2013年高考文科数学全国新课标卷1试题与答案解析版(共9页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(全国卷I新课标)第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A1,2,3,4，Bx|xn2，nA，则AB()A1,4 B2,3 C9,16 D1,2答案：A解析：Bx|xn2，nA1,4,9,16，AB1,42 ()A B C D解析：3从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()A B C D解析：由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2

2、，所以所求的概率为.4已知双曲线C：(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为()Ay By Cy Dy±x解析：，即.c2a2b2，.双曲线的渐近线方程为，渐近线方程为.故选C.5已知命题p：xR,2x3x；命题q：xR，x31x2，则下列命题中为真命题的是()Apq Bpq Cpq Dpq解析：由2030知，p为假命题令h(x)x31x2，h(0)10，h(1)10，x31x20在(0,1)内有解xR，x31x2，即命题q为真命题由此可知只有pq为真命题故选B.6设首项为1，公比为的等比数列an的前n项和为Sn，则()ASn2an1 BSn3an2 CSn43an DSn32a

3、n解析：32an，故选D7执行下面的程序框图，如果输入的t1,3，则输出的s属于()A3,4 B5,2C4,3 D2,5解析：当1t1时，s3t，则s3,3)当1t3时，s4tt2.该函数的对称轴为t2，该函数在1,2上单调递增，在2,3上单调递减smax4，smin3.s3,4综上知s3,4故选A.8 O为坐标原点，F为抛物线C：y2的焦点，P为C上一点，若|PF|，则POF的面积为()A2 B C D4解析：利用|PF|，可得xP.yP.SPOF|OF|·|yP|.9)函数f(x)(1cos x)sin x在，的图像大致为()解析：由f(x)(1cos x)sin x知其为奇函数

4、可排除B当x时，f(x)0，排除A.当x(0，)时，f(x)sin2xcos x(1cos x)2cos2xcos x1.令f(x)0，得.故极值点为，可排除D，故选C.10)已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2Acos 2A0，a7，c6，则b()A10 B9 C8 D5解析：由23cos2Acos 2A0，得cos2A.A，cos A.cos A，b5或(舍)11某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A168 B88C1616 D816解析：该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体V半圆柱×22×48，V长方体4×

5、;2×216.所以所求体积为168.故选A.12已知函数f(x)若|f(x)|ax，则a的取值范围是()A(，0 B(，1C2,1 D2,0解析：可画出|f(x)|的图象如图所示当a0时，yax与y|f(x)|恒有公共点，所以排除B，C；当a0时，若x0，则|f(x)|ax恒成立若x0，则以yax与y|x22x|相切为界限，由得x2(a2)x0.(a2)20，a2.a2,0故选D.第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知两个单位向量a，b的夹角为60°，cta(1t)b.若b·c0，则t_.解析：b·c0，|a|b|1，a，b60°，

6、a·b.b·cta(1t)b·b0，即ta·b(1t)b20.1t0.t2.14设x，y满足约束条件则z2xy的最大值为_解析：画出可行域如图所示画出直线2xy0，并平移，当直线经过点A(3,3)时，z取最大值，且最大值为z2×333.15(2013课标全国，文15)已知H是球O的直径AB上一点，AHHB12，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为_15答案：解析：如图，设球O的半径为R，则AH，OH.又·EH2，EH1.在RtOEH中，R2，R2.S球4R2.16 设当x时，函数f(x)sin x2cos x取

7、得最大值，则cos _.解析：f(x)sin x2cos xsin(x)，其中sin ，cos .当x2k(kZ)时，f(x)取最大值即2k(kZ)，2k(kZ)cos sin .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(本小题满分12分)已知等差数列an的前n项和Sn满足S30，S55.(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和解：(1)设an的公差为d，则Sn.由已知可得解得a11，d1.故an的通项公式为an2n.(2)由(1)知，从而数列的前n项和为.18 (本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位

8、患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.52.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？解：(1)设A药观测数据的平均数为，B药观测

9、数据的平均数为.由观测结果可得(0.61.21.21.51.51.82.22.32.32.42.52.62.72.72.82.93.03.13.23.5)2.3，(0.50.50.60.80.91.11.21.21.31.41.61.71.81.92.12.42.52.62.73.2)1.6.由以上计算结果可得，因此可看出A药的疗效更好(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好19 (本小题满分12分)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160&

10、#176;.(1)证明：ABA1C；(2)若ABCB2，A1C，求三棱柱ABCA1B1C1的体积(1)证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.因为CACB，所以OCAB.由于ABAA1，BAA160°，故AA1B为等边三角形，所以OA1AB.因为OCOA1O，所以 AB平面OA1C.又A1C平面OA1C，故ABA1C.(2)解：由题设知ABC与AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OCOA1.又A1C，则A1C2OC2，故OA1OC.因为OCABO，所以OA1平面ABC，OA1为三棱柱ABCA1B1C1的高又ABC的面积SABC，故三棱柱ABCA1B1C1的体积VSABC&#

11、215;OA13.20(本小题满分12分)已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值解：(1)f(x)ex(axab)2x4.由已知得f(0)4，f(0)4.故b4，ab8.从而a4，b4.(2)由(1)知，f(x)4ex(x1)x24x，f(x)4ex(x2)2x44(x2)·.令f(x)0得，xln 2或x2.从而当x(，2)(ln 2，)时，f(x)0；当x(2，ln 2)时，f(x)0.故f(x)在(，2)，(ln 2，)上单调递增，在(2，ln 2)上单

12、调递减当x2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(2)4(1e2)21(本小题满分12分 已知圆M(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.解：由已知得圆M的圆心为M(1,0)，半径r11；圆N的圆心为N(1,0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为

13、的椭圆(左顶点除外)，其方程为(x2)(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|PN|2R22，所以R2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x2)2y24.若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|.若l的倾斜角不为90°，由r1R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，可求得Q(4,0)，所以可设l：yk(x4)由l与圆M相切得1，解得k.当k时，将代入，并整理得7x28x80，解得x1,2，所以|AB|x2x1|.当k时，由图形的对称性可知|AB|.综上，|AB|或|AB|.请考生在第(22)、(23)、(2

14、4)三题中任选一题做答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22 (本小题满分10分)选修41：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：连结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，ABEBCE.而ABECBE，故CBEBCE，BECE.又因为DBBE，所以DE为直径，DCE90°，由勾股定理可得DBDC.(2)解：由(1)知，CDEBDE，DBDC，故DG是BC的中垂线，所以BG.设DE的中点为O，连结BO，则BOG60°

15、;.从而ABEBCECBE30°，所以CFBF，故RtBCF外接圆的半径等于.23 (本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2sin .(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(0,02)解：(1)将消去参数t，化为普通方程(x4)2(y5)225，即C1：x2y28x10y160.将代入x2y28x10y160得28cos 10sin 160.所以C1的极坐标方程为28cos 10sin 160.(2)C2的普通方程为x2y22y0.由解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为，.24 (本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知函