第二节中心极限定理

1、 1.中心极限定理的客观背景中心极限定理的客观背景 在实际问题中，常常需要考虑许多随机在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响因素所产生总影响. .例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响着许多随机因素的影响. .5.2 5.2 中心极限定理中心极限定理 空气阻力所产生的误差，空气阻力所产生的误差，对我们来说重要的是这些对我们来说重要的是这些随机因素的总影响随机因素的总影响.如瞄准时的误差，如瞄准时的误差，炮弹或炮身结构所引起的误差等等炮弹或炮身结构所引起的误差等等. . 自从高斯指出测量误差服从正自从高斯指出测量误差服从正态分

2、布之后，人们发现，正态分布态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见在自然界中极为常见. . 观察表明：客观实际中，许多随机变量是观察表明：客观实际中，许多随机变量是由大量由大量相互独立的偶然因素的综合影响相互独立的偶然因素的综合影响所形成，每一个微小所形成，每一个微小因素，在总的影响中所起的作用是很小的，但总起来，因素，在总的影响中所起的作用是很小的，但总起来，却对总和有显著影响，这种随机变量往往近似地服从却对总和有显著影响，这种随机变量往往近似地服从正态分布。正态分布。 现在我们就来研究独立随机变量之和所现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题特有的规律性问题. . 当当n

3、无限增大时，这个和的极限分布是无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？什么呢？在什么条件下极限分布会是正态的呢在什么条件下极限分布会是正态的呢？ 由于无穷个随机变量之和可能趋于由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们不研究故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量它的标准化的随机变量 nkknknkkknXDXEXZ111)()(的分布函数的极限的分布函数的极限. . nkknknkkknXDXEXZ111)()(的分布函数的极限的分布函数的极限. .考虑考虑 概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一

4、系列定理称为是正态分布的一系列定理称为中心极限定理中心极限定理。独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理 设随机变量设随机变量X1，X2，Xn相互独立相互独立，服从同一分服从同一分布布，且有有限的数学期望，且有有限的数学期望 和方差和方差 ，则随机变量，则随机变量 的分布函数的分布函数 满足如下极限式满足如下极限式1niinXnYn( )nF x22121lim( )lim2ntixinnnXnF xPxedtn注：注：则则Y n为为nkkX1的标准化随机变量的标准化随机变量.)(limxxYPnn即即 n 足够大时，足够大时，Y n 的分布函数近似于标准正态的分布函数近似于标准正态随

5、机变量的分布函数随机变量的分布函数nnXYnkkn1记记)1 ,0( NYn近似近似nkkX1nYnn),(2nnN近似服近似服从从定理的应用定理的应用：对于独立的随机变量序列对于独立的随机变量序列 ，不管不管 服从什么分布，只要它们是同分布服从什么分布，只要它们是同分布，且有有限的数学期望和方差，那么，当且有有限的数学期望和方差，那么，当n充分大时，这充分大时，这些随机变量之和些随机变量之和 近似地服从正态分布近似地服从正态分布nX(1,2, )iX in1niiX2,N nn下面我们举例说明中心极限定理的应用下面我们举例说明中心极限定理的应用从演示不难看到中心极限定理的客观背景从演示不难看

6、到中心极限定理的客观背景例例: :20个个0-1分布的和的分布分布的和的分布X1 f(x)X1 +X2g(x)X1 +X2+X3 h(x)几个几个(0,1)上均匀分布的和的分布上均匀分布的和的分布0123xfgh例例1 一部件包括一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变部分，每部分的长度是一个随机变量，相互独立，且具有同一分布。其数学期望是量，相互独立，且具有同一分布。其数学期望是2mm，均方差是均方差是0.05mm，规定总长度为规定总长度为200.1mm时产品合时产品合格，试求产品合格的概率。格，试求产品合格的概率。解解 设部件的总长度为设部件的总长度为X，每部分的长度为每部分的长度为

7、Xi（i=1,2,10)，则则()2iE X()0.05iX101iiXX由定理可知：由定理可知：X近似地服从正态分布近似地服从正态分布 210 2,10 0.05N即即 20,0.025N续解续解 则产品合格的概率为则产品合格的概率为 200.119.920.1P XPX20.1 2019.9200.0250.025 0.1210.025 0.4714棣莫弗棣莫弗拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理 (De Moivre(De Moivre-Laplace) -Laplace) 设设 Y n B( n , p) , 0 p 1, n = 1,2,则对任一实数则对任一实数 x，有，有xtn

8、ndtexpnpnpYP2221)1 (lim即对任意的即对任意的 a b,batnndtebpnpnpYaP2221)1 (limY n N (np , np(1-p) (近似近似)正态分布的概率密度的图形正态分布的概率密度的图形x 二项分布的随机变量可看作许多相互独立的0-1分布的随机变量之和, 下面是当x-B(20,0.5)时, x的概率分布图 Poisson分布相当于二项分布中分布相当于二项分布中p很小很小n很大很大的的分布分布, , 因此因此, , 参数参数l=np当很大时也相当于当很大时也相当于n特别大特别大, , 这个时候这个时候Poisson分布也近似服从正态分布分布也近似服从

9、正态分布, , 下面下面是是l=30时的时的Poisson概率分布图概率分布图. .例例2 设有一大批种子，其中良种占设有一大批种子，其中良种占1/6. 试估计试估计 在任选的在任选的6000粒种子中，良种所占比例与粒种子中，良种所占比例与 1/6比较上下不超过比较上下不超过1%的概率的概率.解解 设设 X 表示表示6000粒种子中的良种数粒种子中的良种数 , 则则X B(6000,1/6)65000)(,1000)(XDXE6500010009406500010001060650006065000601650006029624. 001. 0616000XP601000 XP65000,10

10、00 NX近似比较几个近似计算的结果比较几个近似计算的结果用中心极限定理用中心极限定理9624. 001. 0616000XP用二项分布用二项分布(精确结果精确结果)9590. 001. 0616000XP用用Poisson 分布分布9379. 001. 0616000XP用用Chebyshev 不等式不等式7685. 001. 0616000XP例例3 对敌人的防御工事用炮火进行对敌人的防御工事用炮火进行 100 次轰击次轰击, 设每次轰击命中的炮弹数服从同一分布设每次轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其其 数学期望为数学期望为 2, 均方差为均方差为 1.5 . 如果各次轰击如果各次轰击 命

11、中的炮弹数是相互独立的命中的炮弹数是相互独立的, 求求100 次轰击次轰击 (1) 至少命中至少命中180发炮弹的概率发炮弹的概率; (2) 命中的炮弹数不到命中的炮弹数不到200发的概率发的概率.解解 设设 X k 表示第表示第 k 次轰击命中的炮弹数次轰击命中的炮弹数100, 2 , 1,5 . 1)(, 2)(2kXDXEkk10021,XXX相互独立，相互独立， 设设 X 表示表示100次轰击命中的炮弹数次轰击命中的炮弹数, 则则,225)(,200)(,1001XDXEXXkk(1) 152001801)180(XP(2)15200015200200)2000(XP91. 0)3 .

12、 1 ()3 . 1(15 . 0)33.13()0()225,200( NX近似例例4 售报员在报摊上卖报售报员在报摊上卖报, 已知每个过路人在已知每个过路人在报摊上买报的概率为报摊上买报的概率为1/3. 令令X 是出售了是出售了100份份报时过路人的数目，求报时过路人的数目，求 P (280 X 320).解解 令令Xi 为售出了第为售出了第 i 1 份报纸后到售出第份报纸后到售出第i 份报纸时的过路人数份报纸时的过路人数, i = 1,2,100, 2 , 1,1)(3/11kppkXPpki(几何分布几何分布)61)(, 31)(3/123/1pipippXDpXE1001kkXX10

13、021,XXX相互独立,600)(,300)(XDXE)()600,300(近似NX600300280600300320)320280(XP160020218165. 025878.0中心极限定理的意义中心极限定理的意义 在实际问题中，若某随机变量可以看在实际问题中，若某随机变量可以看作是有相互独立的大量随机变量综合作用作是有相互独立的大量随机变量综合作用的结果，每一个因素在总的影响中的作用的结果，每一个因素在总的影响中的作用都很微小，则综合作用的结果服从正态分都很微小，则综合作用的结果服从正态分布布.练习练习设设,21nXXX );(lim)(1xxnXPAniin 相互独立且都服从参数为相互独立且都服从参数为 的泊松分的泊松分布，则下列选项中成立的是（布，则下列选项中成立的是（ ）);(lim)(1xxnnXPBniin );(lim)(1xxnnXPCniin );(lim)(1xxnXPDniin C这一讲我们介绍了中心极限定理这一讲我们介绍了中心极限定理 在后面的课程中