接A。、AC,过A作ANLCP于N.;直径 46CD, ：.AC=AD, ，AC=AD.0 = a, ZACP=ZADP. AMLMD. ANLCP,:.aamdaanc9 :.dm=cn, am=am 9：AP=AP.J.AAMPAANP.:MP=PN,.PC-PD CN+PN (DM-MP) PN+PM 2PM ,*