初二数学.春.直升班.教师版.第14讲四边形动态问题

1、模块一动态几何中的函数关系模块二运动产生的特殊图形第十四讲四边形动态问题动态几何问题指图形中的点、线或部分图形按照一定的方式或速度运动变化，从而探索出一些 变化过程中的函数关系的问题或存在性问题。是近几年中考的一个热点类问题。主要包括求解线段 长度、线段比例、周长、面积等函数关系；或在运动过程中产生的一些特殊图形、图形关系等问题。 解题时要善于观察运动过程中的不变性。解决动态几何问题的三步曲：1 .用自变量表示线段长（自变量一般为动点运动速度或某条线段长）：2 .分析运动停止条件，求出自变量取值范围；3 .分析运动轨迹，重点关注临界情况，找到分类讨论标准。模块一动态几何中的函数关系已知：等边三

2、角形4SC的边长为4厘米，长为1厘米的线段在/XABC的边,48上沿,48方向以 1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点N分别作，空边的垂线，与ABC的其它边交于尸、。两点，线段 运动的时间为f秒.线段MN在运动的过程中，四边形尸的面积为 S,运动的时间为九求四边形MN0尸的面积S随运动时间变化的函 数关系式，并写出自变量，的取值范围.【解析】当0W 时，S四边.nqp=3(PM + QN)-MN= gG +同+ 1)=后+ 坐当1W2时Spq边形MNQP =+ O') . MN=?再 + 向3T)=M ;当 2Vd3时，Sg边.nqp=

3、；(PM + 2N).MN7= ->/3(3-0 + V3(4-0 =->/3/ + -V3 .综上所述,【教师备课提示】这道题主要讲解动态问题的基本三步走.如图，在平行四边形,铝8 中，A0 = 4cm, Z4 = 60°, BDAD. 一动点尸从上出发，以每秒 1cm的速度沿X5C的路线匀速运动，过点尸作直线PM,使尸M_LAD.(1)当点尸运动2秒时，设直线PM与乂。相交于点E,求AAPE的面积；(2)当点尸运动2秒时，另一动点。也从K出发沿Af C的路线运动，且在，空上以每秒1cm 的速度匀速运动，在3。上以每秒2cm的速度匀速运动.过。作直线QV,使设点。运 动

4、的时间为，秒©KfKlO),直线PM与QN截平行四边形,138所得图形的面积为Sen?.求S关 于，的函数关系式.pq【解析】 当点尸运动2秒时，AP = 2cm,林夕、/由 ZA = 60° ,知 AE = 1cm, PE = >/3 cm ./,6 2AKB, , Vape- cm (2)当0«f<6时，点尸与点。都在.铝上运动，设尸M与4D交于点G, QN与AD交 于点尸，则 AQ = f, AF = , QF = 1 , AP = t + 2 , AG = 1 + , PG = >/3 + 1.2222，此时两平行线截平行四边形4SCD的

5、面积为S = *f + * .当64FW8时，点尸在3C上运动，点。仍在,48上运动.设PM与。交于点G,0N与乂。交于点尸，则AQ = ,从尸=g，DF = 4 g, QF =与, BP = t-6, CP = lQ-t, PG=(U)6 而 8O = 4>/J,故此时两平行线栈平行四边形438 的面积为S = -)叵产+103-34召.8当84 Y10时，点尸和点。都在5c上运动.设PM与。交于点G, QN与。交于点产，则 CQ=20 2z, QF = (20-2t)>j3 , CP = lO-t, PG = dQ-1).，此时两平行线栈平行四边形,138 的面积为5 = 手产

6、-30 + 150。.苧 + 乎(0<t<6)故S关于f的函数关系式为S = <-WL、103 34jT (6</<8).8乎 J - 30后 +150追(8 4 Y 10)【教师备课提示】这道题主要让孩子们练习下方法，锻炼计算能力.如图，矩形。婚。顶点5的坐标为(8,3),定点。的坐标为(12,0),动点尸从点O出发，以每秒2 个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点。从点。出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴的负方向匀速运动，尸。两点同时运动，相遇时停止.在运动过程中，以P。为斜边在x轴上方作 等腰直角三角形P0R.设运动时间为，秒.(1)当，=.时，P

7、QR的边。R经过点3；(2)设FQ?和矩形0HBe重叠部分的面积为S,求S关于f的函数关系式.【解析】(D当f = l秒时，PQR的边0R经过点5.(2)当0WY1时，如图1所示.设产区交2C于点G,过点、P 作 PH ± BC 于点、H, CH = OP=2t, GH = PH = 3.139S = S矩形0Ajjc -S梯形opgc = Sx3 (2t + 2t + 3)x3 = 6t :当lv/42时，如图1-2所示.设PR交BC于点、G, RQ爻BC、AB于点S、T.过点、P 作 PH IBC 于点、H, CH = OP=2t, GH = PH = 3.QD=t, W'

8、;l AQ = AT = 4-t , A BT = BS = AB-AQ = 3-(4-t) = t-l.当2V® 时，如图1-3所示.设RQ与AB交于点T, 则 A7 = AQ = 4，. PQ = 12-3t ,； PR = RQ = Q2-3t).S = SAPOft - S.AOT = - PR' -AQ2=-(l2-31):-(4-0：= -t- -14/ + 28 .段R2 2H 4、7 2v 7 4f39-6t(Q<t<l)综上所述，S =-1z:-5/ + 19(1</<2).714i + 28(2<tW4)o模块二运动产生的特殊

9、图形如图，在四边形中，DC/AB, DAYAB, AD = 3cni, 0c = 5cm, AB=3cm.如果点尸由B点出发沿3。方向以lcm/s速度向点。匀速运动，同时点。由d点出发以2cm/s速度沿45方 向点8匀速运动，当。点到达3点时，两点同时停止运动，连接产。，设运动时间为f(s).(1)当，为何值时，P，Q两点同时停止运动？ (2)当为等腰三角形时，求f的值.【解析】1 = 4;(2) %=生=8-472,132-8、1 337【教师备课提示】这道题主要考查运动过程中产生的等腰三角形，需要分类讨论，注意题目中的特 殊角.如图5-1,在平面直角坐标系中，矩形。48。的顶点C的坐标分别

10、为A(12,0), C(0,4),点。为 Od边的中点，连接5D(1)直接写出点。的坐标： ，BD =：(2)如图5-2,若点M从点。出发，以每秒3个单位长度的速度沿OfA f B C运动，同时点 N从点。出发，以每秒1个单位长度的速度沿OfCf 8运动，当点M, N相遇时运动即停止，设 运动时间为，(秒)，求使得MON为直角三角形时所有，值和取值范围.图5-1图5-2备用图【解析】(D (6,0), 2713.(2)如图1所示：VOC = 4, DA = 6,.点、N从。到。需要4s,点M从。到d需要2s.0</42时，点"在0。上，点在。4上.当0C/42时，A。”为直角三

11、角形.初二数学目标名校直升班如图2所示：当的V_LOC时，AAQN是直角三角形.： MN1OC, ：, ZMNO = 90°. ZMNO=ZNOA = ZOAM.，四边形CUAW为矩形.：,ON = AM .：,t = 3t-6.解得：，= 3.当f = 3s时，AQM为直角三角形.C（N）如图3所示：当点N与点。重合时，NOM为直角三角形.，一.图三综上所述，当（XY2时或f = 3时或1 = 4时，N0M为直角三角形.【教师备课提示】这道题主要考查运动过程中产生的宜角三角形，需分析运动过程.从M)4-x己知：矩形8中，AD>AB，。是对角线的交点，过O任作一直线分别交3C、

12、，狂）于点M、N （如图6-1）.（1）如图6-2,四边形是由四边形CMZ）沿MN翻折得到的，连接CAT,求证：四边形，处/CN 是菱形：（2）在（1）的条件下，如图6-3,若AB = 4cm，BC = 8cm，动点尸、。分别从d、。两点同时出 发，沿AM8和CDN各边匀速运动一周.即点尸自AfWfBfA停止，点。自 CfOfN C停止.在运动过程中，已知点尸的速度为每秒5cm,点。的速度为每秒4cm,运 动时间为，秒，当d、。、尸、。四点为顶点的四边形是平行四边形时，求f的值.图6-1图6-2图6-3【解析】（D证法一：矩形45CD, :.AD/BC, AD=BC, : BM = DN ,

13、AD-DN = BC-BM ,即 4V = CM, 四边形JA/CW是平行四边形, 由翻折得，AM = CM , 四边形是菱形；证法二：由翻折得，AN = NC, AM = MCf ZAMN = Z.CMN,W4D/BC, ZANM = ZCMN,，ZAMN=ZANM,：.AM = AN,：.AM = MC = CN = NA,四边形是菱形；(2)设菱形的边长为xcm,则8M = 8-x,在R1A4BM 中，AB2+BM2=AM2,pp4: + ®-x)2 =x2 ,解得x=5,:.AM = 5cm,显然，当点尸在,加上时，点。在CD上，此时,4、C、尸、。四点不可能构成平行四边形，

14、 同理，点尸在上时，点。在。A7或CN上，此时d、C、P、。四点也不可能构成平行 四边形，因此，只有点尸在5河上，点。在ZW上时，才能构成平行四边形，此时尸C = 04, 点尸的速度为每秒5cm,点。的速度为每秒4cm,运动时间为, PC=PM + MC = PM + AM = 5t fQA = AD + CD-CQ = 3 + 4-4t = 12-4t,:.5f = 124f ,4解得£ = 1,34，以,4、C、尸、。四点为顶点的四边形是平行四边形时，/ =二秒.【教师备课提示】这道题主要考查运动过程中产生的平行四边形，需要分类讨论，注意题目中的特 殊角.第十四讲四边形动态问题r

15、 鳗习巩固模块一动态几何中的函数关系AD如图，在矩形中，AB = 12cm, 8C = 8cm.点E、F、G分别从点,4、B、。三点同时出发, 沿矩形的边按逆时针方向移动.点E、G的速度均为2cm/s,点产的速度为4cm/s,当点尸追上点G （即点尸与点G重合）时，三个点随之停止移动.设移动开始后第t秒时，A£FG的面积为S（cm2）.（1）当£ = 1秒时，S的值是多少？并指出自变量，的取值范围.（2）写出S和，之间的函数解析式,【解析】(D 如图 1,当 f = l 秒时，AE=2, EB = 10, BF = 4, FC = 4, CG = 2,由 S = S人fcg

16、 = Lx(EB + CG). BC - EB - BF FC- CGW/ixjCoc ZXcXfr ZarCG 2,，22= ix(10 + 2)x8-ix10x4-ix4x2=24cm2 ：(2)如图1,当04f«2时，点E、尸、G分别在边,45、BC、CD上移动，此时 A£ = 2/, EB = 12-2t, BF = 4t, FC = 3-4t, CG = 2t,S = S怫啪cbe -S团尸 -Sfcg =(EB+CGBC-EB BF-FC CG= -x8x(12-2/ + 2r)-x4r(12-20-ix2r(8-40 = 8/2-32r + 48(0</

17、<2).如图2,当点尸追上点G时，4f = 27 + 8,解得f = 4,当2<K4时，点E在边AB上移动，点尸、G都在边CD上移动，此时CF = 4t-S, CG = 2t, FG = CG-CF = 2l-(4t-S)S-2t ,S = FG BC = (S-2t) S = -St + 32.即S = 8/ + 32(2vz v4).RtADEF与矩形。铝。重叠部分的面图3在平面直角坐标系xQy中，矩形。48。如图所示，且AO=5、OC=10,中，ZD = 90°,DE = DF = 6, DE边在x轴上且E点与原点重合，将RtZXOE尸沿x轴的正方向以每秒1个单位的

18、速 度平移，当点E与点C重合时停止运动，设平移的时间为f, 积为S,求在平移过程中S与，的函数关系式.【解析】分为三种情况：当0VF45时，如图1,设成交。4于。，V DF = DE, ZFDE=9Q° ,:.ZFED=45° ,四边形hocb是矩形，:.ZAOC=9Q° , :.Z.OQE = ZFEO = 45° , :.OQ = OE = txl = t ,，重叠部分的面积5 =/；当5v，46时，如图2, 由知：OE = OQ = t , ,四边形XOCB是矩形， ：,AB/OC, Z.QAB = 90°, :.Z.QRA = ZFED

19、 = 45° , :.ZAQR = Z.QRA = 45° , :.AR=AQ = t-5 , ，重叠部分的面积S = SiWAOER = AR + OE)xOA = L(t-5 + t)5,即 S = 5/ 12.5;当6</«10时，如图3,: QF = QR = 6-5 = 1,，重叠部分的面积S = gx(2R + OE)xO0 = ；x(l+6)x5 = 17.5;1r,(0Kd5)综上所述：S = < 5/-12.5, (5<r<6).17.5,(6<r<10)o模块二运动产生的特殊图形111如图，正方形ABCD的边

20、长为6cm,尸、0分别是BC.4D边上的两个动点，点尸从点3出发以3cm/s 的速度向点C运动，点。从点。出发以4cm/s的速度向点/运动.尸、。两点同时出发，当。到达 ,4点时，。、尸点同时停止运动.过。作。尸_18c于尸，交dC于E,连接EP设运动的时间为x（s）,EPC的面积为义cm1.当x为多少时，是等腰直角三角形.【解析】V ZACB = 45° ,尸石=庵和PE = F。时，ZkEPC是等腰直角三角形，尸七=小时，PC=2CF,6-3x = 2x4x,解得工=色，ii尸石=尸。时，点尸和点尸重合，PC=CF,：.6-3x = 4x,解得x = f , 7综上所述，1=色或工时，是等腰直角三角形.如图，在中，4 = 90。，8c = 5外，ZC = 30°.点。从点C出发沿C4方向以每秒2个 单位长的速度向点d匀速运动，同时点E从点H出发沿AB