数学建模(飞行管理问题)

1、飞行管理问题摘要 让飞机在某正方形区域内安全飞行，便于进行飞行管理，所以在飞机飞行过程 中，要适当调整各架飞机的方向角（调整幅度尽量小），以避免发生碰撞。本文通过对 两两飞机飞行过程最小临界距离大于 8km为入手点，以t时刻后飞机所处状态为研究对 象。通过点的向量平移，找出临界距离（8km视为界点，再通过两点距离公式列出一 元二次不等式，转化为一元二次方程根的情况，判断 t的取值。当AV0时，说明方程无实数解，即该两飞机不会碰撞。当 = >0时，说明方程有实 数解，且可以求出对应的t值，看t是否在规定区域范围内（OW t < 0.283h）。若t不在 范围内，说明两飞机在规定区域不

2、会发生碰撞， 而在区域范围外会发生碰撞（不在我们 考虑范围内）若t在所规定范围，说明两飞机会在区域范围内发生碰撞，此时应调整各 架飞机的方向角。方向角的调整虽然在 30°内有足够空间（相应的可行解就很多），但 又要求所调整的幅度尽可能小（就要求我们求出相应的最优解），故当调整一架飞机方向角后，应该对应判断该飞机与其余各飞机是否会发生碰撞。最后，我们对模型的优缺点和改进方向作了分析。关键词向量平移最短临界距离方向角 调整幅度12一、问题重述（略）二、模型假设：（1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于 8km（2）飞机飞行方向角调整的幅度不应超过 30°（3）所有飞机飞行速度

3、均为每小时 800km（4） 进入该区域的飞机在到达该区域边缘时，与区域内的距离应在60k m以上（5）最多需要考虑6架飞机（6）不必考虑飞机离开此区域后的状况（7）飞机调整方向角后，不受偏转弧度的影响（8）每架飞机在调整角度后都沿调整后的方向角飞出区域外（9）新进入的飞机在进入区域的瞬间，不考虑计算机记录时的时间间隔飞机所飞 行的距离（即该时间间隔忽略不计）（10）每架飞机都视为质点三、符号说明:i, j表示飞机编号（i,j =123,4,5,6）Xi表示第i架飞机所处位置的横坐标yi表示第j架飞机所处位置的纵坐标表示第i架飞机的初始方向角 表示第i架飞机所调整的方向角t表示各架飞机飞行过程

4、达到最短临界距离所用时间Sij 表示t时刻后第i架飞机与第j架飞机的距离（i工j ）A表示第i架飞机初始记录的点的坐标Bi表示第i架飞机经t时刻后的点的坐标a表示第Ai点经过t时刻后所平移的向量四、模型建立与求解由假设（1）,我们简单分析两架飞机的情形，最终直接运用于多架飞机的情形，题 目要求飞机间两两不碰撞。首先我们在不调整各架飞机方向角时， 按各飞机初始位点来 判断各飞机的碰撞情况，从图（一）中可以大致估算两两飞机在区域范围内的飞行情况， 从而可以初步预测和排除部分飞机的碰撞情况。每架飞机在区域范围内飞行的时间范围为 0, 0.283h，即从原点沿正方形区域对 角线飞出的飞机所用时间最大为

5、0.283h。平移向量为 ai= (vtcos ",vtsin “)，A=(Xi ,y J,B i =(Xi+vtcos E,yi+vtsin »)我们建立初始模型:mi nSjj8，或 mi n© )2 _ 64(i,j=1,2,3,4,5,6 i工 j)0< t < 0.283h问题转化为：min(Sj )2 =(債-Xj) + vt(cosq -cos®)2 +(厲一比)+ vt(sin_sin6j)2>640< t < 0.283h用上述不等式判断初始时刻两两飞机的碰撞情况，mind)2 =(-150 800t(co

6、s52o -cos220.5o)2 (-155 800t(sin52o -sin220.5o)2>64 即(-150 1100.8t)2 (-155 1149.6t)2 >64进而有：2253334082 -686616t46461 > 0因为厶>0,所以可以求出一元二次方程22533340.8t2 -686616t 46461=0 的两个根 t,=0.13h, t2=0.14hX、t 0，0.283，可知 6、3 飞机会在0.13，0.14时间范围内发生碰撞。min( S43)2 =(145 - 150) 800t(cos 159 0 - cos 220 .5

7、6;)2(50 -155)800t(si n 159° - s in 220 .5°)2 > 64即(-5 1392t)2(-105 805.6t)2>6422586655.4t-155256t10986>0因为.iv0,所以一元二次方程2586655.4t2 -155256t10986= 0无实数解，即4、3飞机不会发生碰撞。同理，可以判断，其余各架飞机按初始方向角飞行的碰撞情况如表(一)所示： (T表 示会发生碰撞，F表示不会发生碰撞)飞机编号1234561FFFFF2FFFFF3FFFFT4FFFFF5FFFFT6FFTFT表(一)从图(一)初位点可

8、以直观看出，当厶二6增大时，它与原来不发生碰撞的飞机 1、2仍 保持不碰撞，又厶机的可调范围为30o内，此时以厶6=30。，其余飞机保持原来的方向角不调整进行计算，可使得每架飞机都不发生碰撞。但要使方向角的调整幅度尽量小， 应该尽量让每架飞机都进行稍微的调整。下面我们给定:-6=5.00 0并判断出6与3、5飞机不发生碰撞，但此时6与4会发生碰撞，则我们只需对应给厶4=5.00 0就可保证6 与4不发生碰撞。从而有表(二)调整方式：飞机编号(i)123456日i0005.0005.00表(二)最终模型：2 2min( Sij) =(Xi _Xj) vt(cos(十：刁)_cos(6)-yj) vt(si nU；i)-si n()2> 64(i, j = 1,2,3,4,5,6 i = j)0< t < 0.283hX ,Tj < 30oV=800km/h五、模型的优缺点与分析优点：在调整各飞机偏转的方向角时，我们只调整少数飞机，能把问题的计算简单 化，而且借助各架飞机初始位点的运动路线，更直观地初步判断各飞机于某时刻的基本碰撞情况。缺点：调整各飞机方向角时，只调整少数飞机，使得要调整的方向角幅度较大，所 以找到的角度不能达到最优，只是可行解。假设(9)中过于理想化，与实际的情况还 有一定差距，比如，在飞机的飞行过程中