直线的一般式方程和点的对称问题教师版

1、直线的一般式方程知识点一 直线的一般式方程1.若方程AxByC0表示直线，则A、B应满足的条件为()AA0 BB0CA·B0 DA2B20答案D解析要使AxByC0表示直线，需A、B不同时为零(包括一个为0，另一个不为0)，显然A、B项均不满足，C项中表示A与B同时不为零，也不满足，只有D项正确2直线(2m25m2)x(m24)y5m0的倾斜角为45°，则m的值为()A2 B2 C3 D3答案D解析由已知得m240，且1，解得：m3或m2(舍去).知识点二 平行、垂直问题3.直线mx4y20与直线2x5yn0垂直，垂足为(1，p)，则n的值为()A12 B2 C0 D10答

2、案A解析由两直线垂直得2m200，m10，将(1，p)代入10x4y20得p2，将(1，2)代入2x5yn0得210n0，n12.4已知点P(x0，y0)是直线l：AxByC0外一点，则方程AxByC(Ax0By0C)0表示()A过点P且与l垂直的直线B过点P且与l平行的直线C不过点P且与l垂直的直线D不过点P且与l平行的直线答案D解析点P(x0，y0)不在直线AxByC0上，Ax0 By0C0，直线AxByC(Ax0By0C)0不经过点P.又直线AxByC(Ax0By0C)0与直线l：AxByC0平行故选D.知识点三 直线一般式方程的应用5.设直线l的方程为(m22m3)x(2m2m1)y2

3、m6，根据下列条件分别确定m的值：(1)l在x轴上的截距是3；(2)斜率是1.解(1)由题意，得由式，得m3且m1.由式，得3m24m150，得m3或m.m.(2)由题意，得由式，得m1且m.由式，得3m2m40，得m1或m.m.6求分别满足下列条件的直线l的一般式方程；(1)斜率是，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6；(2)经过两点A(1,0)，B(m,1)；(3)经过点(4，3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等解(1)设直线l的方程为yxb.令x0，得yb.令y0，得xb，6，解得b±3.直线l的方程为yx±3，化为一般式为3x4y±120.(2)当m1时，

4、直线l的方程是，即y·(x1)；当m1时，直线l的方程是x1.综上，所求直线l的方程是x(m1)y10或x10.(3)设l在x轴，y轴上的截距分别为a，b.当a0，b0时，l的方程为1.直线过(4，3)，1.又|a|b|，解得或当ab0时，直线过原点且过(4，3)，l的方程为yx.综上所述，直线l的方程为xy10或xy70或3x4y0.课堂练习：7直线xy10的倾斜角是()A150° B30° C60° D120°答案A解析直线的斜率k，故其倾斜角为150°.8直线5x2y100在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则有()Aa2，

5、b5 Ba2，b5Ca2，b5 Da2，b5答案B解析直线5x2y100可以化为截距式方程1，所以a2，b5.9两直线l1：mxyn0和l2：nxym0在同一坐标系中，则正确的图形可能是()答案B解析化一般式为斜截式，得l1：ymxn，l2：ynxm，可见两条直线的斜率、截距恰好互换，所以选B.10已知直线mxny1平行于直线4x3y50且在y轴上的截距为，则m、n的值分别为()A4和3 B4和3C4和3 D4和3答案C解析由题意得n0，于是直线可化为yx.由，得m4，n3.11已知直线(a2)x2ay10与直线3axy20垂直，则实数a的值是()A0 BC0或 D或答案C解析当a0时，两直线

6、分别为2x10，y20，此时两直线显然垂直；当a0时，两直线的斜率分别为，3a，所以·3a1，解得a.故选C.二、填空题12直线l与直线m：3xy20关于x轴对称，则这两条直线与y轴围成的三角形的面积为_答案解析由题意可得直线l：3xy20，则直线l，m与y轴围成的三角形的面积为×4×.13如果对任何实数k，直线(3k)x(12k)y15k0都过一个定点A，那么点A的坐标是_答案(1,2)解析解法一：取k3，方程为7y140，y2；取k0.5，方程为3.5x3.50，x1.所以点A的坐标是(1,2)；将点A的坐标代入方程得(3k)2(12k)15k0，所以直线恒经

7、过点A.解法二：将k当作未知数，则方程可写成(x2y5)k3xy10.因为对于任意k值，等式成立，所以x2y50,3xy10，解得x1，y2，所以点A的坐标是(1,2)14已知直线l与直线3x4y70平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线l的方程为_答案3x4y±240解析设l：3x4ym0(m7)，令y0得x；令x0得y.直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为24，××24，m±24.直线l的方程为3x4y±240.三、解答题15求满足下列条件的直线方程(1)经过点A(1，3)，且斜率等于直线3x8y10斜率的2倍；(2)过点M(

8、0,4)，且与两坐标轴围成三角形的周长为12.解(1)因为3x8y10可化为yx，所以直线3x8y10的斜率为，则所求直线的斜率k2×.又直线经过点(1，3)，因此所求直线的方程为y3(x1)，即3x4y150.(2)设直线与x轴的交点为(a,0)，因为点M(0,4)在y轴上，所以由题意有4|a|12，解得a±3，所以所求直线的方程为1或1，即4x3y120或4x3y120.16(1)已知直线l1：2x(m1)y40与直线l2：mx3y20平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a2)x(1a)y10与直线l2：(a1)x(2a3)y20互相垂直？解(1)由l1：2

9、x(m1)y40，l2：mx3y20知：当m0时，显然l1与l2不平行当m0时，l1l2，需.解得m2或m3，m的值为2或3.(2)由题意知，直线l1l2.若1a0，即a1时，直线l1：3x10与直线l2：5y20显然垂直若2a30，即a时，直线l1：x5y20与直线l2：5x40不垂直若1a0，且2a30，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1，k2.当l1l2时，k1·k21，即·1，a1.综上可知，当a1或a1时，直线l1l2.对称问题点关于点对称17.若直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点()A(0,4) B(0,2)C(2

10、,4) D(4，2)答案B解析直线l1：yk(x4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)又直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2)18已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(2，3)，则点P(x，y)到原点的距离是()A4 B. C. D.答案D解析由题意知解得d.点关于线对称19点P(2,5)关于直线xy0的对称点的坐标是()A(5,2) B(2，5)C(5，2) D(2，5)答案C解析解法一：设P(2,5)和Q(m，n)关于直线yx对称，则PQ的中点R在直线yx上，且kPQ×(1)1.解得对称点Q的坐标是(

11、5，2)20.求点P(4,2)关于直线l：2xy10的对称点P的坐标解解法一：设点P(x，y)，由PPl及PP的中点在l上得方程组即解得P.解法二：设点P(x，y)，PPl于M，PP的方程为(x4)2(y2)0，即x2y0，解方程组得PP与l的交点M，由中点坐标公式得得故P.距离最短问题21已知A(1,6)，B(5,2)，点P在x轴上，则使|AP|BP|取得最小值时点P的坐标为_答案(4.0)解析A(1,6)关于x轴的对称点为A(1，6)，则|PA|PA|，当P点为AB与x轴的交点时，|PA|PB|取得最小值，又AB的方程为，即2xy80，令y0，得x4，P(4,0)22.某地A，B两村在一直

12、角坐标系下的位置分别为A(1,2)，B(4,0)，一条河所在直线的方程为l：x2y100.若在河边l上建一座供水站P，使分别到A，B两镇的管道之和最省，问供水站P应建在什么地方？解如图，作点A关于直线l的对称点A，连接AB交l于P，因为若P(异于P)在直线l上，则：|AP|BP|AP|BP|>|AB|，因此供水站只能建在P处，才能使得所用管道最省设A(a，b)，则AA的中点在l上，且AAl，即解之得即A(3,6)所以直线AB的方程为6xy240.解方程组得所以点P的坐标为.故供水站P应建在P处反射问题23如图所示，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是()A2