2矩阵典型习题解析

1、2矩阵矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单！知识要点解析2.1.1 矩阵的概念(3).矩阵的定义由mxn个数aj(i1,2,m;j1,2,n)组成的 m 行 n 列的矩形数表a1na2nam1am2称为mxn矩阵，记为A(aij)mn(4).特殊矩阵(1)方阵：行数与列数相等的矩阵；(2)上(

2、下)三角阵：主对角线以下(上)的元素全为零的方阵称为上(下)三角阵;(3)对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵；(4)数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；(5)单位矩阵：主对角线上元素全是 1 的对角阵，记为 E;(6)零矩阵：元素全为零的矩阵。3.矩阵的相等设A(aij)mn；B(bij)mn若aijbij(i1,2,m;j1,2,n),则称 A 与 B 相等，记为 A=R2.1.2 矩阵的运算aii1.加法(1)定义：设A(Aj)mn，B(bj)mn,则CABbj)mn(2)运算规律A+B=B+A(A+B)+C=A+(B+QA+O=AA+(-A)=0,总是 A 的负矩阵2,数与矩阵的乘

3、法(1)定义：设A(aij)mn，k为常数，则kA(kaij)mn(2)运算规律K(A+B)=KA+KB(K+LA=KA+LA(KL)A=K(LA)1 .矩阵的乘法(1)定义：设A(aij)mn,B(bij)np.则nABC(Cij)mp,其中Cijaikbkjk1(2)运算规律(AB)CA(BC);A(BC)ABAC(BC)ABACA(3)方阵的幕定义:A(aj)n,则AkAAK运算规律：AmAnAmn；(Am)nAmn(4)矩阵乘法与幕运算与数的运算不同之处。ABBAAB0,不能=t出A0或B0;(AB)kAkBk2.矩阵的转置(1)定义：设矩阵 A=(aij)mn,将 A 的行与列的元素

4、位置交换，称为矩阵的转置，记为AT(aji)nm,(2)运算规律(AT)TA;(AB)TATBT;(kA)TKAT;(AB)TBTAT0(3)对称矩阵与反对称矩阵若ATA,则称 A 为对称阵；ATA,则称A为反对称阵。3 .逆矩阵(1)定义： 设 A 为 n 阶方阵，若存在一个 n 阶方阵 B,使得 AB=BA=E 则称 A 为可逆阵，B 为 A的逆矩阵，记作BA1。(2) A 可逆的元素条件：A 可逆A0(3)可逆阵的性质若A可逆，则A-1也可逆，且(A-1)-1=A；若A可逆，kw0,则 kA 可逆，且(kA)11A1;k若 A 可逆，则AT也可逆，且(AT)1(A1)T;若A,B 均可逆

5、，则 AB 也可逆，且(AB)1B1A1。(4)伴随矩阵定义：A*(Aj)T,其中Aij为a的代数余子式，性质：一*n1i)AAAA|AE；ii)AA；n2(i)(A)AA；iv)若A可逆，则A*也可逆，且(A*)1(A1)*71AA用伴随矩阵求逆矩阵公式：A1-1-A*A2.1.3 方阵的行列式.定义： 由 n 阶方阵 A 的元素构成的 n 阶行列式(各元素的位置不变)叫做方阵 A的行列式，记为A或 detAo.性质：(DAT|A,(2)kAknA,1ABAB,(4)A1=.特殊矩阵的行列式及逆矩阵(1)单位阵 E:E1;E1E;1数量矩阵 kE:kEkn;当k0时,(kE)1-Ek(3)对

6、角阵:*12n111121n.上（下）三角阵ann若A0,则A1仍为上（下）三角阵.4 矩阵的初等变换与初等矩阵.矩阵的初等变换（1）定义：以下三种变换交换两行（列）；某行（列）乘一个不为零的常数 k；某行（列）的 k 倍加到另一行（列）上去，称为矩阵的初等变换。.初等矩阵（1）定义：将 n 阶单位阵 E 进行一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵;交换 i,j 两行（列），记为 E（i,j）；第 i 行（列）乘以不为零的常数 k 记为 E（i（k）；第 j 行的 k 倍加到第 i 行上去，记为 E（j（k）i；a11a22，则Aa11a22ann2.1(2)初等矩阵的性质初等阵是可逆阵，且逆阵仍

7、为同型的初等阵；而E(ij)1E(ij)E(i(k)1E(i1)k1E(j(k)i)1Ej(k)i(3)方阵 A 可逆与初等阵的关系若方阵 A 可逆，则存在有限个初等阵P1,P2,Pt,使AP1P2Pt,(4)初等阵的行列式E(ij)1,E(i(k)k,E(j(k)i)1(5)初等阵的作用：对矩阵 A 进行一次初等行(列)变换，相当于用相应的初等阵左(右)乘矩阵 A,且E(ij)A|A,|E(i(k)AkA,|E(j(k)i)|A3.矩阵的等价(1)定义：若矩阵 A 经过有限次初等变换变到矩阵 B,则称 A 与 B 等价,(2)A 与 B 等价的三种等价说法，A 经过一系列初等变换变到 B;存

8、在一些初等阵E1,Es,F1,Ft,使得EsE1AF1FtB存在可逆阵 P,Q,使得 PAQ=B2.1.5 分块矩阵.分块矩阵的定义以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。.分块矩阵的运算(1)设 A,B 为同型矩阵，采用相同的分法有AIAtB11B1tAA21A2tBB21B2tAB(AjBj)(i1,2,s;j1,2,t)kA(kAj)(i1,2,s;j1,2,t)(3)设A(aj)mn,B(bj)np,分块成Bti其中Aii,Ai2,Ait的列数分别等于Bij,B2j,Btj的行数,则ABC(Cij)sr,其中CjAikBkj(ii,2,3,s;ji,2,r)3.准对角阵(i)定义：形如

9、AiA 为 ni阶方阵的矩阵称为准对角阵。As(2)准对角阵的行列式及逆矩阵AAiAIAs;若每个 Ai可逆，则 A 可逆，且(3)特殊的准对角阵AAr若 Ai,A2可逆，则AA2AAJ,若 Ai,A2可逆，则AA2,、BD-illA是B0,C0,则AB|C0AiiAitBiiBir则 c=(iv)AC，B0,C2.2.1 矩阵的运算1、若 2L1L1LbL21L22L13L1B1DC*1C1C1DB1CII1经典题型解析5cc22误就是对矩阵进行行列式计算时，把（2A）2的阶数给忘记计算。3、设 A 为 33 矩阵，B 为 44,且 A1,2,贝叶 BA解：BA2g8.易错题示：本题同上，但

10、还应值得我们注意的是，在计算时|BAB|A23a2 是我们常犯的错误。k4、设 A1L2L3,B1L1L1，则ATB.k-解：ATBATBgATBATBAT(BAT)(BAT)(BAT)B11L1L16k121L1L6k12L2L233L3L31易错提示：本题关键是要求我们注意到 ATB 是矩阵，但BAT=1L1L12=63却是数,k1L1L13L3L33L3L31L0L15、设A0L1L0,求A;0L0L1解：方法一：数学归纳法.1L0L11L0L2因为A0L1L0,A2AgA0L1L0,0L0L10L0L11L0L332AAgA0L1L0,0L0L11L0Ln1一般的，设An-10L1L0

11、,0L0L11L0Ln11L0L11L0Ln则AnAn1gA0L1L00L1L00L1L01L1L1倘若先计算ATB2L2L2，然后再求2L2L2,则计算式相当繁琐的。0L0L10L0L10L0L11L0Ln所以，有3 纳法知An0L1L0。0L0L164n7A8方法二：因为 A 是初等矩阵，AEgAgAA,相当于对单位矩阵1L0L0E=0L1L0,施行了 n 次初等列变换(把第一列加到第三列)，故0L0L11L0LnAn0L1L0。0L0L1方法三：利用对角矩阵和主对角线上为零的上三角矩阵幕的特点来进行计算。0L0L1其中B0L0L0,0L0L01L0Ln故有AnEnngEn1BEnB0L1

12、L00L0L1提示：除上述方法外，本题还可以与后面的特征值联系起来计算，方法也算不少,读者只需选择一种或几种适合自己的且快捷简便的方法为宜。3L0L8_23L1L6(1)(1),2L0L则f()有根 1,-1(二重)1L0L1令A=0L1L00L0L11L0L00L1L00L0L10L0L10L0L0EB,0L0L00L0L10L0L1又因为B20L0L00L0L00L0L00L0L00L0L00L0L0,所以BkO(k2)00L0L06、设矩阵A36,求 A1002A50。解：A 的特征多项式f()EA若设g()=100250,那么所求A1002A50g(A),而 dg210010049,d

13、由代数学中的整除性质，q(),stg()=q()f()a2bc,-1=1100-2150=g(1)=q(1)f(1)abcabc,-1=(-1)1002(-1)50q(-1)f(1)abcabc,0=-100+100=dg-)(1)2ab,d解之得：a=b=0,c=-1。所以，g()=q()f()1,从而A1002A50g(A)=q(A)f(A)EE。点评：本题可谓是到综合性极强的一道题，对于解这种类型题时，读者除需要掌握牢固扎实的基础知识外，还应具备真正能够做到各知识点前后相连，融会贯通的能力。所以，我们平时学习是应该养成多动脑，勤思考，常总结得好习惯。2100，求An。00132EPBn2

14、EPn(2E)nn(2E)n1P2nn2n102n7、设AB0解：由分块矩阵知A0C，其中B2139,C0213AnBn00Cn2nn2n10002n000036n196n1_n1_n1006362.2,2 矩阵的逆（逆矩阵）及其运用解：因为 A|AA11A1,所以易错提示：切记将 2 提出时应为 2k,其中 k 为该矩阵的阶数。-12、已知矩阵 A 潴足关系式A22A3EO,求 A4E。解：因为 OA22A3EA+4EA-2E+8E-3E21A4EA-2E5EA4E-E-AE,55-121A4EEA.55思路提示：遇到有关此类问题时，我们首先应想到的是把所求问题的因式给分解出来，那么问题就会

15、变得容易多了。3、设 n 阶可逆矩阵 A1,2,n,i为 n 维列向量（i=1,2n）,为 n 维非零列向量，且与1,2,n1均正交，则 B1,2,n1,可逆。解：要证明矩阵 B 可逆，我们这里只需要证明向量组1,2,n1,线性无关即可。为此，我们令：从而An1、设 A 为三阶方阵，A 为 A 的伴随矩阵，A-1*8A1-1*(1A)18A313A1A12A123r164IAk11k22kn1n1kn0，两边同乘以QTi0,(i=1,2,-n-1)且T0knT0我们可以得出kn0,那么即得：K11k2T2kn1Tn10,又QA 是可逆矩阵,从而我们有k1=k2=kn=0,即证明了1,2,n1,

16、线性无关,同时也就说明了矩阵 B1,2,n1,是可逆矩阵思路提示：对于这某矩阵时可逆矩阵的方法也算不少，这里我们不妨预先前所熟悉的线性方程组来建立联系。这就要求我们对与矩阵与线性方程组建的关系要特别的熟悉与掌握，这对于今后解线性方程组也会只很有帮助的。事实上，对于 mn 矩阵 A,我们可以把其每一列看作一列向量(记为1,2,n),则A=(1,2,n),这就很形象的转化为线性方程组问题了，而 A=(1,2,n)可逆向量组1,2,n线性无关。4、设 A 为 n 阶实矩阵，若A+AT为正定矩阵，则 A 为可逆矩阵。证明：用反证法假设 A 为不可逆矩阵，则 n 维列向量X。0,使得AX。0,而对于X0

17、T(A+AT)X0X0TAX0X0TATX0X0T(AX0)(AX)TX0=X0T00TX00,从而我们知存在X00,使得X0T(AAT)X00,但这与 A+AT为正定矩阵相矛盾，从而假设不成立,这也就说明了 A 为可逆矩阵。k1T1k2kn1knT0,1,2,n1线性无关。点评：对于一些证明题，当我们感觉无处下手之时，不妨尝试一下反证法，很多时候反证法也未尝不是条光明道路。对于如何说明矩阵 A 是正定矩阵,我们应掌握以下几个等价定理：(1)定义法(最基本，也较常用，本题就是利用次方法来证明出矛盾来的的)；(2)来说明 A 的所有特征值全部都大于零；(3)来说明 A 的所有顺序主子式都大于零(

18、这种方法再给出具体的矩阵表达形式时较常用)；存在可逆矩阵 p,使得A=PTP；存在正交矩阵 S,使得 A=S2；1T1(6)存在正父矩阵Q,使得QAQQAQ=M00M,i0(i1,2,n)。n225、已知f(X1，x2,x3)4x23X34X1X24X1X38X2X3,写出该二次型的矩阵表达式;(2)用正交矩阵的方法把该二次型化为标准性， 并写出对应的正交矩阵解：(1)f 的矩阵表达式为022XIf(XI,X2,X3)(X1,X2,X3)244X2;243X3(2)由(1)得知该二次型的矩阵为A 的特征方程为EA222244(1)(6)(436)=0,由此可得出 A 的特征值:1,26,36,对应的特征向量为对应的单位特征向量为:2-2-2f(x1,x2,x3)y16y26y3o点评：化二次行为标准形式二次型矩阵最常见的一种题型，在研究生入学考试中也是个重要的考察知识点，但题目一般难度不大，解答事业都有固定的模式，但它却要求我们必须仔细对待，切不可有所懈怠。6、二次曲面 S 在空间直角坐标系中的方程为222x4yz4xy8xz4yz10,做直角坐标变换，把它化成标准