2018江苏数学高考真题含答案解析

1、2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 .本试卷共4页，均为非选择题（第1题第20题，共20题）。本卷满分为160分，考试时 间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。2 .答题前，请务必将自己白姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3 .请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。4 .作答试题，必须用 0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置 作答一律无效。5 .如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗

2、。参考公式：1锥体的体积V 1Sh,其中S是锥体的底面积，h是锥体的高. 3一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位 置上. 1 .已知集合 A 0,1,2,8 , B 1,1,6,8,那么 AI B .2 .若复数z满足i z 1 2i ,其中i是虚数单位，则z的实部为 .3 .已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 .R 99 9 011 （第3题）4 . 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为 .II；While 6；1+2；S-2S；End WhilePrint S；5 .函数f(

3、x) JlogzX 1的定义域为 .6 .某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选 2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为.7.已知函数y sin(2x )()的图象关于直线x 对称，则 的值是 .223228.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线当 当1(a 0,b 0)的右焦点F(c,0)到一条渐近 a b线的距离为3c,则其离心率的值是 .2xcos ,0 x 2,9.函数 f(x)满足 f(x 4) f(x)(x R),且在区间(2,2上，f (x)2则1 一C|x - |,-2 x 0,f (f(15)的值为.10 .如图所示，正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体

4、的体积为.（第 iOS）3211 .若函数f(x) 2x ax 1(a R)在(0,)内有且只有一个零点，则f (x)在1,1上的最大值与最小值的和为 .12 .在平面直角坐标系 xOy中，A为直线l : y 2x上在第一象限内的点，B（5,0）,以AB为uuu uuur直径的圆C与直线l交于另一点D.若AB CD 0,则点A的横坐标为.13 .在4ABC中，角A,B,C所对的边分别为 a,b,c , ABC 120 , ABC的平分线交 AC 于点D,且BD 1 ,则4a c的最小值为 .*n*14.已知集合 A x|x 2n 1,n N , B x|x 2 ,n N .将AU B的所有兀素

5、从小到大依次排列构成一个数列 an 记Sn为数列 an的前n项和，则使得Sn 12an 1成立的内作答，解答时应写出文字二、解答题：本大题共 6小题，共计90分.请在答题卡指定区域说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）在平行六面体 ABCD AB G D1中,AA1 AB, AB1 B1G.求证：（1） AB/平面 A1B1C；(2)平面ABB1A 平面ABC.（第15题）16.（本小题满分14分）已知，为锐角，tan(1)求cos2 的值;(2)求tan( )的值.17.（本小题满分14分）MPN （P为此圆弧的中点）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆。的一段圆弧和线段M

6、N构成.已知圆。的半径为40米，点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I内的地块形状为矩形ABCD,大棚H内的地块形状为sin且甲、OC的 CDP ,要求A,B均在线段MN上，C,D均在圆弧上.与MN所成的角为（1）用 分别表示矩形 ABCD和4CDP的面积，并确定取值范围;（2）若大棚I内种植甲种蔬菜， 大棚n内种植乙种蔬菜,R ,满足 f (%) g(%)且乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3 .求当 为何值时，能使甲、 乙两种蔬菜的年总产值最大.18 .(本小题满分16分)1如图，在平面直角坐标系 xOy中，椭圆C过点(J3,)，焦点2Fi( J3,0), F

7、2(J3,0),圆。的直径为 EF2.(1)求椭圆C及圆O的方程；(2)设直线l与圆。相切于第一象限内的点P.若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；直线l与椭圆C交于A,B两点.若4OAB的面积为 迤 ,7求直线l的方程.19 .(本小题满分16分)记f (x),g (x)分别为函数 f(x),g(x)的导函数.若存在X0f (%) g (%),则称为函数f (x)与g(x)的一个“S点”.(1)证明：函数f (x) x与g(x) x2 2x 2不存在“ S点”；(2)若函数f (x) ax2 1与g(x) lnx存在"S点"，求实数a的值；bex(3)已知函数

8、f(x)x2 a, g(x) .对任意a 0,判断是否存在b 0 ,使函x数f(x)与g(x)在区间(0,)内存在“ S点”，并说明理由.20 .(本小题满分16分)设an是首项为现，公差为d的等差数列，bn是首项为 4 ,公比为q的等比数列.(1)设& 0,b 1,q 2,若|an bn | 6对n 1,2,3,4均成立，求d的取值范围；(2 )若 为 b10,m N*,q (1,m2,证明：存在 d R ,使得 | 纵 * |。对n 2,3,L ,m 1均成立，并求d的取值范围(用b,m,q表示).（2）因为，为锐角，所以（0，句.数学I试题参考答案1.1, 82. 23. 904

9、. 85.2, +00)6 -7.-8. 21069.210. 411 . T12. 32313,914. 27、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分.二、解答题15 .本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.证明：（1）在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，AB/ AiBi.因为AB 平面A1B1C, A1B1平面A1B1C,所以AB/平面A1B1C.（2）在平行六面体 ABCDA1BGD1中，四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA1=AB,所以四边形 ABB1A1为菱形，因此 A

10、B11A1B.又因为 AB11B1C1, BC/ B1O,所以 AB1 X BC.又因为 A1BABC=B, A1B 平面 A1BC, BC 平面 ABC,所以ABi,平面A1BC.因为AB1 平面ABBA1,所以平面ABBA1,平面A1BC.16 .本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求 解能力.满分14分.解：（1）因为 tan 4, tan sin ,所以 sin cos .3 cos3因为 sin7因此，cos2 2cos 1 一 .25cos21 ,所以 cos2,25又因为 cos( )55 , 所以 sin( ) J1cos2() 255，因此

11、 tan( )2 .因为tan4 2tan,所以 tan 2-2457因此，tan()tan2 (tan 2tan()1 + tan2 tan()21131 tan217.本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建第”理)模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分 14分.解：(1)连结PO并延长交 MN于H,则PHI±MN,所以OH=10.过。作 OE，BC于 E,贝U OE/ MN,所以/ COE= 0,故 OE=40cos 也 EC=40sin a则矩形 ABCD的面积为 2X40coS (40sinO+10) =800 (4sinOcosO

12、+cosO),1 CDP的面积为一X2X40cOs40Y0sin。)=1600 (cos。-sin 0cos0). 2过N作GN，MN,分别交圆弧和 OE的延长线于 G和K,则GK=KN=10.令/ GOK=生，则 sin 伪=1 ,仇6 (0,). 46当9C 虬 /)时，才能作出满足条件的矩形ABCD,所以sin。的取值范围是1，1).4答：矢I形ABCD的面积为800 (4sin9cos0+cos0)平方米， CDP的面积为1600 (cos。-sin 0cos 0), sin 0 的取值范围是1 , 1).4(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4 ： 3,设甲的单位面积的年产

13、值为4k,乙的单位面积的年产值为3k (k>0),则年总产值为 4kx800 (4sin 0cos 0+cos 0) +3kX1600 (cos。-sin 0cos 0) ，.一 一一、 一一- 兀、=8000k (sin Ocos 卅cos 0), 0 Oo,).设 f ( 0) = sin Ocos 卅cos 0, 。6仇，),则 f ( ) cos2sin2 sin (2sin 2 sin 1) (2sin 1)(sin 1).令f'( )=0，得仁-,6当ee (虬 三)时，()>o，所以f(。)为增函数;6当ee（，）时，（）o，所以f （为减函数，62因此，当0

14、=时，f （取到最大值.6答：当0=，时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.616分.18.本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力.满分解：（1）因为椭圆c的焦点为F1（ T3,0）,f2（V3,0）,0）,又点（J3,1）在椭圆C上,22可设椭圆c的方程为x- y- ia b a b2所以* 4b2 1,解得a2 b23,b24,1,2因此，椭圆C的方程为y2 1 .4因为圆。的直径为F1F2,所以其方程为x2 y2 3.（2）设直线l与圆O相切于P,y十220, y°0),则 xoy

15、o 3,所以直线l的方程为y0-（x x0） y0,即yyox03x .v。y02 x由4y1,X03一 x 一y。y。,消去v,得,22.2_2_(4x0y° )x 24x0x 36 4y00.(*)因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,所以 (24x0)2 4(4 x02 y02)(36 4y02) 48y02 (x02 2)0.因为x0,y0 0 ,所以x0 乏y0 1 .因此，点P的坐标为（点,1）.4.27因为三角形 OAB的面积为 2®,所以二AB OP 壁，从而AB 727设 A(x1,y1),B(x2,y2),由(*)得 Xi,224x048y0(X02)Z

16、 222(4X0V。)所以 AB2 (xi X2)2 (yi y2)2222_X048yo (X02)(l -2) -22T2-y0(4X0y0 )因为 X02y02 3,2no. 一所以 AB2 吗02) 32,即 2X04 45X02 100 0,(X02 1)249解得X02 5(X02 20舍去)，则y02 -,因此P的坐标为(10,) .2222综上，直线l的方程为y75X 3".19.本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.满分16分.解：(1)函数 f (x) =x, g (x) =x2+2x-2,贝U f

17、9; (x) =1, g' (x) =2x+2.由 f (x) =g (x)且 f' (x) = g' (x),得2x x 2x 2,此方程组无解，1 2x 2因此，f (x)与g (x)不存在"S'点.2(2)函数 f(x) ax 1 , g(x) In x ,1贝U f (x) 2ax, g (x) 一. x设 X0 为 f (x)与 g (x)的"S'点，由 f (X0)=g (X0)且 f' (X0)=g' (X0),得-2ax。 1 ln %1,即-2ax0 1 In x022ax。1,(*)121得 In

18、x。 , IP xo e ,则 a21当a £时，xo e 2满足方程组21 e2(e2)22*),即xo为f(x)与 g (x)的"S" 点.2ax0 一 xo因此，a的值为-.2(3)对任意 a>0,设 h(x) x3 3x2 ax a.因为h(0)a 0, h(1) 1 3 a a2 0 ,且h (x)的图象是不间断的,所以存在x0 £0, 1),使得 h(%) 0 ,令 b 10，则 b>0. e (1 x0)函数f (x)则 f'(x)a ， g(x) be-2x ， g'(x)bex(x 1)2x由 f (x) =

19、g (x)且 f' (x) =g' (x),得2xbea x-be (x 1)2x2x3-2x°e Fe (1 %) x2x3ex(x 1)ex0(1 %) x2(*)此时，x°满足方程组(* ),即是函数f (x)与g (x)在区间(0,1)内的一个“ S点” 八、因此，对任意a>0,存在b>0,使函数f (x)与g (x)在区间(0, +8)内存在“S点”.20.本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.满分16分.解：(1)由条件知：an (n 1)d,bn

20、 2nl.因为|an bn | b对n=1, 2, 3, 4均成立，即 |(n1)d2n 1 | 1 对 n=1, 2, 3, 4 均成立，75即 1 1,1 d 3, 3 2d 5, 7 3d 9,得一d -.3因此，d的取值范围为7：.3 2(2)由条件知：anth (n 1)d,bnbiq若存在 d,使得 |an bn | b1 (n=2, 3, -； m+1)成立，即 | bi (n 1)d biqn 1 | bi (n 2,3, L ,m 1),n 1n 1即当 n 2,3,L ,m 1 时，d 满足 q24 d Sb- n 1n 1因为 q (1m2,则 1 qn 1 qm 2 ,

21、n 1 on 1从而q2D 0，b1 0,对n 2,3,L ,m 1均成立.n 1n 1因此，取d=0时，|an bn | b1又n 2,3,L ,m 1均成立.n 1n 1下面讨论数列q2的最大值和数列_q_的最小值(n 2,3,L ,m 1).n 1n 1nn 1n nn 1n n 1n当 2 n m时，q 2 q 2 nq q nq 2 n(q q ) q 2 n n 1n (n 1)n(n 1)1当 1 q 2m 时，有 qn qm 2,从而 n(qn qn 1) qn 20 .n 1 q因此，当2 n m 1时，数列q2单调递增，n 1n 1m q故数列q2的最大值为q一2.n 1m

22、设 f(x) 2x(1 x),当 x>0 时，f (x) (In 2 1 xln2)2x 0 ,所以f(x)单调递减，从而 f(x)<f (0) =1.n1当 2 n m时，-nr qn-1 2n (1 1) f (1) 1,q nn nn 1n 1因此，当2 n m 1时，数列=单调递减，n 1n 1m故数列八的最小值为q-.n 1m因此，d的取值范围为b1(qm 2),对.数学n（附加题）21 .【选做题】本题包括 A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.A.选彳41:几何证明

23、选讲（本小题满分10分）如图，圆。的半径为2,AB为圆。的直径，P为AB延长线上一点,过P作圆O的切线，切点为 C.若PC 2褥，求BC的长.B.选彳4-2:矩阵与变换（本小题满分10分）.2 3已知矩阵A 3 .1 2（1）求A的逆矩阵A 1；（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P （3,1）,求点P的坐标.C.选彳4> 44:坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，直线l的方程为 sin（ -） 2,曲线C的方程为 4cos ,求直线l6被曲线C截得的弦长.D.选彳4-5:不等式选讲（本小题满分10分）若x, y, z为实数，且x+2y+2z=6,求x2 y2 z2的

24、最小值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22 .（本小题满分10分）如图，在正三棱柱 ABGAiBiCi中，AB=AAi=2,点P, Q分别为AiBi , BC的中点.（1）求异面直线BP与ACi所成角的余弦值；（2）求直线CC与平面AQCi所成角的正弦值.23 .（本小题满分10分）设n N ,对1,2,n的一个排列i/L in ,如果当s<t时，有is it,则称（is，it）是排列i6L in的一个逆序，排列iL in的所有逆序的总个数称为其逆序数例如：对 1， 2， 3 的一个排列 231

25、 ，只有两个逆序（2， 1）， （3， 1），则排列 231 的逆序数为2.记fn（k）为1, 2, n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数.（ 1）求f3 （2）, f4 （2） 的值；（ 2）求fn （2）（ n 5） 的表达式（用 n 表示 ）数学n(附加题)参考答案21 .【选做题】A.选彳41:几何证明选讲本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力.满分 10分.证明：连结OC.因为PC与圆O相切，所以 OC± PC又因为 PC=2#, OC=2,所以 OP= PC2 OC2 =4.又因为OB=2,从而B为RtOCP斜边的中点，所以 BC=2.B.选彳42:矩阵

26、与变换本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.-、2 3解：(1)因为A, det(A) 2 2 13 10,所以A可逆，121 23从而A 1.1 2设 P(x, y),则 2 3 x 3 ,所以 x A 1 33,1 2 y 1y 11因此，点P的坐标为(3, T).C.选彳44:坐标系与参数方程本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.解：因为曲线C的极坐标方程为 =4cos ,所以曲线C的圆心为(2, 0),直径为4的圆.因为直线l的极坐标方程为sin( ) 2 ,6则直线l过A (4, 0),倾斜角为A所以A为直线l与

27、圆C的一个交点.设另一个交点为 B,则/ OAB= :连结OB,因为OA为直径，从而/ OBA=所以 AB 4cos - 2 3 .6因此，直线l被曲线C截得的弦长为2曲.D.选彳45:不等式选讲本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力.满分 10分.证明：由柯西不等式，得 (x y z )(122 ) (x 2y 2z).因为 x 2y 2z=6 ,所以 x2 y2 z2 4 ,当且仅当个义三时，不等式取等号，此时 x y z 4 , 122333所以x2 y2 z2的最小值为4.考查运用,则 OB,O-xyz.22 .【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，空间向量解决问题的能力.满分10分.解：如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，设AC, A1C1的中点分别为 O, O1 uuu uur uuuurOC, OO11OC, OO11OB,以OB,OC,OO1为基底，建立空间直角坐标系因为 AB=AA二2,所以 A(0, 1,0),B(点。0),C(0,1,0), A(0, 1,2),B1(V3,0,2),C1 (0,1,2)31PL,2)(1)因