小学奥数几何五大模型相似模型

1、任意四边形、梯形与相似模型模型四相似三角形模型（二）沙漏模型 AD AE DE AF AB AC BC AG ' SA ADE： SA ABC AF : AG °所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。

2、在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。BE 4,那么FC的长【例1】如图，已知在平行四边形 ABCD中，AB 16, AD 10, 度是多少？【解析】图中有一个沙漏，也有金字塔,所以 BF:FC BE:CD 4:16但我们用沙漏就能解决问题，因为AB平行于CD ,41:4 ,所以 FC 10 8 .【例2】如图，测量小玻璃管口径的量具 ABC, AB的长为15厘米，AC被分为60等份。如果小玻璃管口 DE正好对着量具上20等份处（DE平行AB）,那么小玻璃管口径 DE是多大？01020 30 4050 60有一个金字塔模型， 所以DE: AB DC : AC , DE

3、 :15 40:60 ,所以DE 10厘米。ADE模型 AD : AB AE : ACDE :BC2: (23)2:5SA ADE ： SA ABC22 :524:25,设 SAADE则SA ABC25份，SA BEC25 53 15S ADE ： SAECB4 :15。【例3】如图，DE平行BC,若AD:DB 2:3 ,那么 Sa ade ： Saecb DBCAFG【例4】 如图， ABC中，DE , FG , BC互相平行， AD DF FB , 贝U Saade ： Sg边形 DEGF ：鲍边形 FGCB 0【解析】设$4 ade 1份，根据面积比等于相似比的平方，所以 Saade：S

4、a afgAD2： AF2 1:4,SA ade ： SabcAD2：AB2 1:9,因此Sa afg 4 份，Sa abc 9 份，进而有S四边形 DEGF3份,S四边形FGCB 5份，所以SAADE ： S四边形 DEGF ： S四边形 FGCB1:3:5【巩固】如图， DE平行BC,且AD 2, AB 5, AE 4 ,求AC的长。【解析】 由金字塔*II型得 AD: AB AE:AC DE: BC 2:5，所以AC 4 2 5 10【巩固】如图，4ABC中，DE , FG , MN , PQ , BC互相平行，AD DF FM MP PB , 则 SAADE : S3边形 DEGF :

5、 S3边形 FGNM : S3边形 MNQP : S3边形 PQCB °B'-C【解析】设SA ADE1 份，SAADE:Sa AFGAD2：AF21:4 ,因此Saafg4份，进而有S四边形DEGF 3份，同理有 $四边形FGNM5份, &边形mnqp 7份, &边形PQCB9份.所以有SAADE : S3边形 DEGF : S3边形 FGNM : S3边形 MNQP : S3边形 PQCB 1: 3: 5:7:9【总结】继续拓展，我们得到一个规律：平行线等分线段后，所分出来的图形的面积成等差数列。【例5】 已知 ABC中，DE平行BC ,若AD : DB

6、2:3 ,且S弟形dbce比Saade大8.5 cm2 , 求 SA ABC °【解析】根 据 金字塔模型 AD : AB DE :BC2: (2 3) 2:5,2_2Sa ade : Sa abc2 :54:25 ,设SaADE 4份，则SaABC 25份，SW形 DBCE 25 4 21份，S弟形dbce比SAade大17份，恰好是8.5cm2 ,所以 2SA ABC 12.5 cm例6如图：MN平彳t BC ,Sampn : Sa bcp 4 :9 , AM 4 cm ,求BM的长度【解析】BM 6【例7】例8在沙漏模型中，因为AM : ABMN : BC4 2 cmSAMPN

7、 : S BCP2:3 ,因为BC, BO:EO如图，已知DE平行由沙漏模型得 BO : EOAD: AB DE: BC 2:3如图， ABC中，AE4:9，所以MN : BC 2:3 ,在金字塔模型中有：AM 4 cm , AB 4 2 3 6 cm，所以3: 2 ,那么 AD: ABBC:DE 3:2 ,再由金字塔模型得111 AB , AD 1AC, ED与BC平行，EOD的面积是144平方厘米。那么 AED的面积是因为AE 1 AB , 4根据相似模型可知平方厘米。1_ AD -AC , ED 与 BC 平行, 4ED: BC 1:4, EO:OC 1:4则Scde 4 1 5平方厘米

8、,又因为 S AED : S CDE AD : DC 1:3 ,所以 S AEDS COD 4S EOD 4平方厘米,1531方厘米）.在图中的正方形中，A, B, C分别是所在边的中点，VCDO的面积是VABO面积的几倍？CFCBE 6,那么图中阴影部分【解析】 连接BC ,易知OA / EF ,根据相似三角形性质，可知 OB:OD AE : AD ,且OA:BE DA:DE 1:2 , 所以VCDO 的面积等于 VCBO的面积；由11OA -BE AC 可得 CO 3OA,所以 Svcdo Svcbo 3S/abo ,即 VCDO 的面积是 24VABO面积的3倍。【例9】 如图，线段 A

9、B与BC垂直，已知AD EC 4, BD面积是多少？【解析】 解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看.作辅助线BO ,则图形关于BO对称，有Svado Svceo , SVDBO SVEBO , 且Svado : Svdbo 4 : 62 ：3 .设VADO的面积为2份，则VDBO的面积为3份，直角三角形ABE的面积为8份. 因为Svabe 6 10 2 30 ,而阴影部分的面积为4份，所以阴影部分的面积为30 8 4 15.解法二：连接 DE、AC .由于 AD EC 4 , BD BE 6 ,所以DE / AC ,根 据相似三角形性质，可知DE: AC

10、 BD: BA 6:10 3:5,根据梯形蝴蝶定理，Svdoe :Svdoa :Svcoe :Svcoa 32: 3 5:3 5 节2 9:15:15:25,15 .所以 S阴影:S弟形adec15 15:9 15 15 25 15. 32,即SI影S弟形ADEC ；32Pc1 .又S梯形ADEC 102一 115一10 - 6 6=32 ,所以 S阴影 一S梯形adec 15 .232【例10】（2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛）如图，四边形ABCD和EFGH都是平行四边形，四边形 ABCD的面积是16, BG:GC 3:1,则 四边形EFGH的面积 .【解析】【例1

11、1】【例12 因为FGHE为平行四边形，所以 EC/AG ,所以AGCE为平行四边形.11BG: GC 3:1 ,那么 GC: BC 1:4,所以 S/agce Syabcd 16 4. 44又AE GC,所以AE:BG GC : BG 1:3 ,根据沙漏模型，3 3FG : AF BG: AE 3:1 ,所以 S/fghe S/agce 4 3 .4 42:1,E是BD的中点，且EF/BC,【解析】已知三角形 ABC的面积为a , AF : FC 交CD于G ,求阴影部分的面积.EFBC ,利用相似三角形性质可知2EF :BC AF : AC 2:3 ,所以 EF BC ,且 Svaef :

12、 S/abc 4:9 .31 又因为E是BD的中点，所以 EG是三角形 DBC的中位线，那么 EG - BC ,21 2一一，r -，、，EG:EF -:- 3:4,所以 GF:EF 1:4,可得 Svcfg : S/afe 1:8 ,所以 2 3SVCFG : SVABC1:18 ,那么 S/CFGa18已知正方形 ABCD ,过C的直线分别交 AB、AD的延长线于点AE 10cm, AF 15 cm,求正方形 ABCD的边长.【解析】方法一：本题有两个金字塔模型，根据这两个模型有BC: AF CE:EF ,【例13】BC DC CE CFDC: AE CF :EF ,设正方形的边长为 x

13、cm,所以有AF AE EF即2 A 1 ,解得x 6 ,所以正方形的边长为 6 cm .15 10方法二：或根据一个金字塔列方程即A 竺一，解得x 61015EF如图，三角形 ABC是一块锐角三角形余料，边 米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？BC 120毫米，高 AD 80毫BC上，其余两个顶点分别在【解析】PNBCx120APAB x80PH BP,设正方形的边长为 x毫米，PNAD ABBC1 ,解得x 48,即正方形的边长为 48毫米.PHADAP空1,即AB AB观察图中有金字塔模型5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以有【

14、巩固】如图，在4ABC中，有长方形 DEFG, G、F在BC上，D、E分别在 AB、AC 上，AH 是 4ABC 边 BC 的高，交 DE 于 M, DG: DE 1:2, BC 12 厘米， AH 8厘米，求长方形的长和宽.【解析】观察图中有金字塔模型5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以ADABDE AD DG BD 所以有 DE DGBC AB 'AH AB ' BC AH 2x x2448所以有一1 ,斛得x , 2x , 12 877BD1 ,设 DG x ,则 DE 2x , AB 48 一，因此长方形的长和宽分别是虫厘米,72424厘米.7【例14】图中AB

15、CD是边长为12cm的正方形，从G到正方形顶点C、D连成一个三角 形，已知这个三角形在 AB上截得的EF长度为4cm,那么三角形 GDC的面积是 多少？GG【解析】根据题中条件，可以直接判断出EF与DC平行，从而三角形GEF与三角形GDC相 似，这样，就可以采用相似三角形性质来解决问题.做GM垂直DC于M ,交AB于N .因为EF / DC ,所以三角形GEF与三角形GDC相似，且相似比为EF:DC 4:12 1:3,所以 GN: GM 1:3 ,又因为 MN GM GN 12,所以 GM 18 cm , 所以三角形GDC的面积为1 12 18 108 cm2 .2【例15 如图，将一个边长为

16、2的正方形两边长分别延长 1和3,割出图中的阴影部分, 求阴影部分的面积是多少？【解析】根据相似三角形的对应边成比例有:NF 3 EM 11 2 2 3 ' 2 3 1 2一55则 NF5, EM5,93c1c9门51Si2225330【例16】（2008年101中学考题）图中的大小正方形的边长均为整数（厘米），它们的面积之和等于52平方厘米，则阴影部分的面积是 .【解析】设大、小正方形的边长分别为22m 8.右 m 5,贝 Um nm厘米、n厘米（m n ）,则m2 n2 52 ,所以52 2 50 52 ,不合题意，所以m只能为6或7.检验可知只有m 6、n 4满足题意，所以大、小

17、正方形的边长分别为6厘米和4厘米.根据相似三角形性质，BG:GF AB:FE 6: 4 3: 2 ,而BG GF 6,得1 一、一，BG 3.6（厘米），所以阴影部分的面积为： 一 6 3,6 10.8（平万厘米）.2【例17】如图，O是矩形一条对角线的中点， 图中已经标出两个三角形的面积为3和4,那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少？【解析】【例18】连接OB ,面积为4的三角形占了矩形面积的1，所以Soeb 4 3 1,所以 4OE：EA 1:3，所以CE:CA 5:8 ,由三角形相似可得阴影部分面积为8 （5）2 空.88已知长方形 ABCD的面积为70厘米，E是AD的中点, 三等分

18、点，求阴影 EHO的面积是多少厘米？F、G是BC边上的【解析】因为E是AD的中点，F、G是BC边上的三等分点，由此可以说明如果把长方形 的长分成6份的话，那么ED AD 3份、BF FG GC 2份，大家能在图形中 找到沙漏 AEOD和ABOG ：有ED： BG = 3 ：4,所以OD ： BO 3： 4 ,相当于把BD 分成（3 4） 7份，同理也可以在图中在次找到沙漏：4EHD和4BHF也是沙漏，ED： BF 3 ： 2,由此可以推出： HD： BH 3 ：2,相当于把BD分成（3 2） 5份， 那么我们就可以把 BD分成35份（5和7的最小公倍数）其中OD占15份，BH占14 35份，H

19、O占6份，连接EB则可知 ABED的面积为70 4 ,在BD为底的二角形中HO占6份，则面积为： 竺 3（平方厘米）. 235【例19】ABCD是平行四边形，面积为 72平方厘米，E、F分别为AB、BC的中点， 则图中阴影部分的面积为 平方厘米.【解析】方法一：注意引导学生利用三角形的中位线定理以及平行线的相关性质.设G、H分别为AD、DC的中点，连接 GH、EF、BD .曰G1 G可信SVAED =S平行四边形ABCD , 4S/ADO对角线BD被EF、 AC、 GH平均分成四段，DO : ED所以23BD: BD44SVAEO32:3 , OE :ED ED OD : ED一S平行四边形A

20、BCD 41 1 72 6 （3 4又OM / EF ,所以3 2:3 1:3,平方厘米），2 Svaeo 12（平方厘米）.同理可得Svcfm6平方厘米，Svcdm12平方厘米.所以 S/abc Svaeo Svcfm 36 6 6 24（平方厘米）, 于是，阴影部分的面积为 24 12 12 48（平方厘米）.方法二：寻找图中的沙漏,AE:CD AO:OC 1:2, FC : AD CM : AM 1:2,11因此O,M为AC的二等分点，Saodms平行四边形ABCD 72 12 （平万厘米），66Sa aeo 1SAOCD 1 12 2 6 （平方厘米），同理Sa fmc 6 （平方厘米

21、），所以 44Sg影 72 12 6 6 48（平方厘米）.【例20 如图，三角形PDM的面积是8平方厘米，长方形 ABCD的长是6厘米，宽是4厘米，M是BC的中点，则三角形 APD的面积是 平方厘米.【解析】 本题在矩形内连接三点构成一个三角形，而且其中一点是矩形某一条边的中点，一般需要通过这一点做垂线.B AD的中点N ,连接MN ,设MN交PD于K .则三角形PDM被分成两个三角形，而且这两个三角形有公共的底边MK ,可知三.1 .8 .角形PDM的面积等于 MK BC 8（平万厘米），所以MK=-（厘米），那么238 4NK 4 -（厘米）.3 3因为NK是三角形APD的中位线，所以

22、AP 2 NK 9 （厘米），所以三角形 APD3的面积为 1 8 6 8（平方厘米）.2 3【例21】如图，长方形 ABCD中，E为AD的中点，AF与BE、BD分别交于G、H, OE 垂直 AD 于 E ,交 AF 于 O ,已知 AH 5 cm, HF 3cm ,求 AG .【解析】由于AB / DF ,利用相似三角形性质可以得到AB: DF AH : HF 5:3 ,又因为E为AD中点，那么有 OE:FD 1:2,3 .所以AB:OE 5: - 10:3 , 利用相似三角形性质可以得到 2AG:GO AB:OE 10:3,一一11一,一1040而 AO AF5 34 cm ,所以AG4c

23、m .221313【例22 1右图中正万形的面积为 1, E、F分别为AB、BD的中点，GC - FC ,求 3阴影部分的面积.【解析】题中条件给出的都是比例关系，由此可以初步推断阴影部分的面积要通过比例求解，而图中出现最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性质.阴影部分为三角形，已知底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可求出面积.可以作FH垂直BC于H , GI垂直BC于I .根据相似三角形性质，CI :CH CG:CF 1:3 ,又因为CH HB ,所以一1155CI :CB 1:6 ,即 BI : BC 6 1:6 5: 6 ,所以 Svbge -.2 2 6 24【例2

24、3】梯形 ABCD的面积为12, AB 2CD , E为AC的中点，BE的延长线与 AD交 于F ,四边形CDFE的面积是 .FFEEAABB2CD2:11F分别为各边的中点ABC的面积为DE那么阴影部分的面积是AAEDCCBBFFAEN60平方厘米 平方厘米.121616GF:GB 1:31s2AF :FD AB: DG【解析】延长BF、CD相交于GS EBCAB :CD 2 :1所以S BCD1 12331 12 324如图一 SABCD由于E为AC的中点，根据相似三角形性质，CG ABS ABD : S BCDS GDFS GBC4 ,S GBC 2S BCD 8SISS GBC S G

25、BC3GBC ,所以 SCDFE/MD.EI八 1 一 1GD GC -AB , 2283CBF可以将其转化为两个三角形【解析】阴影部分是一个不规则的四边形，不方便直接求面积,BEF与EMN的面积之差，又可以转的面积之差.而从图中来看，既可以转化为 化为 BCM与CFN的面积之差.（法1）如图，连接DE .由于D、E、F分别为各边的中点，那么ABC面积的一半，即30平方厘米；那么BDEF为平行四边形，且面积为三角形BEF的面积为平行四边形 BDEF面积的一半，为15平方厘米.根据几何五大模型中的相似模型，由于DE为三角形ABC的中位线，长度为BC的1一半，则 EM:BM DE : BC 1:2

26、,所以 EM EB ;31 EN:FN DE:FC 1:1,所以 EN 1EF .1 ,所以阴影部分面积为62那么 EMN的面积占 BEF面积的1 12 3115 1 12.5（平万厘米）.6（法2）如图，连接AM .根据燕尾定理，S ABM ：S BCM AE：EC 1:1, Sacm：Sbcm AD : DB 1:1,1 1所以S BCO S ABC -60 20平方厘米， 33一111而S BDC S ABC6030千方厘米，所以 S FCN一 SBDC7.5千方厘米,2 24那么阴影部分面积为 20 7.5 12.5（平方厘米）.【总结】 求三角形的面积，一般有三种方法：利用面积公式：

27、底 高2;利用整体减去部分；利用比例和模型.【例25 如图，ABCD是直角梯形,多少？AB 4, AD 5,DE 3,那么梯形 ABCD的面积是【解析】 延长EO交AB于F点，分别计算 AODQAOBADOCABOC的面积，再求和.SA BOC 3 , 1DE：BF DO ：OB 3：1 S AOD , SA AOB 3 . 1 ； SA DOCSa aodSa BOC1又Saabd- 4 5 102一3八aod _ Sa abd 7.5 , & aob 2.5, Sa boc 7.5, Sa doc 3Sa boc 3 7.5 22.5 4.S弟形 abcd7.5 2.5 7.5 2

28、2.5 40【例26】边长为8厘米和12厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是多少平方厘米？【解析】给图形标注字母，按顺时针方向标注,大正方形为 ABCD，小正方形为 MNDE , EB【例2例【例28】分别交AC, AD于O,H两点,AO：OC AB： EC 12 ： 20 3 ：5, .AO： AC 3 ：8, AH： AD, S ADC一S AHOAH：BC AO：OC 3 ：53 ：5, Sa aho： Sa adc9： 401 212 2 Sa adc407272 16.240ABCD 中，EF16, FG 9 ,求 AG 的长.如右图，长方形因为DA / BE ,根

29、据相似三角形性质知又因为DFAG 所以AGGE/ ABFGGADGGB一 2即AGFGGAGE FG 25（第21届迎春杯试题DGGBAGGE，）如图，已知正方形点，E是DC边上的点，且 DE:EC 1:3,【解析】方法一：连接 AE ,延长AF ,2225 15 ,所以 AGABCD的边长为4,AF与BE相交于点G15.F是BC边的中,求 Sa abgDC两条线交于点 M ,构造出两个沙漏，所以有AB:CMBF:FC 1:1 ,因此CM 4,根据题意有 CE 3,再根据另一个沙漏有 GB:GE AB:EM44324:7 ，所以 SAABG SA ABE一 (4 4 2) -471111方法二

30、：连接 AE,EFSA AEF 4441232247分另1J求SA ABF4 2 2 4, 根 据 蝴 蝶 定 理SA ABF : S AEFBG : GE4:7,所以SA ABG4SA ABE4 74 (4 114 2)3211E、F是AB、AD的中点,BF交EC于M ,求 BMG的面积.FD:BCADFH : HC 1:2,已知平行四边形 ABCD的面积是1,【例29如图所示,点，得EF / /BD ,而EB:CDBG:GD 1:2 所以 CH:CFGH : EF并得G、H是BD的三等分点，所以BG GH ,2:3 , 所以BG:EF所以BMBM : MF 2:32 cL C一 BF ,

31、S BFD5又因为BG 1BD ,所以31SS ABD2S 1S BMG31225一 Sy ABCD2S BFD1一；425130BM :MF2BM -BF5BC: IF可得S BMGBDF2 11一 一SYABCD5 3 4130【例30（清华附中入学试题F是BC的中点，四边形）正方形ABCD的面积是BGHF的面积是120平方厘米，E是AB的中点, .平方厘米.解法二:延长CE交DA于I ,如右图,可得，AI : BC AE: EB 1:1从而可以确定 M的点的位置，2:3 ,1.、一3BD （鸟头定理）,【解析】欲求四边形BGHF的面积须求出由题意可得到： EG:GC EB:CDEBG和C

32、HF的面积.1:2,所以可得：sebg -Sbce3将AB、DF延长交于 M点，可得:BM : DC MF : FD BF : FC1:1而 EH : HC EM :CD(2ABAB) :CD3: 2 ,得 CH而CF1BC ,所以SCHF2 Sbce5-Sbce5S BCE1AB 2BC12030选边形BGHFS EBC3sEBC5sEBC本题也可以用蝴蝶定理来做,连接S15EF ,EBC确定7301514 H的位置（也就是FH : HD ）,同样也能解出.【例31 如图已知SA ABC 14，点D,E,F 分别在 AB, BC,CA上,且AD 2,BD5, AF FC ,金边形 DBEFSZABE 则 SA ABE 正多少？【解析】 ABC的面积已知，若知道4ABE的面积占