多元函数微积分复习概要

1、第六章多元函数微积分复习要点一、基本概念及相关定理1.多元函数的极限定义：函数在区域D内有定义，当点P(,)沿任意路径无限趋于点()时, 无限趋于一个确定的常数A,则称常数A是函数当P(,)趋于时的极限.记作,或,或,或,或,.其中，.2.二元函数连续的定义：函数在点的某一邻域内有定义，如果对任意，都有（或），则称函数在点处连续.3.偏导数的定义：函数在点的某一邻域内有定义.（1）函数在点处对的偏导数定义为，记作，或，或，或，即=.（2）函数在点处对的偏导数定义为，记作，或，或，或，即=.而称，或，或，或及，或，或，或为（关于或关于）偏导函数.高阶偏导数：或，或，或，或.同理可得，三阶、四阶、

2、，以及n阶偏导数.4.全微分定义：设函数在点的某一邻域内有定义，若函数在点的全增量可表示为，其中A、B不依赖于、，仅于、有关，则称函数在点处可微分，称为函数在点的全微分，记为，即.可微的必要条件：若函数在点处可微分，则（1）函数在点的偏导数、必存在；（2）全微分为.推广：函数在点的全微分为.可微的充分条件：若函数的偏导数、在点处连续在点处可微分.5.复合函数微分法（5种情况，由简单到复杂排列）：z（1）含有多个中间变量的一元函数，则，称此导数为全导数；（2）只有一个中间变量的二元复合函数z情形1：，则 ，.z情形2：，则 ，.其中，与是不同的，是把复合函数中的看作不变量而对的偏导数；是把函数中

3、的及看作不变量而对的偏导数。与与也有类似的区别.（3）中间变量为两个，自变量也为两个的二元复合函数 z设，则 ，.（4）中间变量多于两个的二元复合函数z设，则 ，.6.隐函数微分法（1）一元隐函数设方程确定了是的函数，则方法1：方程两边对求导，见对求导，见对求导，对求导时再乘以；方法2：.（2）二元隐函数设方程确定了是、的函数，则，.7.多元函数的极值极值存在的必要条件函数在点处具有偏导数，且取得极值，则必有，. 使得，同时成立的点，称为函数的驻点（或稳定点）.极值存在的充分条件函数在点的某邻域内连续，且具有一阶及二阶连续偏导数.又点是函数的稳定点，令，.若，则（1）当时,函数在点处取得极小值

4、;（2）当时，函数在点处取得极大值. 若，则稳定点不是函数的极值点. 若，则稳定点可能是极值点，也可能不是极值点，需另行判断.8.二重积分的定义及性质在有界闭区域D上的有界函数，通过“分割、代替、求和、取极限”的过程，而得到的具有特定结构的和的极限，被称为函数在D上的二重积分；它的几何意义是曲顶柱体的体积.在直角坐标系下，用平行于坐标轴的直线网划分区域D，则.性质：下面均假定函数有界闭区域D上可积，则1.（为常数）；2. .3.若在闭区域D上，则区域D的面积.4.若，且，则.5.在区域D上，则，.6.设M、m是函数在闭区域D上的最大值和最小值,A是D的面积，则.7.设函数在闭区域D上连续，A是

5、D的面积，则在D上至少存在一点,使得.二、计算方法1.求二重极限的方法（1）若把点代入二元函数中，函数值存在，则函数值就是极限值；（2）若把点代入二元函数中，函数值无意义，则一元函数求极限的所有方法，全部可以应用到求二重极限中去(如重要极限，等价无穷小替换等).2.求偏导数及高阶偏导数的方法（1）求多元函数关于其中一个自变量的偏导数，只需要将另外的所有自变量看作常量，再用一元函数的求导方法求导，就可以得到所选定的自变量的偏导数了；（2）求高阶偏导数方法或，或，或，或.3.求全微分的方法求多元函数（或）的全微分，先求出关于自变量的所有偏导数，（或，），则全微分（或）.4.多元复合函数求导的方法根

6、据题设条件，分清哪些是中间变量，那些是自变量，画出关系图，根据“同路相乘，异路相加”的原则，求出所需要的导数.z如1 ，关系图为：则 ，.z如2 ，关系图： 则 ，.5.隐函数求导及求偏导的方法（1）一元隐函数求导法则设方程确定了是的函数，则方法1：方程两边对求导，见对求导，见对求导，对求导时再乘以；方法2：.（2）二元隐函数设方程确定了是、的函数，则，.把方程中的看作隐函数，方程两边求出全微分，则，.（有时可能简单些）注意：首先，一定要分清所给函数是较简单函数或具体复合函数或抽象复合函数或隐函数，然后按照它们的各自特性，使用各自不同求导公式，进行求偏导数，全微分或高阶偏导数。6.求多元函数极

7、值及最值的方法设函数在区域D内具有连续的二阶偏导数，求其极值及在区域D内最值的步骤如下：第一步 解方程组，求得一切实数解，即求出函数在D内的所有驻点；第二步 对每一个驻点，求出，的值.第三步 定出的符号.若，则（1）当时,函数在点处取得极小值;（2）当时，函数在点处取得极大值. 若，则稳定点不是函数的极值点. 若，则稳定点可能是极值点，也可能不是极值点，需另行判断.第四步 求出所有驻点处的函数值及函数在区域的边界上的最值，并比较这些值的大小，其中最大者为函数的最大值，最小者为函数的最小值.7.求二重积分的方法O原则：二重积分要化为二次积分（即两个定积分）来求。直角坐标系下：X型区域，OY型区域

8、，O极坐标系下，=适用于积分区域是圆形区域、扇形区域、环形区域或被积函数是关于的关系式。重积化累积，关键上下限，画出积分域，入出口找见三、举例1.求下列二重极限（1）（2）解：（1）=（利用）=.法2：=.【当时，有】（2）=.2.求下列函数的偏导数及全微分（1），求.解：关系图： ，所以=；=.（2）验证函数满足证明：=；同理，可得.;.（3）设，而，求.解：关系图：=.=.（4）设，可微，求.解：令，则.关系图：=.=.（5）求由方程所确定的函数的偏导数.解：令，则，., .（6），而，求.解：关系图：=；=.（7）设，证明：.证明：令，则，.,.=.（8）求函数的全微分解：,由对称性，.

9、全微分=.（9）用两中不同的方法求由方程所确定的二元函数关于和的偏导数.解：令，则，.,.法2：方程两边对求全微分，可得，即，.,.3.求下列二重积分（1）计算二重积分，其中D是由抛物线及直线所围成的闭区域. 41O221-1解：如图，联立，可得交点，.视为Y型域，.=.法2：视为X型域，.则1O51=.（2）计算二重积分，其中D是由直线，所围成的闭区域.解：如图，X型区域D：，.则=1O1=.(3) 计算二重积分，其中D是由抛物线和所围成的闭区域.解：如图，X型区域，D：，.=O22=.（4）计算二重积分，其中D是由圆周及轴所围成的右半闭区域.解：如图，Y型区域，D：，.= (在上，函数是偶函数)=.（5）交换二次积分的积分顺序.解：由；，（这显然是X型域）可得41O22-1-21.故由与可得抛物线；是直线，于是可画出积分域.（如图）要交换