北师大版八年级数学下册直角三角形----知识讲解(提高)含答案解析

1、直角三角形一-知识讲解（提高）责编：杜少波【学习目标】1 .掌握勾股定理的内容及证明方法、勾股定理的逆定理及其应用.理解原命题与其逆命题,原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系.2 .能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题；能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形3 .能够熟练地掌握直角三角形的全等判定方法（HL）及其应用.【要点梳理】要点一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为222a, b ,斜边长为c,那么a b c .要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系（2）利用勾股定理

2、，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目中已知线段的长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的（3）理解勾股定理的一些变式：a2c2b2,b2c2a2,c2a b 2 2ab.（4）勾股数：满足不定方程 x2 y2 z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以X、V、z为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助： 3、4、5; 5、12、13; 8、15、17; 7、24、25; 9、40、41 如果a、b、c是勾股数，当t为正整数时，以at、bt、ct为三角形的三边长，此三角形 必为直角三角形. n2 1, 2n, n

3、2 1 ( n1,n是自然数）是直角三角形的三条边长;82n2 2n,2n 1,2n2 2n 1 （ n是自然数）是直角三角形的三条边长；m2 n2,m2 n2,2mn （m n,m、n是自然数）是直角三角形的三条边长 .要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中*诋才35=S+“二1届,所以/ +加=/ .方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形图（2）中牙海河mb=3=9-? + 4x，所以/ =层+J方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形Q榭皮aa吟”叫所以一.:,!.要点三、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边

4、长a, b, c ,满足a2 b2c2,那么这个三角形是直角三角形要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直 角三角形.要点四、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1） 首先确定最大边（如 c）.（2） 验证c2与a2 b2是否具有相等关系.若c2 a2 b2,则 ABC是/ C= 90。的22.2直角二角形；右 c a b ,则4 AB5是直角三角形.要点诠释：当a2 b2 c2时，此三角形为钝角三角形；当 a2 b2 c2时，此三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边.要点五、互逆

5、命题与互逆定理如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.一个定理是真命题，每一个定理不一定有逆定理，如果这个定理存在着逆定理，则一定是真命题要点六、直角三角形全等的判定（HL）在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简称“斜边、直角边”或“ HL”).这个判定方法

6、是直角三角形所独有的，一般三角形不具备 要点诠释：(1) “HL从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角 形的形状和大小就确定了 .(2)判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS ASA AAS SSS HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.(3)应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件， 书写时必须在两个三角形前加上“Rt” .【典型例题】类型一、勾股定理C1、(2016春?卢龙县期末)已知两条线段的长为3cm和4cm,当第三条线段的长为 cm 时，这三条线段能组成一个直

7、角三角形.【思路点拨】本题从边的方面考查三角形形成的条件，涉及分类讨论的思考方法，即：由于“两边长分别为3和5,要使这个三角形是直角三角形，”指代不明，因此，要讨论第三边 是直角边和斜边的情形.【答案】5或折.【解析】解：当第三边是直角边时，根据勾股定理，第三边的长=ym=5,三角形的边长分别为 3, 4, 5能构成三角形；当第三边是斜边时，根据勾股定理，第三边的长=“ - 32s，三角形的边长分别为 3, 丁，喉亦能构成三角形；综合以上两种情况，第三边的长应为5或市,故答案为5或.【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，解题时注意三角形形成的条件：任意两边之和第三边，任意两边之差第三边，当题

8、目指代不明时， 一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去.臣2、(2015春?黔南州期末)长方形纸片ABCM, AD=4cm AB=10cm按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF,求DE的长.I I |I I IC【思路点拨】 在折叠的过程中，BE=DE从而设BE即可表示AE.在直角三角形 ADE中，根 据勾股定理列方程即可求解.【答案与解析】解：设 DE=xcm 贝U BE=DE=x AE=AB- BE=10- x, ADE中，DEAE;+Ad,即 x2= (10 x) 2+16. x= ( cm). 5答：DE的长为上Im.【总结升华】注意此类题中，要能够发现折叠的对应线

9、段相等.类型二、勾股定理的逆定理ADC33、如图所示，四边形 ABC邛,ABAD, AB= 2, AD= 2万,CD= 3, BC= 5,求 的度数.解： ABXAD,/A= 90 ,在 RtABD中，BD2 AB2 AD222 (273)2 16 .BD =4,1 AB - BD ,可知/ ADB= 30 , 2在4BDC中，BD2 CD216 32 25 , BC252 25 ,222BD CD BC ,/BDC= 90 ,/ADC= / ADB吆 BDC= 30 +90 =120 .【总结升华】 利用勾股定理的逆定理时，条件是三角形的三边长，结论是直角三角形，即由 边的条件得到角的结论，

10、所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定理. 举一反三：【高清课堂勾股定理逆定理例4】【变式1】4ABC三边a, b, c满足a2b2 c2 338 10a 24b 26c,贝 SABG(A.锐角三角形 B.钝角三角形【答案】D;22提不：由题息 a 5 b 12C.等腰三角形D.直角三角形2c 130, a 5, b 12, c 13,因为a2 b2 c2,所以 ABC为直角三角形.【变式2(2015春?厦门校级期末)在四边形 ABCM, AB=AD=2 / A=60 , BC=2右，CD=4求 /ADC的度数.【答案】解：连接BD . AB=AD=2 Z A=60 , .AB

11、D是等边三角形， .BD=2 Z ADB=60 ,. BC=2, CD=4则 BD2+c6=22+42=20, BC2= (2) 2=20, . .BD2+cD=Bd,/ BDC=90 , ./ADC=150 .一只爬下树走到离树池塘A处，另外一只爬到树顶 D后直接跃到A处，距离的直线计算，如果两只猴子所经过的20 m处的距离相等，试问这棵树有多高?【思路点拨】 其中一只猴子从 B- 8 A共走了(10+20)=30 m ,另一只猴子从 B-AA也共 走了 30 m,并且树垂直于地面，于是这个问题可化归到直角三角形中利用勾股定理解决.【答案与解析】解：设树高 CD为 X,则 BD= X -10

12、, AD= 30( x 10)=40x,在 RtACD中，202 X2 (40 x)2,解得：X = 15.答：这棵树高15m .【总结升华】本题利用距离相等用未知数来表示出DC DA然后利用勾股定理作等量关系列方程求解.举一反三:【变式】如图，有一个圆柱，它的高等于12cm ,底面半径等于 3cm ,在圆柱的底面 A?(兀点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与 A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少取3)解：如图所示,AA 12,在 RtAAA由题意可得：1 AB 23 92B中，根据勾股定理得:_22_2_2_2 AB2 AA2 A B2 122 92 225则 AB= 15.所以需要爬

13、行的最短路程是 15cm.35、（2015春?武昌区期中）某港口位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小日航行12海里.它们离开港口 1小时后相距20海里.如果知道“远航”号沿东北方 向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【答案与解析】解：1小时“远航”号的航行距离：OB=16 1=16 海里；1小时“海天”号的航行距离：OA=12 1=12 海里，因为AB=20海里，所以 ABOB+OA,即 202=162+122,所以4OAB是直角三角形，又因为/ 1=45 ,所以 / 2=45。，故“海天”号沿

14、西北方向航行或东南方向航行.B【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系， 进而作出判断.类型四、原命题与逆命题66、下列命题中，逆命题错误的是（）A.平行四边形的对角线互相平分B.有两对邻角互补的四边形是平行四边形C.平行四边形的一组对边平行，另一组对边相等D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形【答案】C;【解析】解：A的逆命题是：对角线互相平分的四边形是平行四边形.由平行四边形的判定可知这是真命题；B的逆命题是：平行四边形的两对邻角互补，由平行四边形的性质可知这是真命题；C

15、的逆命题是：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，也可能是等腰 梯形，故是错误的；D的逆命题是：平行四边形的两组对边分别相等地，由平行四边形的性质可知这是真命 题；故选C.【总结升华】分别写出每个命题的逆命题，再判断其真假即可.此题主要考查学生对逆命题 的定义的理解，要求学生对基础知识牢固掌握.举一反三：【变式】下列命题中，逆命题是真命题的是（）A.对顶角相等B.如果两个实数相等，那么它们的平方数相等C.等腰三角形两底角相等D.两个全等三角形的对应角相等【答案】C;解：A的逆命题是：相等的角是对顶角是假命题，故本选项错误，B的逆命题是：如果两实数的平方相等，那么两实数相等是假命题，

16、故本选项错误，C的逆命题是：两底角相等的三角形是等腰三角形是真命题，故本选项正确，D的逆命题是：对角线相等的两个三角形是全都三角形是假命题，故本选项错误， 故选C.类型五、直角三角形全等的判定一一“ HL臣7、已知：如图， AB=AC点D是BC的中点，AB平分/ DAE AH BE,垂足为 E. 求证：AD=AE【思路点拨】 证明线段相等，可证线段所在的三角形全等，结合本题，证4AD主4AEB即可.【答案与解析】证明：: AB=AC点D是BC的中点， ，/ADB=90 ,AE EB, ./ E=Z ADB=90 , . AB平分/ DAE .Z EAB土 DAB 在 ADB AEB 中，E A

17、DB 90EAB DABAB ABAD=AE【总结升华】此题考查线段相等，可以通过全等三角形来证明，要判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件.C8、如图，已知在 ABC中，AB=AC / BAC=90 ,分别过B、C向过A的直线作垂线， 垂足分别为E、F.(1)如图过 A的直线与斜边 BC不相交时，求证：EF=BE+CF(2)如图过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若 BE=1Q CF=3求：FE长.【答案与解析】(1)证明：BE! EA, CF AF, / BACh BEA=/ CFE=90 , / EAB+Z CAF=90 , / EBA+Z EAB=90 , / CAFW EBA在 ABE和 CAF中，/ BEA之 AFC=90 , / EBA之 CAR AB=AC. AB CAF EA=FC BE=AF EF=EA+AF （2）解：: BE! EA, CF AF, / BA