大一下高等数学知识点

1、高 等 数 学 A2 知 识 点【注意】不考试的知识点：带*号的(除球面坐标系、比值审敛法)，二次曲面，斯托克斯公式， 函数的幕级数展开式的应用，一般周期函数的傅立叶级数，物理应用部分，一、概念与定义1、数量积、向量积及坐标表示(向量的位置关系)；2、柱面，旋转曲面的方程形式及常见曲面画图，平面，直线的方程及其位置关系，平面束；曲面、曲线、实体在坐标平面上的投影3、偏导数定义及判定一点可导的定义方法；4、偏导、连续、全微分的关系，方向导数与梯度；5、极值、条件极值，最值和驻点.及拉格朗日乘数法；6、七类积分的关系，格林公式、高斯公式；7、级数的定义，等比级数的和，级数收敛的必要条件，常见级数的

2、敛散性及判定方法。二、计算1、求极限(1)二元函数求极限：代入法、两类特殊极限、无穷小性质等(2)极限不存在的判断：取不同的路径2、求偏导数或全微分(1)定义一一在某一点可导，常见于分段函数(2) 一个变量为常数，按一元函数求导法则计算，对于指定点的偏导可以先代入一个变量再求；(3)多元复合函数求导一一链式法则；(4)隐函数(方程与方程组)求导及其高阶导数一一不要记公式，理解方法；(5)抽象函数求导及其高阶导数一一注意符号；(6)求(指定点)全微分或判断是否可微一一用定义 lim° Z Zx2 x Zy 2y 0 ° x y3、求重积分(画图)(1)二重积分一坐标系以及区域

3、类型的选择【由区域和被积函数特点定】，积分次序的交换；(2)三重积分一坐标系以及区域类型的选择【由区域和被积函数特点定】；(3)对称性区域上奇、偶函数的积分以及对 1积分时的计算。4、求曲线、面积分（画图）“一代、二换、三定限”（ 1）代入参数方程或z f x, y ；不同的积分换的公式不同；（ 2）定限或定区域的时候注意方向性【第二类】及定限规则（ 3）格林公式、高斯公式的应用验证条件并灵活使用；（ 4）对称性区域上奇、偶函数的积分以及对1 积分时的计算。5、无穷级数（ 1）数项级数审敛；（ 2）幂级数收敛域与和函数，函数展开成幂级数；（ 3）傅立叶级数的收敛情况Dirichlet 定理的结

4、论三、 应用1、偏导数的几何应用空间曲线的切线和法平面、空间曲面的切平面和法线、方向导数与梯度。2、偏导数求极值以及条件极值、最值；3、重积分、曲线、面的几何应用平面区域的面积、空间曲面的面积，曲顶柱体的体积；四、证明1、极限不存在、连续性、可导、可微；2、偏导数相关等式；3、格林公式积分与路径无关、原函数；4、级数的敛散性判定注意级数的分类与对应方法；5、向量的位置关系，平面、直线的位置关系等几何问题。曲面及其方程常见曲面方程柱面只含有两个字母的三原方程，缺少的字母为母线旋转曲面圆锥面2 22zJxy方程中 含有 两个字母 的 平方和旋转抛物面22T.22z x y 或 z 1 x y球z

5、Jr2x2y2或 xXo2 yy02 ZZo2R2圆柱回x2 y2 R2 或 z2y2R2 或 x2 z2R2平面与直线方程直线点向式一式两点式x x° y yo z z0mnpAx By Gz D1 A2x B2 y C2z D2xxoyyozzoxixoyiyozizo平面点法式一式截距式A x x0Byy0 C z z00Ax By Cz D731 a b c位置关系直线与直线垂直、平行、相交（夹角）平向与平闻垂直、平行、相交（夹角）直线与平闻垂直、平行、相交（夹角）、平闻束偏导、连续、可微隐函数的求导形式确定的函数求导方法一个 方程f x,y 0y f x视y为x的函数，两端

6、对x求导，解得yf x, y, z 0z f x,y视z为x,y的函数，两端对x, y求偏导，解得zx,zy方程组f x, y,z0g x, y,z0y y xz z x视y,z为x的函数，两端同时对x求导，解得y , zf u,v, x, y0g u,v,x, y0u u x, y v v x, y视u,v为x, y的函数，两端对x, y求偏导，解得 Ux,Uy,Vx,Vy高阶导数与偏导数的求导复合函数的链式法则函数中间及量求导【链式法则】z f u,vu u xv v xdz z du z dv dx u dx v dx注意导数与偏导数的符号z f u,vu u x, y v v x, y

7、zzuz vzzuzv,xuxv xyuyvy什思本令要兀整注意抽象复合函数的符号偏导数的应用问题应用曲线的切线与法平回曲线 x t ,yt , z trTt , t , t曲面的切平间与法线曲面 F x, y,z 0r匚匚匚nFx, Fy , Fz方向导数与梯度函数z f x, y ,方向rl cos ,cosf ffcos cos l xygraduf x, yfx,fy极值函数z f x, y令NX zy 0得驻点与/、引导点并由AC B 2判断极值情况条件极值函数z f x, y，条件g x, y 0Lagerange乘数法重积分的几何应用应用平闻面积1SD1 dxdy - ydx x

8、dyD2 L曲卸卸枳S: z z x,y，贝U SJ1zx 2zy 2dxdy 1 dSD xy立体体积Vf x, y dxdy1 dVD xy曲线弧长l 1 ds L重积分的计算坐标系区域表水化为定次积分适用类型二重积分f x, y,z dV直角坐标系先单后重 【穿线法】x,y,z zi x, y z z? x, y , x, y Dxy4 x,yf x, y,z dz dxdyzi x,y*Dxy一般的立体区域先重后单 【切片法】x,y, z ziz z2,x, y Dzdf x, y, z dxdy dzc Dz柱面坐标系,z zi ,z z2,Dxy先单后重方法中用极坐标求解二重积分f

9、 cos , sin ,z d d dz柱面区域或被积函数含有22x y球面坐标系,r先确定 ，02 , 0,0 r然后确定，最后穿线法确定rx rsin cos ,y rsin sin , z r cos2dxdydz r sin d d dr球面区域或被积函数含有222x y z一重积分f x, y dD直角坐标系X-型区域D x, y a x b, 1 x y 2 x【穿线法】b2 xdx f x, y dyai x一般的平面区域Y-型区域Dx,y c y d, i y x 2y 穿线法d2 ydyf x, y dxci y极坐标系D,|,12先确定，然后穿线法确定2df cos , s

10、in di圆形区域或被积函数含有22x y曲线、曲面积分的差异形式方向性特殊性质对弧长的曲线积分L f x, y ds无对1积分为L的长度对坐标的曲线积分l P x,y dx Q x, y dyLL垂直性一一L垂直与坐标轴则关于该坐标的积分为0对面积的曲面积分f x, y,z dS无对1积分为 的面积对坐标的曲面积分Pdydz Qdzdx RdxdyPdydzPdydz垂直性一一L垂直与坐标平面则关于该坐标平面的两个坐标的积分为0对1积分为 在坐标平面投影的面积（带有正负号）计算一代二换三定限（域）化为积分对弧长的曲线积分x t y tJ22ds， tt dtt/22f t , 7 tt dt

11、对坐标的曲线积分x t y tdxt dt dyt dt起点然占 八、P t , tt Q t , tt dt对面积的曲面积分z z x,y222dS 41zxzx dxdyDxyf x, y, z x, y 71zx 2zx 2dxdyDxy对坐标的曲面积分z z x,y根据指定侧定一重积分符号DxyR x,y,z dxdyR x, y, z x, y dxdyDxyGREENS式计算第二类曲线积分的用法利用公式的时机被积函数很复杂或积分路径很复杂或明显的 y xL封闭时D内无奇点直接利用公式化成二重积分D内后奇点用辅助闭曲线去掉奇点后利用公式，再减去辅助曲线上的积分L不封闭时PQyx积分与

12、路径无关，可以改变积分路径或选择简单的路径 【一般选择平行于坐标轴的折线段】PQyx用辅助曲线封闭化后利用公式，再减去辅助曲线上的积分 【一般选择平行于坐标轴的折线段】公式的独特用法一求原函数1r, 、x, y右 dz P x, y dx Q x, y dy ,则可设 u x,yP x, y dx Q x, y dyGAUS法式计算第二类曲面积分的用法利用公式的时机三种坐标积分同时出现或被积函数很复杂或积分曲面是特殊的曲面（柱、锥、球）封闭时直接利用公式化成三重积分不封闭时用辅助曲面封闭化后利用公式，再减去辅助曲面上的积分【一般选择平行十坐标平面的平面】对称性区域上奇偶性函数的积分区域对称性被

13、积函数的奇偶性结论定积分关于原点对称关于x为奇函数aaa1、奇函数 f x dx 02、偶函数f x dx 2 f x dxaa0关于x为偶函数一重积分关于X轴对称关于Y轴对称关于y为奇函数1、奇函数f x,y d 0D2、偶函数 f x, y d 2 f x, y dD1为D中x 0 y 0部分DDi关于y为偶函数 关于x为奇函数 关于x为偶函数二重积分关于XOY寸称关于z为奇函数1、奇函数f x, y,z dV 02、偶函数f x, y,z dV 2f x, y,z dV 1 为中 x 0 y 0> z 0 部分1关于z为偶函数关于XOZM称关于y为奇函数 关于y为偶函数关于YOZM

14、称关于x为奇函数1关于x为偶函数对弧长的曲线积分关于X轴对称关于y为奇函数1、奇函数 f x, y ds 0L2、偶函数f x, y ds 2 f x, y ds L1为L中x 0部分LL1关于y为偶函数关于Y轴对称关于x为奇函数 关于x为偶函数对坐标的曲线积分没有对称性的相关结论对面积的曲面积分关于XOY寸称关于z为奇函数1、奇函数f x, y,z dV 02、偶函数fx, y,zdV 2 f x, y, z dV 1 为中 x 0 y 0> z 0 部分1关于z为偶函数关于XOZM称关于y为奇函数关于y为偶函数关于YOZM称关于x为奇函数关于x为偶函数多坐标的曲面积分没有对称性的相关结论七类积分间的关系数项级