平行四边形典型例题

1、平行四边形典型例题1.已知如图12-M9,所示口ABCD的对角线AC、BD相交于点6 OE ± AD于E, OF丄 BC 于 F.图 12-1 -19求证：四边形AECF是平行四边形错证：在AAOE和ZkCOF中VOE丄 AD, OF丄BC A ZAEO=ZCFO=90°.四边形ABCD为平行四边形OA = OC, AD/BC ZEAC=ZACF AOE9 ACOF (AAS):. OF=OE.四边形AECF是平行四边形错误分析：上而证明由0F=OE, OA=OC不能说明EF与AC互相平分，因为原题设中没有说明E、O、F 三点共线，因此先证E. O、F三点共线.正确证明：在

2、ZkAOE和ZkCOF中VOE丄AD OF丄BCZAEO = ZCFO=90°.四边形ABCD为平行四边形OA=OC, AD/BC ZEAC=ZACF AOE9 ACOF (AAS):. OF= OE又ADBC, OE丄AD, OF丄BC.E、O、F三点共线四边形AECF是平行四边形2. 如图12-1-22所示，现有一块等腰直角三角形的铁板，通过切割焊接成一个含有45°角的平行四边形, 请你设计一种最简单的方案，并证明你的方案确实得到的是一个符合条件的平行四边形.D B图 12-1 -22分析：运用三角形全等，平行四边形的识别方法来解答，在证明时不要忽略证明F, E, D共

3、线.解：取AC、BC的中点E、D连结ED,则沿ED切割下来，如图使点E不变，点C与点A重合，再焊接 上去最简单.证明：在 RtAABC 中 VAC=BC A ZB=45°又TE、D分别为AC、BC的中点A EC = DC ZCED=ZCDE=45° ZAEF= ZCED=45° :. ZAEF+ ZAED= ZCED+ ZAED = 180°F、E、D 在一条直线上 VZEAF=ZC=90° :.AF/CD又VAF=CD=DB 四边形AFDB是平行四边形，且ZB=45°3. 如图12-1-23,在口ABCD的对角线上取两点E、F,且B

4、F=DE,请至少用两种不同的方法证明四边形 AECF是平行四边形，并指出哪种方法最简便.B9 12-1 - 23分析：可证两组对边分别相等，也可证对角线互相平分.证明方法（一）在厶ABF 和厶CDE 中，AB=CD, BF=DE, ZABF=ZCDE./.AABFACDE af=ce同理可证AE=CF,故四边形AECF是平行四边形方法（二）连AC交BD于O在ZjABCD 中，OA=OC, OB=ODVBF=DE OE=OF二四边形AECF为平行四边形4. 如果一块木板两边是线段，把两把曲尺的一边紧靠木板边缘，再看木板另一边缘对曲尺另一边上的刻 度是否相等，就可以判断木板的两个边缘是否平行，这是

5、为什么？分析：这是一道生活实践题，运用数学知识来解决和分析一些生活实践问题，此题就是运用平行四边形的 识别方法来判断两边是否平行.解：如果曲尺的刻度相等，则木板的两个边缘就平行，因为，两把曲尺与木板的两个边缘构成一个四边形, 当曲尺的刻度相等，则四边形中就有一组对边平行且相等，所以四边形为平行四边形，则木板的两边缘平 行.如果曲尺的刻度不相等，则木板的两个边缘就不平行，因为曲尺与木板边缘构成的四边形不是平行四边形.5. 已知如图12-1-4所示，口ABCD中，AB的延长线上取一点E,使BE=AB,在CE上取一点M使CM =CD,连结DM并延长交AE的延长线于点F求证:BD=BF图 12-1-4

6、分析：由于BD, 8卩是厶BDF的两边，所以要证BD = BF,可由证ABDF中ZBDF=ZF入手，易知ZF =ZCDM=ZCMD= ZEMF,故只要证BDCE,由此由证法一又注意到BF=BE+EF,易知BE = AB = CD=CM, EF=EM,故BF=CE,从而只要证BD=CE,由此有证法二.证法（一）：四边形ABCD为平行四边形.ABTTcD又TE点在AB延长线上，且BE=AB AABTFcD四边形 BECD 是平行四形BDCE Z. ZBDF=ZEMFI ZEMF= ZCMD ZBDF= ZCMD又 VCM=CD ZCMD=ZCDM :. ZBDF=ZCDMAFCD AZCDM =

7、ZF Z.BDF=ZF即 BD = BF证法（二）：四边形ABCD为平行四边形/.ABTTcD又TE点在AB延长线上且BE=AB ABETTcD四边形BECD是平行四边形BD=CE, BE=CD又 T ZEMF=ZCMD, CD=CM ZCMD=ZCDMA ZEMF=ZCDM VBE/7CD .ZF=ZEMF AEF=EM.-.BF=BE+EF=CD+EM=CM+EM=CE=BD即 BF=BD习题精选一、填空题1. 过6BCD的顶点A、C分别作对角线BD的垂直线，垂足为E、F,贝9四边形AECF是.2. 延长厶佔。的中线AD到E,使DE=AD则四边形ABEC是四边形.3. 在四边形ABCD中Z

8、A=50°欲使四边形为平行四边形，则ZB二, ZC=, ZD4. 在四边形中，任意相邻两个内角互补，则这个四边形是四边形.5. 如图12-1-29,在6BCD中，E、F为AB、CD的中点，连结DE、EF、BF则图中共有个平行四边形.6.在6BCD中连结BD作AE丄BD, CF丄BD,垂足分别为E、F,连结CE、AF,点P、Q在 线段 BDjt,且 BP=DQ,连结 AP、CP、AQ、CQ, MN 分别交 AB、CD 于 M、N 连结 AM、CM、NA、 NC,那么图中平行四边形（除6BCD外）有个，它们是.二、判断题1. 平行四边形的对边分别相等（）2. 平行四边形的对角线相等（）3

9、. 平行四边形的邻角互补（）5. 平行四边形的对角线互相平分一组对角（）6. 对角线平分平行四边形的四个三角形的面积相等（三、选择题1. 能判断四边形是平行四边形的条件是（）A. 一组对边平行,B. 一组对边平行,C. 一组对边平行,D. 一组对边相等,另一组对边相等一组对角相等一组邻角互补一组邻角相等2. 能确定平行四边形的大小和形状的条件是（）A. 已知平行四边形的两邻边B. 已知平行四边形的两邻角C. 已知平形四边形的两对角线D. 已知平行四边形的两边及夹角3.平行四边形一边为32,则它的两条对角线长不可能为A. 20 和1840 和 50( )B.D.直线EF过0点且平行于BC,B.两

10、条对角线互相C. 60 和3032 和 504. 如图12-1-30所示，已知OkBCD的对角线的交点是0, 直线GH过0且平行AB,则图中有（）个平行四边形.A- 5个B. 6个C7个D10个5. 能判定四边形为平行四边形的是（）A. 一组对角相等垂直D. 一C.两条对角线互相平分 对邻角互补6. 以下结论正确的是（）A. 对角线相等，且一组对角也相等的四边形是平行四边形.B. 一边长为5,两条对角线分别是4和6的四边形是平行四边形.C. 一组对边平行，且一组对角相等的四边形是平行四边形.D. 对角线相等的四边形是平行四边形.7. 在OkBCD中，点E、F分别在边BC、AD上，如果点E, F

11、分别由下列各种情况得到的,那么四边形AECF不一定是平行四边形的是（）A. AE、CF 分别平分ZDABx ZBCDB. AE, CF 使ZBEA=ZCFDC. E、F分别是BC、AD的中点32D. BE=5BC, AF= 5 AD8. 6BCD对角线交点为0, A0BC的周长为59cm,且AD=28cm，两对角线之差为14cm,则对角线长为（）A. 12cm 和9cmB. 24cm 和 38cmC. 8. 5cm 和22. 5cmD. 15. 5cm 和 29. 5cm四、解答题1.如图12-1-31所示,在HABCD中，AE平分ZBAD, CF平分ZBCD,四边形AECF是平 行四边形吗？

12、09 12 -1 -312.如图12-1-32所示，四边形ABCD中ZB=ZD, Z1 = Z2,则四边形ABCD是平行四边 形吗？为什么？912-1 -323.如图12-1-33所示，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点0, E、F分别是0D、0B 上一点，若ZECD=ZFAB, EC=AF,则四边形AECF是平行四边形吗？为什么？4.如图12-1-34所示, ABCD是平行四边形.四边形ABCD中AB二CD, ZDBC = 90° , FD±AD于D,求证四边形5如图12-1-35所示,A ABC中DE在BC边上，、M在AB、AC±,且E与DM互相平 分，

13、MDAB, NE/AC 求证：BD=DE=CE图 12-1 -35五、证明题1.已知：如图12-1-18,在DABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE二DF.求证：(1) AE=CF(2) AE/CF2-已知：如图12-1-19, 且 DE=BF,求证 AE=CF四边形ABCD为平行四边形，E、F是直线BD延长线上的两点,参考答案一、填空题1. 平行四边形点拨：由一组对边平行且相等，即可判断2. 平行四边形3. 130° , 50° , 130°4. 平行四边形点拨：由题意可得两组对边分别平行5. 4 个 点拨： 6BCD, 口DFE, DEFCB, ZjE

14、DFB6. 3 个口AECF, 口APCQ,二、判断题1. V2. X点拨：对角线不一定相等，但互相平分3. V4. J5. X点拨：对角线不平分一组对角，只是自己互相平分 6. J三、选择题1. B 2. D 3. A 4. D 5. C 6. C 7. B 8. B四、解答题1. 解：四边形AECF是平行四边形点拨：由6BCD 知ZBCD=ZBAD, 乂 AE 平分ZBAD, CF 平分ZBCD,故ZEAF=ZECF, 乂ZAFEC,故ZAEC+ZEAF=18O° ,即ZAEC+ZECF=180° ,所以 AECF,故四边形 AECF 是平行四边形.2. 解：四边形AB

15、CD是平行四边形由Z1 = Z2 得 DCAB,所以ZD+ZDAB=180° , 乂ZB=ZD,所以ZDAB+ZB = 180° , 所以ADBC,即四边形ABCD为平行四边形.3. 解：是平行四边形点拨：AB/CD,故 ZACD=ZCAB, 乂 ZECD=ZFAB,故 ZACD-ZECD= ZCAB-ZFAB,即 ZACE=ZCAF,所以CE二AF, CE=AF,故AFCE是平行四边形.4. 证明：TBD丄ADZBDA二90°V ZDBC = 90° , DC=AB, DB=DBAAADBACBD AAD=BC四边形ABCD是平行四边形5证明:VNE, MD互相平分四边形MNDE为平行四边形MNDE乂 J MD AB, NE AC四边形 MNBD、T MN=BD, MN=CEBD二DE=CE五、证明题1-证明：四边形ABCD为平行四边形z.abILdc A ZABE= ZCDF在ZXABE 和 ZkCDF 中AB=D