数学分析第十二章反常积分自测题解答

1、数学分析第十二章反常积分自测题解答、判断题(每小题2分，共12分)1.若无穷积分a f(x)dx 收敛,则无穷积分f(x)dx也收敛.)2.)3.)4.dxa 2a x无穷积分(a 0).sin xdx发散.设a是非负函数f(x)的瑕点，且lim x x af(x) d1,则瑕积分bf(x)dxa收敛.)5 .在 f (x) g(x) dx收敛的条件下,af(x)dx可能发散.)6.若无穷积分 f(x)dx收敛，则无穷积分af 2(x)dx也收敛.1汪：2.当a 0时，0是被积函数f(x) F的瑕点，且瑕积分 x0 dxa 2 a x发散.4.当a是f (x)的瑕点时，判别瑕积分的敛散性要考虑

2、极限lim (xx aa)f(x).二、选择题(每小题2分，共10分)1 .下列结论或运算正确的是(A. 1 x2dx1 x3dxB.由于七是奇函数，故0.C. /ydx 01 x4D.由于arctan x 曰是偶函数，故arctan x ,dx注：无穷积分x2dx13,x dxJ dxxxac吗x均发散;xc arctan x ,2dx.0 x而xvdx0 1 x41arctanx2 27t0 x1 x4dx1 arctanx227t2 . f(x)dx收敛是0 f(x)dx 与0f (x)dx都收敛的(A ).A.充要条件 B.必要条件C.充分条件D.无关条件3.下列广义积分中发散的是(D

3、 ).4.A.A.1H1/dx12dx ( D xB.B.).dxC.11.dx0 d 21 1 xD.01dxxC.D. 不存在32225.1xV j dx).A.B.D.不存在注:1dx1 x.x2 1三、填空题(每小题1.a是函数2.无穷积分3.瑕积分4.5.112分，共10分)C. 4d( 一)1 I xf (x)的瑕点 f (x)在点a的任意邻域无界.f(x)dx发散2 dx 当1 (2 x)1时，无穷积分.1 arcsin xC R, f (x)dx 与 f(x)dx 之一发散. c入满足 1时收敛.1,皿dx发放.(x 1)无穷积分snxdx当1 x入满足01时条件收敛，当人满足

4、1时绝对收敛.四、求下列反常积分(每小题5分，共30分)1.9_J37dx.解:由定义0 9"137dxlimplim 3 arctan xp 932.解:3.01 2dx9 3x219 3x2dxlimq3dx，.石 xlim arctan 下q 9 V313x2dx9 3x5dx. 3冗.912dx .x(x 1)1x(x2dx1)(-xx二7dx,1ln x ln(2x2 1)lnx一 ,x2 1Ixlexdx.2ln 2 .解:e 11 exdxxexxdx ln(1 e )1 eln2,解:5.解:6.解:Ixl e 11xdxx exdx ln(1 e ex)0 ln2，

5、o2ln4.x1是被积函数1 ef(x)2.的瑕点，分别考虑瑕积分后dx与x01lim 00x1lim02 x故 2=0 3x 11 2 xdx.0 .xlim01 一3 dx3 x 13l吗5(x51)“I。21)33, x dx3li3/m5(x03Gx3 r7dx211021a 0是被积函数1 2 xdx0 xf(x)(2xa 0是被积函数f(x)0 . x(1 x)dx lim0的瑕点，有Vx)dx (46 17x3)的瑕点，有2(x21101032；hdGlim 2ln(10 (1 .- x)0五、判断下列反常积分的敛散性 (每小题5分，共30分)解:2.解:3.解:11 .01是被

6、积函数f(x)lim(1x 11x)2 f (x) lim(11x*1. x lim x 1 1 x12,1, d4sin1dx. x x0是被积函数由于lim0不存在,xln-2故瑕积分(12 2 dx . x )limxx2f(x)1,故瑕积分2f(x)in1dxxlimx2 1, d注：由于lim f (x)x 0dx收敛.1sin 一的瑕点. xlim0-211(sin )d(-) x x11 sin dx发放，从而瑕积分xx2 xln xx2T2(1 x )0,故无穷积分xln x二2T2(1 x )limxln(1xln(1lim02X2 x ) x22 x )22(1 x )&q

7、uot;2dx收敛.lim xln x x 01 cos一兀21limcos bcos-11.- sin 一 dx 发放.0,故x0不是f (x)的瑕点.)连续.补充定义f (0) 0,则被积函数f (x)在区间0,4.d x.2 . x(x 1)(x 2)解：x2是被积函数f (x)1八1=的瑕点,x(x 1)(x 2)311分别考虑瑕积分 ,1=dx与无穷积分,1=dx,2 , x(x 1)(x 2)3 , x(x 1)(x 2)111由吗(x 2)2 f (x)lim( xx 212)2.x(x 1)(x 2)limx 2x(x=1),2,1,1-尸,故瑕积分 2.x(x 1)(x 2)

8、dx收敛;由limx3x2 f (x)limx3x2，x(x-1)(x-2)limx x(x 1)(x 2)1,1,故无穷积分31，一1dx收敛.，x(x 1)(x 2)综上,反常积分dx收敛.1)(x 2)5.1dxx2(ln x)p(P0).解：x1是被积函数f(x)1市可（p 0）的瑕点,分别考虑瑕积分1 x2(ln x)pdx与无穷积分-1-pdx. x (ln x)(1)由 lim(xx 1n11) f (x) lim 2 x 1 xx 1 ln x于是，当p21时,瑕积分-dx1 x2(ln x)p发散; 21，-1时，瑕积分一dx收敛.1 x2(ln x)p(2 )由 lim x

9、f(x)lim xx21x2(ln x)plimx1,0,于是，无穷积分二一;dx收敛. x (ln x)p综上,反常积分x2 (ln x)pdx 当 0 p p1时收敛，当p 1时发散.16.1dxx(ln x)p (P0).解：x1是被积函数f(x)1p ( p 0)的瑕点, x(ln x)p分别考虑瑕积分1 x(ln x)pdx与无穷积分Udx.(1)由 lim( xx 1n11) f (x) lim x 1 xx 1 ln x1,即有于是，瑕积分一1一pdx 当 x(ln x)p 1时发散；当0p 1时收敛.ln(ln x) 2dlnx(ln x)p于是，无穷积分1x2(ln x)p综

10、上，反常积分2x (ln x)六、证明：反常积分sin x ,dx x证:sin所以(1dx当pdx发散.(1)当 02时绝对收敛;1时,由limx 0sinx首先，证明无穷积分区间1,）单调减少且(3)1P)(lnx)p11时发散；当lim xx 0(P 1)(ln2)p1,P 1时收敛.1,1时条件收敛（注：此时0不是被积函数的瑕点）；2时发散.（8sin x0,1,分）1 一一,知x0不是被积函数1snqdx为无穷积分.xsnxdx收敛.取 f(x)limx0； 2) |F(A)xAsin xdx1g(x)1,sin x ,有 i) f (x) 一 在xcos1 cosA 2,即有界.由

11、狄利克雷判别法，无穷积分sin x sndx收敛，从而无穷积分1 xsin xdx收敛.x其次，证明无穷积分有 sinx sin2 x,从而sin x. 2sin x 1 cos2x2x1 cos2x2x 2x无穷积分1cos2xdx收敛,但无穷积分2x1一、一，dx发散，故无穷积分2x1 cos2x 心dx发2x散，从而无穷积分snxdx发散.于是,1时，无穷积分sin xdxx条件收敛.(2)(3)1时,由limx 0f (x) limx 0sin x函数f (x)sin x的瑕点，所以要分别考虑无穷积分limx 0sin xsin x,知x 0是被积dx与瑕积分1 sin x , dx.0 x由于f (