2020-2020学年洛阳市高一(上)期末数学试卷(含答案解析)

1、2020-2020学年河南省洛阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个 选项中，有且只有一项符合题目要求.1. （5 分）集合 A=x N+| - 1<x<4 , B=x| x204,则 AH B=（）A. 0, 1, 2 B. 1, 2 C. 1, 2, 3 D. 0, 1, 2, 32. （5分）设m, n是两条不同的直线，a, B是两个不同的平面，下列说法正确 的是（）A.若 m / a, aC B =n WJ m / n B.若 m / a, m±n,则 n± aC.若 m, a, n±

2、 a,则 m / n D.若 m? a, n? 0, a± p,则 m，n3. （5分）若三条直线ax+y+1=0, y=3x, x+y=4,交于一点，则a的值为（）A. 4 B. - 4 C. 2 D.一2 334. （5分）在空间直角坐标系 O-xyz中，若O （0, 0, 0）, A （0, 2, 0）, B （2,0, 0）, C （2, 2, 2/3）,则二面角 C- OA- B 的大小为（）A. 300 B. 450 C. 600 D. 90°5. （5分）已知倾斜角60°为的直线l平分圆：x2+y2+2x+4y- 4=0,则直线l的方程为（）A. |

3、V3x - y+V3+2=0 B. V3x+y+'/3+2=0 C. V3x- y+*/3 - 2=0 D.* x- y -+2=016. （5 分）已知函数 f （x） = （工厂 戈、口 ,若 a=f （log31"）, b=f （2 2 ）, c=fL（3 M）,则（）A. c>b>a B. c>a>b C. a>c>b D. a>b>c7. （5分）如果实数x, y满足（x-2） 2+y2=2,则会的范围是（）A. （T, 1）B. - 1, 1C. （ 8, - 1） U （1, +oo） d. （ oo,一1 U 1

4、, +oo)8. (5分)已知函数f (x)金殳等(a A),若f (x)在区间(0, 1上是减函 a-z数，则集合A可以是()A.(一巴 0) B. 1, 2) C. ( 1, 5 D. 4, 69. （5分）圆柱被一个平面截去一部分后与一个四棱锥组成的几何体的三视图如 图所示，则该几何体的体积为（）正田HKHA. 4计8B. 8 e16 C. 16t+16 D. 16 e4810. （5分）由8个面围成的几何体，每个面都是正三角形，并且有四个顶点A,B, C, D在同一平面上，ABCD是边长为15的正方形，则该几何体的外接球的体 积为（）A. 1125/2 ttB. 337蚯兀C. 450

5、 7t D. 900 7t11. （5分）设函数f （x）是定义在R上的函数，满足f （x） =f （4-x）,且对任 意 X1, X2C （ 0, +oo）,都有（X1 - X2） f（X1+2） - f（X2+2） >0,则满足 f （2 -X）=f （经旦L）的所有X的和为（）A. - 3 B. - 5 C. - 8 D. 812. （5分）已知点P （t, t-1）, tCR,点E是圆X2+y2二上的动点，点F是圆4（x- 3） 2+ （y+1） 2号上的动点，则|PF -| PE的最大值为（）A. 2 B. j C. 3D. 4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

6、13. （5分）满足42x-1> （晟）x-4的实数x的取值范围为.14. （5 分）已知直线 1i: ax+4y 1=0, l2： x+ay-=-=0,若 1i / l2,贝实数 a=15. (5分)若函数f (x)23c+1,则 f (-1)+f (-) +f ( 1) +f (0) +f (1)+f + +f(|)=一16. (5分)方程匚苕H=ax+a由两个不相等的实数根，则实数a的取值范围 为.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验 算过程.17. (10分)在平面直角坐标系中， ABC三个顶点分别为A (2, 4), B (1,- 3), C

7、 (-2, 1).(1)求BC边上的高所在的直线方程；(2)设AC中点为D,求4DBC的面积.18. (12分)已知函数f (x)乎石而:产(1)求f (x)的定义域A;(2)若函数g (x) =x2+ax+b的零点为-1.5,当xC A时，求函数g (x)的值域.19. (12分)在直三棱柱 ABC- A1B1C1中，D, E分别是BC, A1B1的中点.(1)求证：DE/平面 ACCA1；(2)设M为AB上一点，且AMAB,若直三棱柱 ABC- A1B1C1的所有棱长均 4相等，求直线DE与直线A1M所成角的正切值.20. (12分)已知f (x) =3x+m?3x为奇函数.(1)求函数g

8、 (x) =f (x) -J的零点;(2)若对任意tCR的都有f (t2+a2-a) +f (1+2at) >0恒成立，求实数a的取 值范围.21. (12分)在四棱锥P ABCD中， ABC为正三角形，AB± AD, AC± CD, PA ，平面ABCR PC与平面ABCD所成角为45°(1)若E为PC的中点，求证：PDL平面ABE;(2)若CD=/5,求点B到平面PCD的距离.22. (12分)已知圆心在直线 x+y- 1=0上且过点A (2, 2)的圆Ci与直线3x- 4y+5=0相切，其半径小于5.(1)若C2圆与圆Ci关于直线x- y=0对称，求圆

9、C2的方程；(2)过直线y=2x- 6上一点P作圆C2的切线PC, PD,切点为C, D,当四边形 PCCD面积最小时，求直线CD的方程.2020-2020学年河南省洛阳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个 选项中，有且只有一项符合题目要求.1. （5 分）集合 A=x N+| - 1<x<4 , B=x| x2W 4,则 AH B=（）A. 0, 1, 2 B. 1, 2 C. 1, 2, 3 D. 0, 1 , 2, 3【解答】解：集合 A=xC N+| - 1<x<4=1, 2, 3,B

10、=x| x2<4=x| - 2<x<2,则 An B=1, 2.故选：B.2. （5分）设m, n是两条不同的直线，a, B是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A.若 m / a, aC B =n WJ m / nB.若 m / a, m±n,则 n± aC.若 m, a, n± a,则 m / n D.若 m? a, n? 0, a± p,则 m，n【解答】解：若m/ a, aA B =n则m与n平行或异面，故A错误；若m/ a, m± n,则n与a关系不确定，故B错误；根据线面垂直的性质定理，可得 C正确；若m? a,

11、n? B, a± p,则m与n关系不确定，故D错误.故选C.3. （5分）若三条直线ax+y+1=0, y=3x, x+y=4,交于一点，则a的值为（22A. 4 B. -4 C. 7： D.-【解答】解：联立y=3x, x+y=4,尸,三条直线ax+y+1=0, y=3x, x+y=4相交于一点，:把点(1,3)代入 ax+y+1=0,可得 a+3+1=0,解得a=- 4.故选：B.4. (5分)在空间直角坐标系 O-xyz中，若O (0, 0, 0), A (0, 2, 0), B (2,0, 0), C (2, 2, 2VS),则二面角 C- OA- B 的大小为()A. 30

12、0 B. 450 C. 600 D. 90°【解答】解：设C在平面xoy上的射影为D (2, 2, 0),连接AD, CD, BD,贝U CD=2/, AD=OA=Z四边形OBDA是正方形， OAL平面 ACD,丁./CAD为二面角C- OA - B的平面角，. tan / CAd/D/“二代AD 2 ./ CAD=60.故选C.5. （5分）已知倾斜角60°为的直线l平分圆：x2+y2+2x+4y- 4=0,则直线l的方程为（）A. gx-y+仆+2=0 B. V3x+y+,/3+2=0 C. V5x- y+/3 - 2=0 D. Mix- y-.+2=0【解答】解：倾斜

13、角60。的直线方程，设为y=/3x+b.圆：x2+y2+2x+4y4=0化为（x+1） 2+ （y+2） 2=9,圆心坐标（1, 2）.因为直线平分圆，圆心在直线 yT5x+b上，所以-2=-V5+b,解得b=/5-2, 故所求直线方程为.；x-y+ ：；-2=0.故选C.1-k,6. （5分）已知函数f （x）1（3与，则（）(log看),1 b=f (2 2 ), c=fA. c>b>a B. c>a>b C. a>c>b D. a>b>cIf【解答】解：函数f （x）=则 a=f (log看)=1 - log3=1+log32>1 ,

14、b=f (2 一万)=f /)=2 Fq (0, 1), 11c=f (3 7)=2 -小(0, 1),由y=2x在R上递增，_1-1,可得2 7<2英，c< b< a, 故选：D.7. （5分）如果实数x, y满足（x-2） 2+y2=2,则予的范围是（）A. （T, 1）B. -1, 1 C （-8, - 1） U （1, +oo） d. （一oo,一1 U 1, +oo）【解答】解：设工=k,则y=kx表示经过原点的直线，k为直线的斜率. K所以求工的范围就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的范围.从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切，此时的斜

15、率就是其倾斜角/ EOC的正切值.易得|OC=2, |CE=&,可由勾股定理求得|。目幼，于是可得到k=1,即为1的最大值.同理，工的最小值为-1,K故选B.8. (5分)已知函数f (x) 至五 (a A),若f (x)在区间(0, 1上是减函 a-2数，则集合A可以是()A.(一巴 0) B. 1, 2) C. ( 1, 5D. 4, 6【解答】解：由题意，f (x)在区间(0, 1上是减函数.函数f (x) =&! (a a-2e A),当a=0时，函数f (x)不存在单调性性，故排除 C.当a<0时，函数y=/i二孩在(0, 1上是增函数，而分母是负数，可得f (

16、x)在区间(0, 1上是减函数，故A对.当1&a<2时，函数y=/5-ax在(0, 1上是减函数，而分母是负数，可得f (x)在区间(0, 1上是增函数，故B不对.当4&a&6时，函数yi右T在(0, 1上可能没有意义.故D不对.故选A.9. (5分)圆柱被一个平面截去一部分后与一个四棱锥组成的几何体的三视图如 图所示，则该几何体的体积为()A. 4计8B. 8 e16 C. 16t+16 D. 16 e48【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个半圆柱与四棱锥的组合体, 半圆柱的底面半径为2,高为4,故体积为：27Tl.24=8几，四棱锥的底面面积为：4

17、X4=16,高为3,故体积为：16,故组合体的体积V=8冗+16, 故选：B10. （5分）由8个面围成的几何体，每个面都是正三角形，并且有四个顶点A,B, C, D在同一平面上，ABCD是边长为15的正方形，则该几何体的外接球的体积为（）A. 1125匹兀 B. 3375/2 tt C. 450 7t D. 900 7t【解答】解：该几何体的直观图如图所示，这个是一个正八面体，假设另两个顶点为 E, F,ABCD是正方形，边长为15,:BO/力5呜卢警，该几何体的外接球的半径该几何体的外接球的体积:V=3 故选：A.)'=1125n.11. （5分）设函数f （x）是定义在R上的函数

18、，满足f （x） =f （4-x）,且对任 意 X1, X2C （0, +8）,都有（X1-X2）f（X1+2） - f（X2+2） >0,则满足 f （2-x) =f )的所有x的和为()x+4A. - 3 B. - 5 C. - 8 D. 8【解答】解：对对任意 xi, X2 (0, +00),都有(X1- X2)f (xi+2) - f(X2+2)>0, f (x)在(2, +oo)上递增，又. f (x) =f (4 - x),.f (2-x) =f (2+x),即函数关于x=2对称， f (2-x) =f (L),.2 x=iLL, 或 2 - x+3/l L =4, 3

19、+4s+4x2+5x+3=0 或 x2+3x- 3=0, 满足f (2-x) =f (丝1L)的所有x的和为-8, k+4故选C.12. (5分)已知点P (t, t-1), tCR,点E是圆x2+y24上的动点，点F是圆 4(x- 3) 2+ (y+1) 2=1上的动点，则|PF -| PE的最大值为()A. 2 B. J C. 3D. 4【解答】解：由题意，P在直线y=x-1上运动，E (0, 0)关于直线的对称点的坐标为A (1, - 1),- F (3, - 1),.|PF - | PE 的最大值为 |AF|=4,故选D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. (5分

20、)满足42x1> 吟)x-4的实数x的取值范围为(2, +8).【解答】解：不等式42x 1> (-)、一4可化为22(2x 1)>2x+4即 2 (2x- 1) >x+4,解得x>2,所以实数x的取值范围是(2, +oo).故选：(2, +oo).14. (5 分)已知直线 li: ax+4y1=0, I2: x+ay=0,若 I1/I2,贝实数 a=2 .【解答】解：二,直线 11： ax+4y- 1=0, I2: x+ay-国=0,解得a= - 2 （a=2时，两条直线重合，舍去） 故答案为：-2.亍)+f ( - 1) +f (0) +f (1)15. (

21、5 分)若函数 f (x)上:L,贝(jf(-1)+f (一 2”+L3+f (”f 号)一【解答】解：.函数f (x)上一， 2s H9-3：+l oh+1 个.f (x) +f ( x) j+=+=2, 2*+l 2=+l 2“1 2、L-f (-y) +f (4) +f (T) +f (0) +f (1) +f (y) +f (1) 2=2X3+ / =7.2 口十1故答案为：7.16. （5分）方程J+4工_3=ax+a由两个不相等的实数根,则实数a的取值范围【解答】解：设f (x) VJ+4厂3,如图所示，表示以(2, 0)为圆心，1为半径的半圆,由圆心(2, 0)至I y=ax+a

22、的距离J=L=1, J屋+1丁方程4一揖4工-3 =ax+a有两个不相等的实数根，实数a的取值范围为0,返).故答案为0,亚).4本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17. (10分)3), C ( 21).在平面直角坐标系中， ABC三个顶点分别为A (2, 4), B (1,【解答】解：(1) kBC=1,；BC边上的高所在的直线的斜率为则BC边上的高所在的直线方程为:y- 4=-j- (x-2),化为：3x- 4y+10=0.(2) BC边所在的直线方程为：y+3=-(x 1),化为：4x+3y+5=0.(1)求BC边上的高所在的直线方程;(2)设AC中点

23、为D,求4DBC的面积.D是 AC的中点，D(0,-1!|4X0+5X*h5| 匚点D到直线BC的距离d=.-心TsW 2又1 BC 寸 1-2-1 )4 (1+3) 2=5S DB(=1J18. (12分)已知函数f (x)邛距+/16产厂(1)求f (x)的定义域A;(2)若函数g (x) =x2+ax+b的零点为-1.5,当xC A时，求函数g (x)的值域.(1cg口工0,解得1<x<3,函数 16-产 >0的定义域为：1,3.(2)函数 g (x) =x2+ax+b 的零点为-1, 5,可得 a=- (-1+5) =- 4, b= - 1X5=-5,g (x) =x

24、2 - 4x - 5= (x 2) 29,当 xCA 时，即 xC 1, 3时，x=2 函数取得最 小值：y=-9, x=1或3时，函数取得最大值：-8.函数g (x)的值域-9, -8.19. (12分)在直三棱柱 ABC- A1B1C1中，D, E分别是BC, AiBi的中点.(1)求证：DE/平面 ACCAi;(2)设M为AB上一点，且AMAB,若直三棱柱 ABC- A1B1C1的所有棱长均 4相等，求直线DE与直线AiM所成角的正切值.【解答】证明：(1)取AB中点N,连结EN, DN,在4ABC中，N为AB中点，D为BC中点，DN/ AC,V DN?平面 ACCAi, AC?平面 A

25、CCAi, .DN/平面 ACCAi, 在矩形ABB1A1中，N为AB中点，E为AiBi中点， . EN/平面 ACCAi,又DN?平面DEN, EN?平面DEN,DNA EN=N,.平面 DEN/平面 ACCAi,v DE?平面 DEN,. DE/ 平面 ACCAi.解：(2)作 DP，AB 于 P, 直三棱柱ABC- AiBiCi的所有棱长均相等，D为BC的中点, DP，平面ABBAi的所有棱长相等，D为BC的中点， .DP，平面 ABBAi,且 PB=-AB,又 AMAB, 44 MP=AB, 2AiE=EP AiM=EP, / DEP是直线DE与直线AiM所成角， .由 DP,平面 A

26、BBAi, EP?平面 ABBAi,得 DPIEP,设直线三棱柱ABC- AiBiCi的棱长为a,贝U在 RtDPE中，DP=Iq, EP=AM=a, .tan/DEP=L=、a EP 17直线DE与直线AiM所成角的正切值为 祟.20. (i2分)已知f (x) =3x+m?3 x为奇函数.(i)求函数g (x) =f (x)-看的零点;(2)若对任意tCR的都有f (t2+a2-a) +f (i+2at) >0恒成立，求实数a的取 值范围.【解答】解：(1) . f (x)是奇函数，f (0) =0,解得：m= - 1,.f (x) =3x- 3 x,令 g (x) =0,即 3x-

27、 3 x-=0,令 t=3x,则 t-1_=0,即 3t28t 3=0,解得：1=3或1= L, 3vt=3x>0, .-.t=3gPx=1, 函数g (x)的零点是1;(2)二.对任意 tCR 的都有 f (t2+a2-a) +f (1+2at) >0 包成立, .f (t2+a2 a) > - f (1+2at)对任意 tCR包成立， vf (x)在R是奇函数也是增函数，-f (t2+a2-a) >- f ( - 1 - 2at)对任意 t R 恒成立, 即t2+a2 - a> - 1 - 2at对任意t R包成立，即t2+2at+a2 - a+1 >0

28、对任意t R包成立， . . 二(2a) 2-4 (a2 - a+1) < 0,.a< 1,实数a的范围是(-巴 1.21. (12分)在四棱锥P ABCD中， ABC为正三角形，AB± AD, AC± CD, PA ，平面ABCR PC与平面ABCD所成角为45°(1)若E为PC的中点，求证：PD±¥面ABE;(2)若CD=1,求点B到平面PCD的距离.【解答】(1)证明：= PA1平面ABCR CD?平面ABCR.PALCD. AC，CD, PAAAC=A.CD，平面 PAC 而 AE?平面 PACCD，AE.: PC与平面ABCD所成角为450AC=PA.E 是 PC 的中点，AE± PC,又 PCn CD=C ；AE，平面 PCR 而 PD?平面 PCR a AE± PD.PAL