信号与系统奥本海默第二版第章(1)

1、整理ppt信号与系统(Signals and Systems)整理ppt第第10章章 Z-变换变换The Z-Transform整理ppt本章主要内容本章主要内容1. 双边双边Z变换及其收敛域变换及其收敛域ROC。2. ROC的特征，各类信号的的特征，各类信号的ROC，零极点图。，零极点图。3. Z反变换，利用部分分式展开进行反变换。反变换，利用部分分式展开进行反变换。5. 常用信号的常用信号的Z变换，变换，Z变换的性质。变换的性质。6. 用用Z变换表征变换表征LTI系统，系统函数，系统，系统函数，LTI系统系统 的的Z变换分析法，系统的级联与并联型结构。变换分析法，系统的级联与并联型结构。

2、4. 由零极点图分析系统的特性。由零极点图分析系统的特性。7. 单边单边Z变换，增量线性系统的分析。变换，增量线性系统的分析。整理ppt Z 变换与拉氏变换相对应，是离散时间傅变换与拉氏变换相对应，是离散时间傅立叶变换的推广。立叶变换的推广。 Z 变换的基本思想、许多变换的基本思想、许多性质及其分析方法都与拉氏变换有相似之处。性质及其分析方法都与拉氏变换有相似之处。当然，当然，Z 变换与拉氏变换也存在着一些重要变换与拉氏变换也存在着一些重要的差异。的差异。10.0 引言引言 (Introduction)整理pptxk=2kuk的离散时间Fourier变换 DTFT)?不存在不存在!kkkkkk

3、rrkuj0e22DTFTjerz 令kkkz201211z若|z| 2kkkr)e(2j0整理ppt推广到一般情况kkkkrkxrkxjeDTFTz=rej)(zXzkxkkkkzkxzX)(zzzXkxkcd)(j211C为X(z) 的收敛域(ROC )中的一闭合曲线双边双边z变换变换整理pptzzzXkxkcd)(j211正变换：X(z)=Zxk反变换： xk =Z1X(z)(zXkxz或整理ppt10.1 双边双边 Z 变换变换 当当 时，时， 即为离散时间傅立叶变换。即为离散时间傅立叶变换。这表明：这表明：DTFT就是在单位圆上进行的就是在单位圆上进行的Z变换。变换。1r jze()

4、( ) ( )jnj nnnX rex n r ex n rF( )( )nnX zx n zjzre其中其中 是一个复数。是一个复数。一一. .双边双边Z变换的定义变换的定义:The z-Transform可见：对可见：对 做做 Z 变换就等于对变换就等于对 做做DTFT。 因此，因此，Z 变换是对变换是对DTFT的推广的推广。( )x n( )nx n r整理ppt二二. Z变换的变换的收敛域（收敛域（ROC）：）：Z变换与变换与DTFT一样存在着收敛的问题。一样存在着收敛的问题。1. 并非任何信号的并非任何信号的Z变换都存在。变换都存在。2. 并非并非Z平面上的任何复数都能使平面上的任何

5、复数都能使 收敛。收敛。 Z平面上那些能使平面上那些能使 收敛的点的集合，就构收敛的点的集合，就构成了成了 的的收敛域收敛域（ROC）。）。 X(z)存在或级数收敛的充分条件是存在或级数收敛的充分条件是 ( )X z( )X z( )X z nnx n z 整理ppt例例1.( )( )nx na u n11( )1nnnX za zaz时收敛时收敛za当当 时，时， ROC包括了单位圆。包括了单位圆。1a 1()1jjX eaeza单位圆单位圆1 1ImReZ平面平面a a此时，此时， 的的DTFT存在。存在。( )x n( )|()jjz eX zX e显然有显然有整理ppt例例2.( )

6、( )x nu n101( )1nnX zzz1z 此时，此时，ROC不包括单位圆，所以不包括单位圆，所以不能不能简单地简单地从从 通过将通过将 得到得到 。( )X zzje()jX eImReZ平面平面1 1（例（例2的的ROC）1()(2)1jjkX eke 整理ppt例例3.( )(1)nx na un 11( )nnnnnnX za za z111111a za zaz a a 1 1ReZ平面平面单位圆单位圆ImzaROC:例6.1和例6.3的结论是应该熟记的，在以后的学习将经常用到。整理ppt例例4.1( )( )( )2(1)2nnx nu nun 10111( )( )221

7、111 212nnnnnnX zzzzz1ROC:22z 一般情况下，一般情况下， 的的ROC是是 Z 平面上一个平面上一个以以原点为中心的圆环。原点为中心的圆环。( )X z2 21/21/2Z平面平面ImRe单位圆单位圆整理ppt结结 论：论：1）Z变换存在着收敛问题，不是任何信号都存变换存在着收敛问题，不是任何信号都存在在Z变换，也不是任何复数变换，也不是任何复数Z都能使都能使 收敛。收敛。( )X z( )X z( )X z( )x n2）仅仅由）仅仅由 的表达式不能唯一地确定一个信的表达式不能唯一地确定一个信号，只有号，只有 连同相应的连同相应的ROC一道，才能与信一道，才能与信号号

8、 建立一一对应的关系。建立一一对应的关系。3）Z变换的变换的ROC，一般是，一般是Z平面上以原点为中平面上以原点为中心的环形区域。且心的环形区域。且ROC内不包含任何极点。内不包含任何极点。整理ppt4）如果）如果 ，则其，则其ROC是各个是各个 的的ROC的公共部分。若没有公共区域则表明的公共部分。若没有公共区域则表明 的的Z变换不存在。变换不存在。( )( )iix nx n( )ix n( )x n( )X z( )X z5）当）当 是有理函数时，其是有理函数时，其ROC的边界总是的边界总是由由 的极点所在的圆周界定的。的极点所在的圆周界定的。6）若）若 的的ROC包括单位圆，则有包括单

9、位圆，则有( )X z()( )|jjz eX eX z整理ppt三三. . 的几何表示的几何表示零极点图：零极点图：( )X z()( )( )( )()iippzzN zX zMD zzz( )X z 如果如果 是有理函数，将其分子多项式与分是有理函数，将其分子多项式与分母多项式分别因式分解可以得到：母多项式分别因式分解可以得到： 由其全部的零、极点即可确定出由其全部的零、极点即可确定出 ，最多，最多相差一个常数因子相差一个常数因子 。( )X zM整理ppt 如果在零极点图上同时标出如果在零极点图上同时标出ROC，则由该，则由该零极点图可以零极点图可以唯一地唯一地确定一个信号。确定一个信

10、号。 因此，若在因此，若在 Z 平面上表示出平面上表示出 的的全部零、全部零、极点，即构成极点，即构成 的几何表示的几何表示零极点图。零极点图。( )X z( )X z 零极点图对描述零极点图对描述LTI系统和分析系统和分析LTI系统的特系统的特性，具有重要的用途。性，具有重要的用途。整理ppt1. 的的ROC是是Z平面上以原点为中心的环形平面上以原点为中心的环形区域。区域。( )X z10.2 Z 变换的变换的ROCThe Region of Convergence for the z-TransformROC的特征：的特征：0z z 3. 有限长序列的有限长序列的ROC是整个有限是整个有限

11、Z平面（可平面（可能不包括能不包括 ，或，或 ）。）。( )X z2. 在在ROC内，内， 无极点。无极点。整理ppt4. 右边序列的右边序列的ROC是某个圆的外部，但可能是某个圆的外部，但可能不包括不包括 。那么。那么 的全部有限值都在的全部有限值都在这个这个ROC内。内。z 0rz 5. 左边序列的左边序列的ROC是某个圆的内部，但可能不是某个圆的内部，但可能不包括包括 。那么满足。那么满足 的全部值都一定在的全部值都一定在这个这个ROC内。内。0z 00rz 6. 双边序列的双边序列的Z变换如果存在，则变换如果存在，则ROC必是一必是一个环形区域。个环形区域。整理ppt7.7.如果如果x

12、nxn的的 变换变换X(z)X(z)是有理的，而且若是是有理的，而且若是xnxn右边序列，那么右边序列，那么ROCROC就位于就位于 平面内最外层极平面内最外层极点的外边；也就是半径等于极点中最大模值的圆的点的外边；也就是半径等于极点中最大模值的圆的外边。而且若外边。而且若xnxn是因果序列（即为是因果序列（即为xnxn等于等于0 0的右的右边序列），那么也包括边序列），那么也包括z=z=。8.8.如果如果xnxn的变换的变换X(z)X(z)是有理的，而且若是是有理的，而且若是xnxn左左边序列，那么边序列，那么ROCROC就位于就位于 平面内最里层的非零平面内最里层的非零点的里边；也就是半径

13、等于点的里边；也就是半径等于X(z)X(z)中除去中除去z=0z=0的极点中的极点中最小模值的圆的里边，并且向圆内延伸到可能包括最小模值的圆的里边，并且向圆内延伸到可能包括z=0z=0。特别是若是反因果序列。特别是若是反因果序列( (即即xnxn为等于为等于0 0的左边的左边序列序列) )，ROCROC那么也包括那么也包括z=0z=0。00rz 0rz 整理ppt11101( )1()NNNNNnnNna zzaX za zazzza极点：极点：za（一阶）（一阶）0z （N1阶）阶）零点：零点：2jkNzae(0,11)kN jIm z Re z(8)N aa0 0(1)N ROC:0z 在

14、在 处，零极点抵消，使有限处，零极点抵消，使有限 Z平面内平面内无极点。无极点。za例例1.( )x n ,01,nanN0a 0,其他其他n整理ppt例例2.( ),0nx nbb( )( )(1)nnx nb u nb un 11( ),1nb u nzbbz1111(1),1nb unzbb z 在在 时，两部分的收敛域无公共部分，时，两部分的收敛域无公共部分，表明此时表明此时 不存在。不存在。1b ( )X zb b1/b1/bZ平面平面ImRe01b时，时，ROC为为1/bzb整理ppt例例3.111( )1(1)(1 2)3X zzz1/32ReIm0 0(2)在有限在有限Z平面上

15、极点平面上极点总数与零点总数相同总数与零点总数相同零点：零点：121,23zz0z （二阶）（二阶）极点：极点：若其若其ROC为：为：12z 则则 为右边序列，且是因果的，为右边序列，且是因果的，但其傅立叶变换不存在。但其傅立叶变换不存在。( )x n整理ppt时时 是左边序列，且是反因果的，是左边序列，且是反因果的，其傅立叶变换不存在。其傅立叶变换不存在。213z ( )x n 时时 是双边序列，其傅立叶变是双边序列，其傅立叶变换存在。换存在。3123z( )x nROC是否包括是否包括 ，是，是 是否反因果的标志。是否反因果的标志。0z ( )x nz ( )x nROC是否包括是否包括

16、，是，是 是否因果的标志。是否因果的标志。整理ppt10.3 Z-反变换反变换()( )jnj nnX rex n r e21( )()2njj nx n rX reed21( )()2jnj nx nX rer ed令令 ，则，则jzrejdzjre djzd一一. .Z-反变换：反变换：The Inverse Z-Transform整理ppt 当当 从从 时，时，Z沿着沿着ROC内半径为内半径为 r 的圆的圆变化一周。变化一周。0211( )( )2ncx nX z zdzj其中其中 C 是是 ROC 中逆时针方向的中逆时针方向的圆周。圆周。整理ppt步骤步骤 ：1. 求出求出 的所有极点

17、的所有极点 ； 2. 将将 展开为部分分式；展开为部分分式；( )X zia( )X z3. 根据总的根据总的ROC，确定每一项的，确定每一项的ROC；4. 利用常用变换对和利用常用变换对和Z变换变换性质求出每一性质求出每一项的反变换。项的反变换。 1. 部分分式展开法：部分分式展开法：1( )1iiiAX za z二二. . 反变换的求取：反变换的求取：( )X z当当 是有理函数时，可将其展开为是有理函数时，可将其展开为部分分式部分分式整理ppt11( )( )( )2( )(1)43nnx nu nun 1112( )111143X zzz1ROC2ROC1ROC :| 1/4z 2RO

18、C :| 1/3z 例：例：111536( )11(1)(1)43zX zzz1143z将将 展开为部分分式有：展开为部分分式有：( )X z整理ppt2. 幂级数展开法幂级数展开法: :（长除法）（长除法）由由 的定义，将其展开为幂级数，有的定义，将其展开为幂级数，有 ( )X z( )()( 1)nX zxn zxz12(0)(1)2)(nx n zxxzxz 展开式中展开式中 项的系数即为项的系数即为 。当。当 是是有理函数时，可以通过长除的方法将其展开为有理函数时，可以通过长除的方法将其展开为幂级数。幂级数。nz( )x n( )X zv 由于由于右边序列右边序列的展开式中应包含无数多

19、个的展开式中应包含无数多个Z的负幂项，所以要的负幂项，所以要按降幂长除。按降幂长除。整理pptv 由于由于左边序列左边序列的展开式中应包含无数多个的展开式中应包含无数多个Z的的正幂项，所以要正幂项，所以要按升幂长除。按升幂长除。v 对对双边序列，先要将其分成对应信号的右边双边序列，先要将其分成对应信号的右边和左边的两部分，再分别按上述原则长除。和左边的两部分，再分别按上述原则长除。13( )124X zzz 1,02,1 4,30,nnx nnn其它例如：，可得。整理ppt例：例： 111536( )11(1)(1)43zX zzz1143z 幂级数展开法的缺点是当幂级数展开法的缺点是当 较复

20、杂（含较复杂（含多个极点时）难以得出多个极点时）难以得出 的闭式。的闭式。( )X z( )x n1112( )111143X zzz1ROC2ROC1ROC :| 1/4z 2ROC :| 1/3z 所以所以前一项按降幂长除，后一项按升幂长除前一项按降幂长除，后一项按升幂长除。 幂级数展开法适合用来求解非有理函数形幂级数展开法适合用来求解非有理函数形式式 的反变换。的反变换。( )X z整理ppt3. 留数法：留数法：111( )( )Res( ),2nnicix nX z zdzX z zzj是是C内的极点。内的极点。iz1( )Res( ), niix nX z zz 是是C外的极点。外

21、的极点。iz0n 时，时，1( )Res( ), niix nX z zz是是C内的极点内的极点。iz0n 时，时，对有理函数的对有理函数的 由留数定理有：由留数定理有：( )X z整理ppt 当当ROC包括包括 时，时，Z 变换在单位圆上的情变换在单位圆上的情况就是况就是 ，因此也可以利用零极点图对其，因此也可以利用零极点图对其进行几何求值。进行几何求值。1z ()jX e10.4. 由零极点图对离散时间傅立叶由零极点图对离散时间傅立叶变换几何求值变换几何求值Geometric Evaluation of the Fourier Transform from the Pole-Zero Pl

22、ot 其方法与拉氏变换时完全类似：其方法与拉氏变换时完全类似：整理ppt 考查动点在单位圆上移动一周时，各极点矢考查动点在单位圆上移动一周时，各极点矢量和零点矢量的长度与幅角变化的情况，即可量和零点矢量的长度与幅角变化的情况，即可反映系统的频率特性。反映系统的频率特性。例例1. 一阶系统一阶系统( )(1)( )y nay nx n( )( )nh na u n11( ),1H zzaaz当当 时，时，ROC包括单位圆。包括单位圆。1a 1()1jjH eae整理ppt12()/jH eVV 显然，显然， 取决于取决于 的变化。的变化。11,V ()jH e2V v当当 时，时，01a()jH

23、 e当当 时，时， 有最小值。有最小值。随随 呈单调变化。呈单调变化。()jH e0()jH e在在 处，处， 有最大值。有最大值。a a1V2V jeRe zjIm z1 1整理ppt0.95a 相频特性相频特性一阶系统的频率特性：一阶系统的频率特性：01a幅频特性幅频特性整理pptv当当 时，时，10a a a1V2V jeRe zjIm z1 120.5a0.95a相频特性相频特性幅频特性幅频特性整理ppt 越小，极点靠原点越近，系统的频率响越小，极点靠原点越近，系统的频率响应越平缓，系统的带宽越宽；此时应越平缓，系统的带宽越宽；此时 衰减衰减越快，越快， 上升越快。上升越快。a( )h

24、 n( )s n 越大，极点靠单位圆越近，系统频响越越大，极点靠单位圆越近，系统频响越尖锐，频响的极大值越大，系统带宽越窄，尖锐，频响的极大值越大，系统带宽越窄，相位的非线性程度越厉害。相位的非线性程度越厉害。a可以看出：可以看出：整理ppt例例2. 二阶系统：二阶系统：sin(1)( )( )sinnnh nru n01,0r（系统欠阻尼）（系统欠阻尼）2( )2 cos(1)(2)( )y nry nr y nx n1221( )1 2 cosH zrzr z极点：极点：1,2jzre零点：零点：0z （二阶）（二阶）整理ppt 考查动点在单位圆上移动一周时，各极点矢考查动点在单位圆上移动

25、一周时，各极点矢量和零点矢量的长度与幅角的变化情况，即可量和零点矢量的长度与幅角的变化情况，即可得到二阶系统的频率特性。得到二阶系统的频率特性。1V2V jejIm z1 13V Re z整理ppt 当当 从从 时，在靠近时，在靠近 处频率响处频率响应会出现极大值。应会出现极大值。0 若若r越接近于越接近于1， 的峰值越尖锐。由于的峰值越尖锐。由于极点远离原点，极点远离原点， 和和 的变化速率越慢。的变化速率越慢。()jH e( )h n( )s n 随着随着r减小，极点逐步靠近原点，频率响应趋减小，极点逐步靠近原点，频率响应趋于平坦，而于平坦，而 和和 的变化速率会加快。的变化速率会加快。(

26、 )h n( )s n整理ppt幅频特性幅频特性相频特性相频特性二阶系统的频率特性：二阶系统的频率特性：01,0r整理ppt 当极点很靠近单位圆当极点很靠近单位圆时，也可以从零极点图时，也可以从零极点图粗略确定系统的带宽。粗略确定系统的带宽。4 更一般的情况，二阶系统也可能更一般的情况，二阶系统也可能 有两个实数极点，此时系统处于过阻尼状态。有两个实数极点，此时系统处于过阻尼状态。其特性相当于两个一阶系统级联的结果。其特性相当于两个一阶系统级联的结果。（二阶系统具有重阶实数极点的情况）（二阶系统具有重阶实数极点的情况）整理ppt Z变换的许多性质与变换的许多性质与DTFT的性质相似，其推的性质

27、相似，其推 论方法也相同。这里主要讨论其论方法也相同。这里主要讨论其ROC的变化。的变化。11( )( )x nXz1ROC:R22( )( )x nXz2ROC: R则则1212( )( )( )( )ax nbx naX zbXzROC：包括：包括12RR10.5 Z变换的性质变换的性质1. 线性：线性：Properties of the Z-transform整理pptv 如果在线性组合过程中出现零极点相抵消，如果在线性组合过程中出现零极点相抵消，则则ROC可能会扩大。可能会扩大。2. 时移时移(右移右移)：但在但在 和和 可能会有增删。可能会有增删。ROC:R0z z v 由于信号时移

28、可能会改变其因果性，故会由于信号时移可能会改变其因果性，故会使使ROC 在在 ， 有可能改变。有可能改变。0z z ( )( )x nX zROC:R若若00()( )nx nnX z z则则整理ppt3. Z域尺度变换：域尺度变换：( )( )x nX zROC:R若若00( )( /)nz x nX z z0ROC: z R则则zR时时 收敛，故收敛，故 时，时， 收敛。收敛。 ( )X z0| /|z zR0( /)X z z0zz R当当 时，即为时，即为移频特性移频特性。00jze 若若 是一般复数是一般复数 ，则，则 的零的零极点不仅要将极点不仅要将 的零极点逆时针旋转一个角的零极

29、点逆时针旋转一个角度度 ，而且在径向有，而且在径向有 倍的尺度变化。倍的尺度变化。0z000jzr e0( /)X z z( )X z00r整理ppt1/21/202r 014. 时域反转：时域反转：( )( )x nX zROC:R若若1()()xnX zROC:1/ R( (收敛域边界倒置收敛域边界倒置) )则则v 信号在时域反转，会引起信号在时域反转，会引起 的零、极点的零、极点分布按倒量对称发生改变。分布按倒量对称发生改变。( )X z整理ppt即：即： 与与 的的零极点呈共轭倒量对称零极点呈共轭倒量对称。( )X z1()X zv 如果如果 是是 的零的零/ /极点极点, ,则则 就

30、是就是 的零的零/ /极点。由于极点。由于 也是也是 的零的零/ /极点，因此极点，因此iz1/iz1()X z( )X ziz( )X z1/iz也是也是 的零的零/ /极点。极点。1()X z则则 的的ROC为为1()X z223zizizRe0 0jIm*1/iz1/iz例：例：( )X z的的ROC为为1322z若若整理ppt5. 时域内插时域内插:( )( )x nX zROC:R 若若( )kx n ( / )x n k0n为为 的整数倍的整数倍k其它其它n则则( )()kkx nX z1ROC:kR( )( )( )()nrkkkk nnrXzxzx r zX z证明：证明：整理

31、ppt6. 共轭对称性：共轭对称性：v当当 是实信号时，是实信号时， ，于是有，于是有( )x n*( )( )x nx n*( )()X zXz表明表明如果如果 有复数零极点，必共轭成对出现。有复数零极点，必共轭成对出现。( )X z( )( )x nX zROC:R若若*( )()x nXzROC:R则则整理ppt12RRROC包括包括 如果在相乘时出现零极点抵消的情况则如果在相乘时出现零极点抵消的情况则ROC可能会扩大。可能会扩大。1212( )()( )( )mnnx nxm x nnm zx 1212( )( )( )( )mmx m Xz zXz Xz该性质是该性质是LTI系统系统

32、Z变换分析法的理论基础。变换分析法的理论基础。22( )( )xnXz2ROC : R1212( )( )( )( )x nx nXz Xz则则11( )( )x nXz1ROC : R若若7. 卷积性质：卷积性质：整理ppt8. Z域微分：域微分： 利用该性质可以方便地求出某些非有理函利用该性质可以方便地求出某些非有理函数数 的反变换，或具有高阶极点的的反变换，或具有高阶极点的 的的反变换。反变换。( )X z( )X z( )( )x nX zROC:R若若( )( )dX znx nzdz ROC:R则则整理ppt111( )()(1)( )1ndX zazzaau nnx ndzaz1

33、1( )()(1)()(1)nnax nau nau nnn 21( )1dX zazdzaz例例1. 1( )ln(1)X zazza整理ppt例例2：11 2( )(1)azX zazza11( )1na u nazza211 21()1(1)dazdzazaz 11 2( )(1)dX zazzdzaz( )( )nx nna u n整理ppt9. 初值定理：初值定理：则则(0)lim( )zxX z( )x n( )( )x nX z若若 是因果信号，且是因果信号，且 12( )(0)(1)(2)X zxxzxz( )nx n zzlim( )(0)zX zx时有时有显然当显然当证明：

34、证明：将将 按定义式展开有：按定义式展开有：( )X z整理ppt10. 终值定理终值定理 ： 若若 是因果信号，且是因果信号，且 ， 除了在除了在 可以有一阶极点外，其它极点均可以有一阶极点外，其它极点均在单位圆内，则在单位圆内，则 ( )x n( )( )x nX z( )X z1z1(1)( )limzzX z( )limnx n证明：证明：(1)( )zX z在单位圆上无极点在单位圆上无极点( )0,x n 0,n ( )X z 除了在除了在 可以有可以有 单阶极点外，其它极点均在单位圆内，单阶极点外，其它极点均在单位圆内， 1z 整理ppt1111(1)( ) (1)( )limli

35、m (1)( )limzzmnnmnzX zx nx n zx nx n(1)(1)( (0)( 1)lim(0)mxxx mxxmx(1)( )limlimmnx mx n 这其实表明：如果这其实表明：如果 有终值存在，则其终有终值存在，则其终值等于值等于 在在 处的留数。处的留数。( )x n( )X z1z 1(1)( )Res( ),1limzzX zX z整理ppt信号的极点的位置与信号终值之间关系示意图信号的极点的位置与信号终值之间关系示意图整理ppt10.6 常用信号的常用信号的Z变换对变换对Some Common Z-Transform Pairs整理ppt10.7 利用利用Z

36、变换分析与表征变换分析与表征LTI系统系统 一一. .系统特性与系统特性与 的关系的关系: :( )H zAnalysis and Characterization of LTI Systems Using Z-Transforms( )H z( )h n()jH e LTI系统的特性可以由系统的特性可以由 或或 描述，因描述，因而也可以由而也可以由 连同连同ROC来表征。来表征。 称为称为系统函数。系统函数。系统的特性应该在系统函数系统的特性应该在系统函数中有所表现。根据卷积性质中有所表现。根据卷积性质只要单位圆是在只要单位圆是在 的的ROCROC内，将内，将 在单位圆上在单位圆上求值（即求

37、值（即 ），）， 就变成系统的频率响应。就变成系统的频率响应。( )H z)()()(zXzHzY)(zH)(zHjze)(zH整理pptH(z)hk)(khZzH)(1zHZkh1)(zskhZkhZkZkyZzHkh整理ppthkH(z)xkyzs k = xk*hkX(z)Yzs(z) = X(z)H(z)整理pptH(z) 由系统的单位脉冲响应求解：H(z)=Zhk 由系统的差分方程写出H(z)(zskxZkyZzH 由定义式整理ppt( )H zz 1. 因果性：因果性：如果如果LTI系统是因果的，则系统是因果的，则 时时 有有 所以所以 , 的的ROC是最外部极点的是最外部极点的外

38、部，外部， 并且包括并且包括 。 ( )0,h n 0n 2. 稳定性：稳定性：若若LTI系统稳定，则系统稳定，则 ， 即即 的的DTFT存在，表明单位圆在存在，表明单位圆在 的的ROC内。内。( )nh n ( )h n( )H z( )H z即即 的的ROC必包括单位圆。必包括单位圆。 因此，因此，因果稳定的因果稳定的LTI系统其系统其 的全部极的全部极点必须位于单位圆内，反之亦然。点必须位于单位圆内，反之亦然。当当 是关是关于于 Z 的有理函数时，因果性要求的有理函数时，因果性要求 的分子阶的分子阶数不能高于分母阶数。数不能高于分母阶数。( )H z( )H z( )H z整理ppt例：

39、例：求单位延时器yk=xk1的系统函数H(z)。)(zXkxz)( 11zXzkxz11zs)()()()()(zzXzXzzXzYzH利用z变换的位移特性，有根据系统函数的定义，可得即单位延时器的系统函数H(z) 为z1 。整理ppt例：例： 一LTI离散系统，其初始状态为y1=8，y2=2, 当输入xk= (0.5)kuk时，输出响应为 yk= 4(0.5)kuk 0.5k(0.5)k1 uk1(0.5)kuk 求系统函数H(z)。)5 . 0()5 . 0)(1()5 . 0(5kukukkukykkk12115 . 011)5 . 01 (15 . 015)(zzzzY)5 . 01

40、()5 . 01 (5 . 15 . 0312121zzzz整理ppt对于初始状态为y1=8, y2=2的一般二阶系统2211122122112211018281)()(zazazaaazazazbzbbzXzY22125. 015 . 025. 15 . 2)(zzzzH)5 . 01 ()5 . 01 (5 . 15 . 0312121zzzzH(z)整理ppt241 121nxnynyny21nunxnny例 已知一因果LTI系统的差分方程为试确定系统的系统函数。若，用z变换确定上述系统的输出)()(41)(21)(21zXzYzzYzzY112143411434111)41211 (1

41、)()()(zjzjzzzXzYzH4341j214341jz极点为，收敛域为21,21 11)(1zzzX整理ppt1111111( )( )( )1113311144442111331113311144244Y zX z H zjjzzzjjjjzzz1113311 443344212sin1 233nnnnjjy nju nju nu nnu n 整理ppt二二. LTI系统的系统的Z变换分析法：变换分析法：1） 由由 求得求得 及其及其 。 2） 由系统的描述求得由系统的描述求得 及其及其 。( )x n1ROC:R( )H z2ROC: R( )X z分析步骤：分析步骤：3） 由由

42、得出得出 并确定它并确定它 的的ROC包括包括 。4） 对对 做反变换得到做反变换得到 。( )( )( )Y zX z H z12RR( )y n( )Y z( )Y z整理ppt三三. 由由LCCDE描述的描述的LTI系统的系统的 :( )H z00()()NNkkkka y nkb x nk对方程两边做对方程两边做Z变换可得：变换可得：由差分方程描述的由差分方程描述的LTI系统，其方程为系统，其方程为00( )( )NNkkkkkka z Y zb zX z00( )NkkkNkkkb zH za z是一个有理函数。是一个有理函数。整理ppt( )H z的的ROC需要通过其它条件确定，如

43、：需要通过其它条件确定，如：1.系统的因果性或稳定性。系统的因果性或稳定性。 2.系统是否具有零初始条件等。系统是否具有零初始条件等。整理ppt1 nx nu n1（ ）6 10 nny nau n11（ ）（ ）23例：若系统的输入是，那么输出是。其中a是实数。61,6111)(11zzzX11111110101( ),1111211112323aazaY zzzzzz（5 ）3若 ,那么输出是 。nnx12求该系统的差分方程。nny1472整理ppt1111113112116113510)()()(zzzzaazXzYzH3423673510) 1(47aaH解得：9a， 11113112

44、1161121)(zzzzzH212161651316131)(zzzzzH231 1613261 165nxnxnxnynyny整理ppt例：例：由下列差分方程做出网络结构，并求其系由下列差分方程做出网络结构，并求其系统函数统函数 H(z) 和单位脉冲响应和单位脉冲响应 h(n)。)3(8) 1(5)()() 1 (nxnxnxny解：由方程可得解：由方程可得)()851 ()(31zXzzzY31851)(zzzH)3(8) 1(5)()(nnnnhFIR)(nx1z1z1z158)(ny整理ppt)() 3() 2(3) 1(3)() 2(nxnynynyny)()()331 (321z

45、XzYzzz31)1 (1)(zzH)()2)(1(21)(nunnnh解：由方程可得解：由方程可得利用利用Z变换的性质可得变换的性质可得IIR)(nx1z1z1z)(ny331整理ppt)()()()()()()(2121nmzzzzzzrzrzrzKzDzNzH0(2)(3)0.510.50.5j0.5j1jjRe(z)Im(z) 5 . 0 j5 . 0)(5 . 0 j5 . 0() 1)(5 . 0() j1)(j1()(23zzzzzzzzH系统函数可以表达为零极点增益形式，即D(z)=0的根是H(z)的极点，在z平面用 表示。N(z)=0的根是H(z)的零点，在z平面用 表示。例

46、如整理ppt)()()()()(2121nmzzzzzzrzrzrzKzHniiizzk1 1)()(111kuzkzHZkhkinii由系统函数H(z)的零极点分布，可将H(z)展开成部分分式，对每个部分分式取z反变换可得hk。如H(z)为单极点时，有整理pptH(z)hkkkkk)Re(zkkkk)Im(z11jj|rk整理ppt离散LTI系统稳定的充要条件是khk H(z)的收敛域包含单位圆则系统稳定。因果系统的极点全在单位圆内则该系统稳定。由H(z)判断系统的稳定性：整理ppt试判断下面因果LTI离散系统的稳定性该因果系统的收敛域为|z|1.5收敛域不包含单位圆，故系统不稳定。)5 .

47、 11)(5 . 01 (1)(11zzzH 从收敛域看系统的极点为z1=0.5, z2=1.5 极点z2=1.5在单位圆外，故系统不稳定。 从极点看整理ppt一因果离散系统如图所示， 求 a) H(z) b)系统稳定时k的范围。 )()() 3/()(1zXzGkzzG)()4/()()(1zGzkzGzY11)3/(1)4/(1)(zkzkzH系统稳定3k整理ppt由于由于系统稳定系统稳定时，系统函数的收敛域包含单位圆，因此时，系统函数的收敛域包含单位圆，因此系统的频率响应系统的频率响应H(ej )可由可由H(z)求出。求出。单位圆D1D2N1N2z1z2p2p1112Re(z)Im(z)

48、ejniimjjpzzzKzH11)()()(jezniimjjpzKH1j1jj)e ()e ()e (jjjNzjje)e (iDpijije)e ()()( j2121j2121e)e (nmnmDDDNNNKH用用z平面平面pi和和zj点指向点指向单位圆上单位圆上ej 点的向点的向量表示量表示 )e (jH)(整理ppt已知某因果离散LTI系统的系统函数1,112)1 ()(11zzzH试用向量法定性画出该系统的幅度响应和相位响应。 0NDRe(z)Im(z)1ej当当 =0时时 2N1D121)e (0 jDNH0) 0 () 0 () 0 (当当 = 时时 0N1D021)e (0

49、 jDNH22)()()(当当0 0整理ppt0, 1) 1zkZazzakuaZk111)2011)31zzkuZ0e11e)41jj00zzkuZk整理ppt 只要所涉及的信号是因果信号，只要所涉及的信号是因果信号，单边单边Z变换变换除了时移特性与双边除了时移特性与双边Z变换略显不同外，其它变换略显不同外，其它性质与双边性质与双边Z变换的情况是一致的。变换的情况是一致的。二二. 单边单边Z变换的性质：变换的性质：整理ppt四、单边四、单边z变换的主要性质变换的主要性质111),(xzRzzXkx222),(xzRzzXkx1.1.线性特性线性特性)()(2121zbXzaXkbxkaxz)

50、,max(21xxRRz xzRzzXkx),(整理ppt求sin(0k)uk 和cos(0k)uk 的z变换及 收敛域利用线性特性，可得|z|01jj00e11ezkuZk201100cos21cos1)cos(zzzkuk201100cos21sin)sin(zzzkuk|z|0|z|0201101000cos21sinjcos1)sin(j)cos(zzzzkukkZ将上式改写，可得整理ppt)(10nkknzkxzXzkunkxZ)(1nkknzkxzXzkunkxZxk n uk n znX(z) |z| Rx|z| Rx|z| Rx整理ppt)(1nkknzkxzXzkunkxZ

51、1)( 11xzXzkukxZ2 121xkukxZzkukxZ2 1)(12xxzzXz依此类推依此类推 可证上式成立可证上式成立)(zXz整理ppt求RNk=ukukN的z变换及收敛域利用因果序列的位移特性和线性特性，可得11111)(zzzzXN111zzN1,111zzkuZ由于RNk为有限长序列，故其收敛域为|z|0ROC扩大线性加权后序列z变换的ROC可能比原序列z变换的ROC大整理ppt)(azXkxaZkxRaROC整理ppt例：例：求ksin(0k) uk 的z变换及收敛域利用z变换的指数加权特性，可得1z201100cos21sin)sin(zzzkukz201100)/(

52、cos)/(21)/(sin)sin(zzzkukk201210cos2sinzzzaz 整理pptzzXzkkxd)(dxRROC整理ppt例：例：求xk=(k+1)akuk的z变换及收敛域利用z域微分特性，可得azazkuaZk,111kukaZkzazzd11d1azaz,)1 (121Zkkuak) 1(azazaz,)1 (211利用z变换的线性特性，可得整理ppt)()(2121zXzXkxkxROC 包含Rx1Rx22121nkxnxZkxkxZn证：21nkxZnxnnnznxzX)(12)()(21zXzX整理ppt利用z变换的卷积特性，以及1,111zzkuz0nxZkn*

53、0kukxnxkn0kuZkxZnxZkn11)(zzX可得xzRzzXkx),(设), 1max(xRz 整理ppt初值与终值初值与终值定理定理)(lim0zXxz)() 1(lim1zXzxz若(z1)X(z)的收敛域包含单位圆，则整理pptX(z) = 1/(1a z1) |z| a| 求x0， x1和 x 。)(lim0zXxz111limazz1limazzz根据位移特性有 0)( 1xzXzkukxz对上式应用初值定理，即得 0)(lim 1 xzXzxzaazazzlim当a|1时，(z1)X(z)的收敛域包含单位圆，由终值定理，有 )() 1(lim1zXzxz0) 1(lim

54、1azzzz整理ppt求以下单边周期序列单边周期序列的单边z变换。, 2, 1, 0, 12, 0, 2, 1, 0,2, 1nnknnkkx)1(0ikxkykii( (1) )( (2) )kukxN10lNkxl 若计算出x1k的z变换X1(z)，利用因果序列的和，则可求得其单边的z变换为NllNzzXkukxZ)(10NzzX1)(11z分析：分析：周期为N的单边周期序列xNkuk可以表示为第一个周期序列x1k及其位移x1klN的线性组合，即整理ppt求以下的单边z变换。, 2, 1, 0, 12, 0, 2, 1, 0,2, 1nnknnkkx)1(0ikxkykii( (1) )(

55、 (2) )(1) xk可表示为 42kkkkx利用k的Z变换及因果序列的位移特性，可得242111)(zzzzX1z(2) 将yk改写为 *) 1() 1(0kxkuikxkykkii由(1)题的结果及卷积特性，可得 )1)(1 (1)(21zzzY1z整理ppt 单边单边Z变换在将变换在将LCCDE变换为代数方程时，变换为代数方程时，可以自动将方程的初始条件引入，因而在解决可以自动将方程的初始条件引入，因而在解决增量线性系统问题时特别有用。增量线性系统问题时特别有用。三三. 利用单边利用单边Z变换分析增量线性系统：变换分析增量线性系统：( )3 (1)( ),y ny nx n( )( )

56、,x nu n( 1)1y 则则111( )3( )( 1)( )1Y zz Y zyzz11( )1 3H zz整理ppt11111( ) ( )313( )33( ) ( )131313Y zzzzH zzzzz 零状态响应零输入响应零输入响应111/49/411 3zz191( )( 3) ( )1 9( 3) ( )444nny nu nu n211 ( 3) ( )4 nu n强迫响应强迫响应自然响应自然响应整理pptzzzXkxkcd)(j211C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线。 计算方法： 幂级数展开和长除法 部分分式展开 留数计算法整理pptnnmmzazazbzbbzAz

57、BzX111101)()()(1. mn，分母多项式无重根111)(zprzXiini各部分分式的系数为ipziizXzpr)()1 (1整理pptnnmmzazazbzbbzAzBzX111101)()()(2. mn，分母多项式在z=u处有l阶重极点ililiiilniuzqzprzX)1 (1)(110111, 0,)()1 ()(dd!)(111lizXuzziuquzliiii整理pptnnmmzazazbzbbzAzBzX111101)()()(3. mn)()()(1111zAzBzkzXiinmi按(1)(2)情况展开多项式整理ppt2115 . 05 . 015 . 02)(zzzzX, 15 .05 .05 .02)(:22kxzzzzzzX求例115 . 011zBzA将X(z)化为z的负幂，可得15 . 015