《3.1空间向量及其运算-3.1.5空间向量的数量积》导学案1

1、空间向量的数量积导学案1教学过程一、问题情境1平面向量数量积(内积)的定义已知两个非零向量a和b,它们的夹角是0,我们把数量|a|b|cos叫臓向量a和 b的数量积(内积)，记作 a b, 即卩 a b=|a|b|cos 0.规定:零向量与任一向量的数量积为零2两个向量的夹角对于两个非零向量a和b,则/ AOB=0(O° 0180°)叫做向量a与b的夹角（图1）当0=。时，a与b同向；当0=80°时，a与b反向；当0=90°时，a与b垂直，记作a丄b.3向量数量积的运算律设向量a, b, c和实数人向量的数量积满足下列运算律：(1) a b=b a；(2

2、) (扫)b=a ( %)= Xa b);(3) (a+b) c=a c+b c.4向量数量积的几何意义数量积a b等于a的长度与b在a方向上的投影|b|cos的乘积问题1我们已经学过了平面向量夹角的定义和平面向量数量积的定义，那么类比平面向量知识，空间向量的夹角和数量积又是怎么定义的？3二、数学建构问题2任意两个空间向量都是共面向量吗？解 是的由于此性质，两个空间向量的夹角以及它们的数量积就可以像平面向量那样来定义问题3类比平面向量夹角的定义，如何定义空间向量的夹角及其表示？解 如图，已知两个非零向量 a, b，在空间任取一点 O,作a =b，则/ AOB叫做向量a与b的夹角，记作<a

3、 , b> ；范围:0«a, b> Wn在这种规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且有 <a, b>=<b , a>.（图2）问题4类比平面向量数量积的定义，空间向量的数量积是怎样定义的？解 已知a，b是空间两个非零向量，则|a| |b| cos<a，b>叫做向量a，b的数量积，记作 a b，即 a b=|a| |b| cos<a, b>.规定：0向量与任何向量的数量积为0.概念理解两个向量的数量积是数量，而不是向量，符号由cos 的符号所决定.由空间向量数量积定义可知，空间两个非零向量a b的夹角<a , b&g

4、t;可以由cos<a, b>求得问题5空间向量数量积有哪些性质？解(1)a丄b? a b=0(a, b是两个非零向量)；2 2(2)|a| =a a=a .性质理解性质(1)是证明两向量垂直的依据；性质(2)是求向量的长度(模)的依据问题6空间向量数量积运算律是什么？如何验证？解交换律:a b=b a.证明设a, b的夹角为 0,则a b=|a| |b| cos 0, b a=|b| |a| cos 0,所以a b=b a.(2) 与实数相乘的结合律:(入)b=入(a b)=a -(入b入 R).证明 若入>,(入ab=X |a|b|cos , 0Xa b)=入 |a|b|c

5、os ,0a ( X b 入 |a|b|cos ;0若入 <,(X ) b=| X a|b|cosn0=- X |a|b|(-cos 0= X |a|b|cos , 0Xa b)= X |a|b|cos ,0a ( X b|a| X b|gs0=- X |a|b(-cos 0= X |a|b|cos ,0所以(X ) b=X(a b)=a ( X b(3) 分配律:a (b+c)=a b+a c.问题7数量积不满足结合律(a b) c旳(b c),为什么？问题8 0 a是零向量吗？ Oa是零向量吗？解 0 a表示零向量与向量a的数量积，它的值为0，而不是零向量；0a表示实数0与向量 a的

6、积，其结果是零向量.数学运用探学习探究探究任务一：空间向量的数量积定义和性质问题：在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何量，能否用向量的知识解决空间两条直线的夹角和空间线段的长度问题？新知：1）两个向量的夹角的定义：已知两非零向量a,b，在空间一点o,作1，则.AOB叫做向量a与b的夹角，记作 .试试： 范围：G：a,b：±, a,b =0 时,a与 b; a,b =n时，a与 b：.a,b =：.b,a .成立吗？ ：:a,b = _，则称a与b互相垂直，记作 .2）向量的数量积：已知向量a,b，则叫做a,b的数量积，记作a b，即a b二.规定:零向量与任意向量的数量积等于零.反

7、思： 两个向量的数量积是数量还是向量？ o.a=（选o还是o）你能说出a b的几何意义吗？3）空间向量数量积的性质：（1）设单位向量 e，则 a e =icos ：a,e. .（2） a I ba b =.（3） a =.4）空间向量数量积运算律：（1）（孑）b = （才 b） =2 （ b'） . （ 2） a b = b 2 （交换律）.（3） a （b c） = a b a c （分配律）反思：（a b） c =a （b c）吗？举例说明.若a b a c，则b =c吗？举例说明.若a b = 0，贝U a = 0或b = 0吗？为什么？探典型例题例1用向量方法证明：在平面上的一

8、条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那 么它也和这条斜线垂直变式：如图，在正三棱柱所成的角为（）A. 60 ° B. 90 ° C.例3如图，在平行四边形ABCD-A 1B1 C1 D1 中,变式1用向量方法证明：已知： m, n是平面:-内的两条相交直 线，直线I与平面:-的交点为B，且I _m,l _ n .求证：I |例2如图，在空间四边形 ABCD中，AB=2，BC=3，.ABC =60，求AB与CD的夹角的余弦值+ABC-A1 B1C 1 中，右 AB= . 2 BB 1 ,则 AB 1 与 C1 B105 ° D. 75 °AB =4

9、, AD =3,AA =5,/BAD =90，也 BAA =/DAA=60。，求 AC'的长.探动手试试练 1.已知向量 a,b 满足 a =1 , b=2 , a+b=3，贝V a-b =.练2.已知 a=2£,o =乎 ,a b =2，则a与b的夹角大小为三、总结提升仁向量的数量积的定义和几何意义2. 向量的数量积的性质和运算律的运用.探知识拓展向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题，求两条直线的夹角和线段长度的新方法 学习评价探自我评价 你完成本节导学案的情况为（）A很好B.较好 C. 一般 D.较差（时量:5分钟满分：10分）计分:1.下列命题中：若b =c(a *

10、b) *c =aab二0 ,贝V a， b中至少一个为0若a = 0且a二ac，贝y*(b *c)(3a+2b) (3a2b) =9 a -4l呻 2,4,2果AB =正确有个数为（A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个H H兀T *2. 已知ei和e2是两个单位向量，夹角为 ，则下面向量中与 2狂垂直的是（）3* T“斗-tHA. e1 e2B. e -仓 C. e D. e?3. 已知 ABC 中，.A,. B,. C 所对的边为 a,b,c，且 a =3,b =1,. C =30 ,则 BC *CA = _呻44444 呻4. 已知a =4 , b =2，且a和b不共线，当 a+Xb与a