第五章动态电路的时域分析

1、Basic Circuit Theory1第五章第五章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析Basic Circuit Theory25.1 动动 态态 元元 件件 动态电路动态电路：电路方程为微分方程的电路。：电路方程为微分方程的电路。动态电路至少包含一个动态元件。动态电路至少包含一个动态元件。动态元件动态元件：元件的电压、电流关系涉及对：元件的电压、电流关系涉及对电流、电压的微分或积分（电容元件、电感电流、电压的微分或积分（电容元件、电感元件等）。元件等）。 动态电路在任一时刻的响应与激励的全部动态电路在任一时刻的响应与激励的全部过去历史有关（具有记忆性）。任何一个集过去历史有关（具有记忆

2、性）。任何一个集总电路不是电阻电路就是动态电路。总电路不是电阻电路就是动态电路。Basic Circuit Theory35.1.1 电容元件电容元件 电容器是一种能储存电荷的器件，电容元电容器是一种能储存电荷的器件，电容元件是电容器的理想化模型。件是电容器的理想化模型。 一个二端元件，如果在任一时刻一个二端元件，如果在任一时刻t，它的电，它的电荷荷q(t)同它的端电压同它的端电压u(t)之间的关系可以用之间的关系可以用u- q平面上的一条曲线来确定，则此二端元件称为平面上的一条曲线来确定，则此二端元件称为电容元件电容元件。Basic Circuit Theory4qCu1uqC或或 1. 特

3、性方程为特性方程为 C是与电荷和电压无关的电路参数。是与电荷和电压无关的电路参数。电路符号及其特性曲线电路符号及其特性曲线 2. 伏安关系伏安关系 (电流电流i和电容电压和电容电压u取一致参考方向取一致参考方向 )dqduiCdtdtBasic Circuit Theory5q如果电压、电流的参考方向不一致，则有如果电压、电流的参考方向不一致，则有du ti tCdt ( )( )q电容的电容的VCR也可以表达为也可以表达为00000111tttttu tididCCu tidttC( )( )( ) ( )( ) ()说明已知初始时刻说明已知初始时刻t0开始作用的电流开始作用的电流i( t

4、)及电及电容的初始电压容的初始电压u( t0 ) ，就能确定，就能确定t t0时的电容时的电容电压。电压。Basic Circuit Theory6例：例：u(t)波形如图，波形如图，求求i(t)。du ti tCdt( )( )解：由于是关联参考解：由于是关联参考方向，应用如下公式方向，应用如下公式即可。即可。4 (00.25s)1 (0.25s0.5s)( )41 (0.5s0.75s)88 (0.75s1s)tttu ttttt Basic Circuit Theory7解：由于是关联参考解：由于是关联参考方向，应用如下公式方向，应用如下公式即可。即可。010tu tuidC( )( )

5、( )取零例：例：i(t)波形如图，求波形如图，求u(t)。设。设u(0) =0。2 (00.5s)( )21 (0.5s1s)tti ttt Basic Circuit Theory8例：已知例：已知g1S，求图示电路的口特性。，求图示电路的口特性。解：解：对回转器，有对回转器，有1221iguigu u1与i1之间的关系？得到得到22111121()iduuCggdtiddidiCCgCgdtgdtdt Basic Circuit Theory93. 电容电压的连续性质和记忆性质电容电压的连续性质和记忆性质电容的电容的VCR00000111tttttu tididCCu tidttC( )

6、( )( ) ( )( ) () 反映出电容电压的两个重要性质，即电容反映出电容电压的两个重要性质，即电容的连续性质（电容电压不能跃变）和记忆性质的连续性质（电容电压不能跃变）和记忆性质（电容电压取决于电流的全部历史）。（电容电压取决于电流的全部历史）。Basic Circuit Theory10电容电压的连续性质：电容电压的连续性质： 若电容电流若电容电流i(t)在闭区间在闭区间ta，tb内为有界内为有界的，则电容电压的，则电容电压uC (t)在开区间在开区间(ta，tb)内为连续内为连续的。对任何时刻的。对任何时刻t (ta，tb) ，有，有 uC (t+)= uC (t-)证明：证明：1

7、t dtCCabtutdtutidtt tC()( )( ) ( , )0lim()( )0CCdtutdtut有界Basic Circuit Theory11电容电压的记忆性质：电容电压的记忆性质： 初始电压初始电压uC (t0)对对tt0时的电容电流有记忆时的电容电流有记忆作用，即不必过问作用，即不必过问tt0时电流的具体情况，就时电流的具体情况，就能求解能求解t t0 的电容电压的电容电压uC (t)。显然，电容的。显然，电容的初始电压是一个必备的条件。初始电压是一个必备的条件。0001tCCtututidttC( )( )( ) Basic Circuit Theory12说明一个已充

8、电电容，若已知初始电压说明一个已充电电容，若已知初始电压uC (t0)，则在则在t t0时等效为一个未充电电容与电压源串时等效为一个未充电电容与电压源串联的电路。联的电路。00010101( )( )( ) ( )( ) ( ) tCCtCututidCutu tUu tttBasic Circuit Theory130001011( )( )( )( )41 230.50.75 (V)4ttCtutidididCddt解：解： (1)例：例：C=4F，i(t)波形如图，求波形如图，求（1）uC(t)，t0；（；（2） uC(0)、 uC(1) 、uC(-0.5)；（；（3） t0 电容的等效

9、电路。电容的等效电路。(2)0.50.51(0)0.5V(1)(0.50.75)V1.25V11( 0.5)( )20.25V4CCCuuuiddC(3)Basic Circuit Theory144 .电容的储电容的储能能电容是一种储能元件，其瞬时功率为电容是一种储能元件，其瞬时功率为( ) ( )dwpu t i tdtu、i采用关联的参考方向，p为正，电容消耗或吸收功率；为负，则提供或释放功率。在在t1到到t2期间电容的能量变化（充期间电容的能量变化（充/放电）为放电）为221122112112()( )()22221( )( , )( )( ) ( )( ) ( )11 ( )( )2

10、2ttCtttu ttu tu tu twt tpduidduCudCududCuC u tu tBasic Circuit Theory15讨论：讨论：q在在t1到到t2期间电容的能量变化，只期间电容的能量变化，只u(t1)与与u(t2)有关，与此期间的其他电压值无关。有关，与此期间的其他电压值无关。222111( )( )()( )222Cw tCu tCuCu t q电容在电容在t时刻的储能为时刻的储能为q电容的储能本质反映了电容电压具有记忆电电容的储能本质反映了电容电压具有记忆电流的性质。流的性质。q在电容电流有界的条件下，储能不能跃变，在电容电流有界的条件下，储能不能跃变，从而使电容

11、电压具有连续的性质。从而使电容电压具有连续的性质。Basic Circuit Theory165. 电容的串、并联电容的串、并联11012202001(0)( )1(0)( )1(0)( )1(0)()( )tttnnntiiiiiiuuidCuuidCuuidCuuuidCBasic Circuit Theory17n个电容串联的等效电容满足：个电容串联的等效电容满足：12121111(0)(0)(0)(0)SeqnnCCCCuuuu不难推出，不难推出，n个电容并联的等效电容满足：个电容并联的等效电容满足：12PeqnCCCC串联电路的分压关系、并联电路的分流关系串联电路的分压关系、并联电路

12、的分流关系11111/ 1/SeqPeqCCuuiiCCBasic Circuit Theory18习题：5.3 5.6 5.7Basic Circuit Theory195.1.2 电感元件电感元件 电感器是一种能储存磁场能量的器件电感器是一种能储存磁场能量的器件,电感元件是电感元件是电感器的理想化模型（自感元件）。电感器的理想化模型（自感元件）。 一个二端元件，如果在任一时刻一个二端元件，如果在任一时刻t，它的电流，它的电流i(t)同同它的磁链它的磁链 (t)之间的关系可以用之间的关系可以用i- 平面上的一条曲线平面上的一条曲线来确定，则此二端元件称为来确定，则此二端元件称为电感元件电感元

13、件。右手螺旋法则Basic Circuit Theory201. 特性方程特性方程Li或或 1iLL是与磁通和电流无关的电路参数。是与磁通和电流无关的电路参数。2. 伏安关系伏安关系ddiuLdtdt电流电流i和电压和电压u取一致参考方向取一致参考方向 Basic Circuit Theory21讨论：讨论：q如果电压、电流的参考方向不一致，则有如果电压、电流的参考方向不一致，则有q电感的电感的VCR也可以表达为也可以表达为00000111ttttti tududLLi tudttL( )( )( ) ( )( ) ()说明已知初始时刻说明已知初始时刻t0开始作用的电压开始作用的电压u( t

14、)及及电感的初始电流电感的初始电流i( t0 ) ，就能确定，就能确定t t0时的电时的电感电流。感电流。di tu tLdt ( )( )Basic Circuit Theory223. 电容和电感的对偶性电容和电感的对偶性 状态变量状态变量00000111ttttti tududLLi tudttL( )( )( ) ( )( ) ()00000111tttttu tididCCu tidttC( )( )( ) ( )( ) ()电感的VCR电容的VCRBasic Circuit Theory23从上式可以看出如下对应关系：从上式可以看出如下对应关系： 电容电流电容电流 电感电压电感电压

15、 电容电压电容电压 电感电流电感电流 根据对偶性，不难得出电感（与电容对应）根据对偶性，不难得出电感（与电容对应）的性质。的性质。q电感电流的连续性质：电感电流的连续性质： 若电感电压若电感电压u(t)在闭区间在闭区间ta，tb内为有界内为有界的，则电感电流的，则电感电流iL (t)在开区间在开区间(ta，tb)内为连续内为连续的。对任何时刻的。对任何时刻t (ta，tb) ，有，有 iL (t+)= iL (t-)Basic Circuit Theory24q电感电流的记忆性质：电感电流的记忆性质： 初始电流初始电流iL (t0)对对tt0时的电感电压有记忆时的电感电压有记忆作用，即不必过问

16、作用，即不必过问tt0时电压的具体情况，就时电压的具体情况，就能求解能求解t t0 的电感电流的电感电流iL (t)。显然，电感的初。显然，电感的初始电流是一个必备的条件。始电流是一个必备的条件。0001tLLti ti tudttL( )( )( ) ()Basic Circuit Theory25 说明一个具有初始电流的电感，若已知说明一个具有初始电流的电感，若已知初始电流初始电流iL (t0)，则在，则在t t0时等效为一个初始时等效为一个初始电流为零的电感与电流源并联的电路。电流为零的电感与电流源并联的电路。00010101( )( )( ) ( )( )( ) tLLtLi ti t

17、udLi ti tIi tttBasic Circuit Theory26q电感也是一种储能元件，在电感也是一种储能元件，在t时刻的储能为时刻的储能为21( )( )2Lw tLi tq对电容，对电容， uC (t)是是状态变量状态变量；对电感，；对电感， iL (t)是是状态变量。状态变量。 在电路及系统理论中，状态变量是指在电路及系统理论中，状态变量是指一组最少的变量，若已知它们在一组最少的变量，若已知它们在t0时的初始时的初始值和值和t t0时的输入，则能确定在时的输入，则能确定在t t0时电时电路中的任何电路变量。路中的任何电路变量。Basic Circuit Theory274. 电

18、感的串、并联电感的串、并联1212(0)(0)(0)(0)kkkkkkSeqnndidiuuLLdtdtLLLLiiiiBasic Circuit Theory28与上述推导类似，可得并联电感的等效公式与上述推导类似，可得并联电感的等效公式12121111(0)(0)(0)(0)PeqnnLLLLiiii串联电路的分压关系、并联电路的分流关系串联电路的分压关系、并联电路的分流关系11111/ 1/SeqPeqLLuuiiLLBasic Circuit Theory29讨论：讨论：q串联电路的分压关系串联电路的分压关系11111/ 1/SeqSeqLCuuuuLCq并联电路的分流关系并联电路的分

19、流关系11111/ 1/PeqPeqLCiiiiLCBasic Circuit Theory30习题：5.1 5.11 5.12Basic Circuit Theory315.1.3耦合电感元件耦合电感元件 其参考方向与两线圈的绕向有关1. 基本概念基本概念111121 112 22212221 12 2LiM iM iL i 11211122121222ddidiuLMdtdtdtMMddidiuMLdtdtdt Basic Circuit Theory3212diuMdt12diuMdt 同名端同名端：约定当两个线圈的电流产生的自感磁链和：约定当两个线圈的电流产生的自感磁链和互感磁链的方向

20、相同，亦即两者相互加强时，流入互感磁链的方向相同，亦即两者相互加强时，流入（或流出）电流的两个端钮用（或流出）电流的两个端钮用“”号标出。标有号标出。标有“”的端钮称为同名端。的端钮称为同名端。Basic Circuit Theory33例：确定开关打开时，例：确定开关打开时，22间电压的实际极性。间电压的实际极性。12diuMdt1200diudt例：确定同名端。例：确定同名端。解：如电压表正向偏转，则端钮解：如电压表正向偏转，则端钮1和端钮和端钮2为同名端；为同名端；如电压表反向偏转，则端钮如电压表反向偏转，则端钮1和端钮和端钮2为同名端。为同名端。 Basic Circuit Theor

21、y342. 耦合系数耦合系数k由自感、互感的定义由自感、互感的定义111111 1222222 2212211121122NLiNL iNMiNMi11122212121212121 2222111212NNNNL LiiiiNNMii 21111222 当当 ，即每一线圈产生的磁通全部与另，即每一线圈产生的磁通全部与另一线圈相交链，这种耦合称为全耦合，此时，互感最大一线圈相交链，这种耦合称为全耦合，此时，互感最大21111222 ,12ML Lmax定义：耦合系数定义：耦合系数k为为12MMkML LmaxBasic Circuit Theory353. 耦合电感的储能耦合电感的储能1 12

22、 212211122221 12 21 21122pu iu ididididiLMiLMidtdtdtdtdLiL iMiidt ()() 221 12 21 21122wLiL iMii当同名端与电流（电压）参考方向不一致时，取负Basic Circuit Theory36（1）顺接）顺接12122didididiu tLMLMdtdtdtdtdiLLMdt( ) ()122LLLMe4. 耦合电感的串联耦合电感的串联Basic Circuit Theory37（2）反接）反接12122didididiu tLMLMdtdtdtdtdiLLMdt( ) ()122LLLMeBasic Ci

23、rcuit Theory38习题：5.14 5.15 5.16Basic Circuit Theory395.2 动态电路方程动态电路方程 对一个电路，如果其电路方程为微分方程或对一个电路，如果其电路方程为微分方程或积分方程，则该电路称为动态电路。积分方程，则该电路称为动态电路。5.2.1 动态电路方程列写动态电路方程列写SddCCuRCuutSd1dLuCuiitR2S2ddddLLLiiLLCiitRtCuuBasic Circuit Theory40复频域分析法复频域分析法时域分析法时域分析法5.2.2 动态电路的分析方法动态电路的分析方法建立微分方程：建立微分方程：经典法经典法状态变量

24、法状态变量法数值法数值法卷积积分卷积积分拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法状态变量法状态变量法付氏变换付氏变换1110111 0nnmmnmnnmmd ydyd wdwaa ybbb w tdtdtdtdtBasic Circuit Theory415.2.3 一阶电路的分析方法一阶电路的分析方法Basic Circuit Theory42 已知初始条件u C(t 0)以及t t 0 时的u OC(t)，就可以解得t t 0 时的u C(t)。ooRCOCCRoCoCOCutututdututR i ti tCdtdutR Cututdt( )( )( )( )( )( ), ( )( )( )(

25、)由由KCL、KVL及元件的及元件的VCR得：得：Basic Circuit Theory43 已知初始条件u C(t 0)以及t t 0 时的i SC(t)，就可以解得t t 0 时的u C(t)。ooRSCCRoCCoCSCi tititdutitG uti tCdtdutCG utitdt( )( )( )( )( )( ), ( )( )( )( )由由KCL、KVL及元件的及元件的VCR得：得：Basic Circuit Theory44 求得求得u C(t)后，就可根据置换定理以电压后，就可根据置换定理以电压源源u C(t)去置换电容，使原电路变换成一个电去置换电容，使原电路变换成

26、一个电阻电路，运用电阻电路的分析方法求得阻电路，运用电阻电路的分析方法求得t t 0时所有的支路电流和电压。时所有的支路电流和电压。Basic Circuit Theory45？ 对含有电感对含有电感L的一阶电路，可用电流为的一阶电路，可用电流为i L(t)的电流源去置换电感。的电流源去置换电感。 i L(t)为电感电流，由电为电感电流，由电路的对偶性，可知路的对偶性，可知i L(t)满足：满足：Lo LOCLoLSCdi tLR i tutdtdi tG Li titdt( )( )( )( )( )( )Basic Circuit Theory46讨论：讨论：q上述一阶微分方程描述了电路随

27、时间演化的上述一阶微分方程描述了电路随时间演化的状态，称为电路的状态，称为电路的状态方程状态方程。电容电压和电感。电容电压和电感电流为电路的状态变量。电流为电路的状态变量。q一阶电路的状态方程可写成如下标准形式：一阶电路的状态方程可写成如下标准形式：dyaybwdt状态变量状态变量输入函数输入函数a、b为与电路有关的常数为与电路有关的常数q是否可以电容电流或电感电压来列写状态方是否可以电容电流或电感电压来列写状态方程？程？Basic Circuit Theory475.2.4 一阶电路方程的解法（自学、复习）一阶电路方程的解法（自学、复习）dyaybwdtathppy ty tytKeyt(

28、)( )( )( )Basic Circuit Theory48一阶电路方程的解法：三要素法一阶电路方程的解法：三要素法000tdyyYdtyy ( )0000tty tYyY eyyye /( ) ( ) ( ) ( )( )Basic Circuit Theory495.3 动态电路的初始状态和变量初始值动态电路的初始状态和变量初始值在动态电路中，将开关的接通和断开，线路的短接或在动态电路中，将开关的接通和断开，线路的短接或开断，元件参数值的改变等，统称为开断，元件参数值的改变等，统称为换路换路。在电路分。在电路分析中，认为换路是瞬间完成的，并将换路发生的时刻析中，认为换路是瞬间完成的，并

29、将换路发生的时刻作为分析计算的开始时间。作为分析计算的开始时间。 5.3.1 动态电路的换路和换路定律动态电路的换路和换路定律电路状态电路状态 换路前换路前 换路后换路后 换路定律换路定律0000000000000011tCCCCCCttLLLLLLtutututututidCi ti ti ti ti tudL( ) () () ()()( )( ) () () ()()( )Basic Circuit Theory50p电路的初始状态：求解电路微分方程初始条电路的初始状态：求解电路微分方程初始条件所必需的电容电压、电感电流的初始值。件所必需的电容电压、电感电流的初始值。p初始值的求取：初始

30、值的求取：（1）电容电压、电感电流：换路定律）电容电压、电感电流：换路定律（2）其他电路变量（如电容电流、电感电压、）其他电路变量（如电容电流、电感电压、电阻电流和电压等）：利用换路后的电路，由电阻电流和电压等）：利用换路后的电路，由电容电压、电感电流的初始值，基尔霍夫定律，电容电压、电感电流的初始值，基尔霍夫定律，元件电压元件电压-电流关系，再借助置换定理来求得。电流关系，再借助置换定理来求得。 Basic Circuit Theory51习题：5.18 5.20Basic Circuit Theory525.4 一阶动态电路的零输入响应一阶动态电路的零输入响应电路的全响应零输入响应零状态响

31、应电路的全响应零输入响应零状态响应当当t t 0 ，没有外加输，没有外加输入时，仅由入时，仅由t 0时刻非零初时刻非零初始状态引起的响应始状态引起的响应在零初始状态时，仅由在零初始状态时，仅由t 0时时刻施加于电路的输入引起刻施加于电路的输入引起的响应的响应Basic Circuit Theory531( )( )0( )(0)( )( )( )( )( )0 0CCCCCCRi tutd utudutdu ti tCCCdtdtdtdutRCuttdtKVL电容VCR状态方程（零输入响应）Basic Circuit Theory54零输入响应（状态方程的解）零输入响应（状态方程的解）0( )

32、( )0 0(0)CCCdutRCuttdtuU00( )(0) 0( )( ) 0ttRCRCCCtCRCutU euetdutUi tCetdtR 称RC为时间常数，它决定了电压、电流衰减的快、慢。Basic Circuit Theory55零输入响应（曲线）零输入响应（曲线）00( ) 0( )( ) 0tRCCtCRCutU etdutUi tCetdtR Basic Circuit Theory56一阶一阶RL电路：电路：由对偶性原理，可得由对偶性原理，可得0( )( )0 0(0)LLLdi tLRi ttdtiI00( )(0) 0( ) 0RtRtLLLLRtLLi tI ei

33、etutRI et 称称L/R为时间为时间常数，它决定了常数，它决定了电压、电流衰减电压、电流衰减的快、慢。的快、慢。Basic Circuit Theory57讨论：讨论：q零输入响应是在输入为零时，由非零初始状态产生零输入响应是在输入为零时，由非零初始状态产生的，它取决于电路的初始状态和电路的特性。的，它取决于电路的初始状态和电路的特性。q对一阶电路而言，电路特性取决于时间常数对一阶电路而言，电路特性取决于时间常数。不。不论论RC电路还是电路还是RL电路，零输入响应都是随时间按指电路，零输入响应都是随时间按指数规律衰减的。数规律衰减的。q若初始状态增大若初始状态增大m倍，则零输入响应也相应

34、地最大倍，则零输入响应也相应地最大m倍。即零输入响应是初始函数的线性函数，简称零输倍。即零输入响应是初始函数的线性函数，简称零输入响应线性。入响应线性。q时间常数是特征根倒数的负值。特征根具有频率的时间常数是特征根倒数的负值。特征根具有频率的量纲，又称为固有频率。一阶电路的固有频率是负值，量纲，又称为固有频率。一阶电路的固有频率是负值，表明其响应按指数规律衰减。表明其响应按指数规律衰减。Basic Circuit Theory58例：例：t=0时刻开关打开，求时刻开关打开，求uab(t)=？(t0)解：解：根据题意，有根据题意，有cdcd12 12(0)(0 )(0 )CCCRR Csuuu1

35、212( )(0)10ttCCutuee1212121212ab125( )A6515( )A; ( )A242425( )4 ( )3 ( )A24tttti tei tei teuti ti te Basic Circuit Theory59习题：5.22 5.24Basic Circuit Theory605.5 一阶动态电路的零状态响应一阶动态电路的零状态响应 5.5.1 在直流电源作用下的零状态响应在直流电源作用下的零状态响应 0(0)0CSCCSCRiuUduRCuUtdtu111( )(1) 0 ( )(1) 0( ) 0tRCCStRCCtSRCCutUetuetUitetRB

36、asic Circuit Theory61讨论：讨论：q电容电压随时间变电容电压随时间变化的规律化的规律uC(5)=0.9933US，可认为电压已达到稳态值US，充电完毕，电路进入了直流稳态（电容如同开路）。Basic Circuit Theory62q电容电流随时间变化的规律电容电流随时间变化的规律iC（0）=US / R，为最大值，说明电容电压的增加率在此时最快。Basic Circuit Theory63q在充电过程中，电阻消耗的能量为在充电过程中，电阻消耗的能量为22S00222SS0( )122tRCtRCUWi t RdteRdtRURCeCURq达到稳态时，电容的储能为达到稳态时

37、，电容的储能为 。因此，。因此，电源提供的总能量为电源提供的总能量为 。2S12CU2SCUBasic Circuit Theory64q同理，可以得到同理，可以得到RL电路的零状态响应电路的零状态响应( )( )(1) 0( ) 0RtLLLRtLLSi tietutU etq掌握了掌握了uC(t)或或iL(t) ，根据置换定理就可以求出其他，根据置换定理就可以求出其他各个电流和电压。各个电流和电压。q若外加激励增大若外加激励增大m倍，则零状态响应也相应地最大倍，则零状态响应也相应地最大m倍（零状态响应比例性）。若有多个激励，零状态倍（零状态响应比例性）。若有多个激励，零状态响应满足叠加性。

38、即零状态响应是输入函数的线性函响应满足叠加性。即零状态响应是输入函数的线性函数，简称零状态响应线性。数，简称零状态响应线性。Basic Circuit Theory65例：例：t=0时开关闭合，时开关闭合，求求iL(t)、 i(t)(t0)解解：(1)( )( )(1) 0tLLi tiet2( )3(1)A 0tLi tet(2) 求求i(t)，用网孔法，用网孔法2(1 5 1.2) ( ) 1.2( )18( )(20.5)ALti ti ti te Basic Circuit Theory66习题：5.27 5.30Basic Circuit Theory675.5.2 阶跃响应阶跃响应

39、单位阶跃响应：单位阶跃输入作用下的零状单位阶跃响应：单位阶跃输入作用下的零状态响应。响应可以是电压，也可以是电流。态响应。响应可以是电压，也可以是电流。结论：如果单位阶跃信号作用下的响应为结论：如果单位阶跃信号作用下的响应为s(t)，则，则(1) 在在A(t)激励下的响应为激励下的响应为As(t)；(2) 在在(t- t0)激励下的响应为激励下的响应为s(t- t0)。Basic Circuit Theory68例：求例：求iL(t)，电感的初始状态为零。，电感的初始状态为零。解：解：(1) 求单位阶跃响应求单位阶跃响应1.2/1/1.2 ( )0.5A( )( )(1) ( )0.5(1)

40、( )AttLL Rii tietet Basic Circuit Theory691.21.2(1)1.2(2)( ) ( )0.5(1) ( )(1)( )0.5(1) (1)(2)( )0.5(1) (2)tttti tetti tetti tet(2) 求输入信号为求输入信号为u(t)时的时的i(t)1.2(1)1.2(2)( )(1)(2)( )0.5(1) (1)0.5(1) (2)Attu ttti tetet1.2( )( )(1) ( )0.5(1) ( )ttLi tietetBasic Circuit Theory705.5.3 冲激响应冲激响应冲激响应指冲激响应指单位冲

41、激单位冲激输入下的零状态响应输入下的零状态响应。单位冲激函数（狄拉克函数）的定义为单位冲激函数（狄拉克函数）的定义为( )0 0( )1ttt dt线性、时不变电路的冲激响应是其阶跃响应的导数。线性、时不变电路的冲激响应是其阶跃响应的导数。( )( )dh ts tdtxydxdydtdtxdtydtK对线性、时不变电路，其激励和响应间存在如下关系：Basic Circuit Theory71例：求例：求u(t)。解：解：( )( )(1) ( )1 ( )( )( )1( )tRCttRCRCtRCdh ts tdtdRetdtRtt eetRCetC( )(1) ( )tRCs tRetB

42、asic Circuit Theory72另解：另解：1( ) (0)1 ( )tRCtRCh tetCetCBasic Circuit Theory73问题与讨论：问题与讨论：q由例中可得由例中可得 为什么？为什么？1(0 )0,(0 )(0 )(0 )CCCCuuuuCq若冲激电流源为若冲激电流源为A(t)，求求u(0+)和和u(0-)之间的关系。之间的关系。如电容改为电感，又有什么结论？如电容改为电感，又有什么结论？q例中例中 ，与初始电容电压为，与初始电容电压为1/C的零输的零输入响应相同。说明冲激信号作用于零状态的电路时可入响应相同。说明冲激信号作用于零状态的电路时可以认为立即为电路

43、建立了初始状态。这为计算冲激响以认为立即为电路建立了初始状态。这为计算冲激响应提供了另一种方法。应提供了另一种方法。1( )( )tRCh tetCq冲激响应只与电路本身的性质有关，是电路本身固冲激响应只与电路本身的性质有关，是电路本身固有性质的反映。冲激响应有性质的反映。冲激响应h(t)对求任意输入下电路的对求任意输入下电路的响应有重要的作用。响应有重要的作用。Basic Circuit Theory74习题：5.31 5.33Basic Circuit Theory755.5.4 卷积积分卷积积分定义函数定义函数f1(t)、 f2(t)的卷积为如下表达式：的卷积为如下表达式：121212(

44、 )*( )( )()()( )f tf tff tdf tfd(t)h(t)利用卷积积分和冲激响应可求出响应x(t)?Basic Circuit Theory76任意输入任意输入x(t)下电路网络的响应：下电路网络的响应：h(t)( ) ()xtd ( ) ()xh td( ) ()( )xh tdy t( ) ()( )xtdx t ( ) ()xt ( ) ()xh t()t()h t( ) tBasic Circuit Theory77讨论：讨论：q任意输入任意输入x(t)下电路网络的响应为下电路网络的响应为( )( ) ()() ( )y txh tdx thdq对于实际（物理上可实

45、现）的网络，响应（输出）不对于实际（物理上可实现）的网络，响应（输出）不能先于激励（输入）；对冲激响应，当能先于激励（输入）；对冲激响应，当t0时，时， h(t)=0。因此实际响应为因此实际响应为0( )( ) ()() ( )ty txh tdx thdq如果当如果当t0时，时， x(t)=0，则实际响应为，则实际响应为00( )( ) ()() ( )tty txh tdx thdq如果当如果当t0时，时， x(t)=0，h(t)=0，则，则00( )( )( )( )* ( )( )*( )ttdh tdx ty tx th tx t dth t dtdtdtBasic Circuit

46、Theory78例：已知某电路的冲激响应为例：已知某电路的冲激响应为 ，求该电路的单位阶跃响应。求该电路的单位阶跃响应。解法一解法一0()00( )( ) () (1) ( )tttttty txh tdedee det解法二解法二00( )() ( ) (1) ( )ttty tx thde det( )( )th tetBasic Circuit Theory79例：某线性非时变电路在例：某线性非时变电路在t=0时刻接入的输入时刻接入的输入波形波形iS、电路的冲激响应、电路的冲激响应h(t)如图所示，试求如图所示，试求零状态响应零状态响应y(t)。 SS( )( )(2)d ( )/d(

47、)(2)i ttti tttt0( )2 ( )2 (1)( )2 ( )2 (1)th ttth t dtr tr t( )2 ( )2 (1)2 (2)2 (3)y tr tr tr tr tBasic Circuit Theory80习题：5.36Basic Circuit Theory815.6.1 线性动态电路的叠加原理线性动态电路的叠加原理线性一阶电路的叠加原理包含如下内容：线性一阶电路的叠加原理包含如下内容：（1）电路的全响应零输入响应零状态响）电路的全响应零输入响应零状态响应；应；（2）零输入响应线性；）零输入响应线性；（3）零状态响应线性。）零状态响应线性。5.6 一阶动态电

48、路的全响应一阶动态电路的全响应 Basic Circuit Theory82( )( )( )(0)( )(1) 0tty ty tytyeyet全响应全响应 零输入响应零输入响应( )(0) 0ty tyet零状态响应（直流电源作用）：零状态响应（直流电源作用）：( )( )(1) 0tytyetBasic Circuit Theory83例：例：t=0时开关闭合，求时开关闭合，求uC (t0)。若将若将12V改为改为24V，求，求uC (t0)。解：解：（1）零输入响应）零输入响应36o0.15(0)(0 )236(36 12)32V2666 210100 100.15s62 ( )32V

49、 0CCtCuuR Cutet（2）零状态响应）零状态响应0.156( )3627V 0.15s26 ( )27(1)V 0CtCuutet ，0.150.15( ) ( ) ( )3227(1)V 0ttCCCutututeet（3）12V电压源变为电压源变为24V电电压源，只影响零输入响应压源，只影响零输入响应0.150.15(0)34V ( )34V( ) ( ) ( ) (277)V 0tCCCCCtuuteutututet，Basic Circuit Theory84习题：5.38 5.40Basic Circuit Theory855.6.2 一阶电路的三要素法一阶电路的三要素法

50、三要素法是一种求解一阶电路的简便方法（也三要素法是一种求解一阶电路的简便方法（也称为视察法）。可用于电路任一变量的零输入称为视察法）。可用于电路任一变量的零输入响应和直流作用下的零状态响应、全响应。响应和直流作用下的零状态响应、全响应。( )( ) ( ) (0)( )(1) ( ) (0)( )ttty ty tytyeyeyyye 对一阶电路，有对一阶电路，有电路的其他电路的其他变量是否有变量是否有类似的关系？类似的关系？Basic Circuit Theory86以含电容的一阶电路为例以含电容的一阶电路为例( )(0)( )(1)(0)( )( )tttCCCCCCutueueuueu根

51、据叠加原理，任意两节点间的电压满足根据叠加原理，任意两节点间的电压满足0( )( )jkClSlmSmlmutH utH UH I00( )( )(0)( ) ( )(0)( )tjkCCClSlmSmlmtjkjkjkutH uH uueH UH Iuuue 00( )( ), (0)(0)jkClSlmSmjkClSlmSmlmlmuH uH UH IuH uH UH I Basic Circuit Theory87讨论：讨论：q一阶直流一阶直流RC电路的支路电流也满足同样的规律电路的支路电流也满足同样的规律（按指数规律变化）。类似地，直流一阶（按指数规律变化）。类似地，直流一阶RL电路中

52、电路中的任意电压或电流响应也可按三要素法求取。的任意电压或电流响应也可按三要素法求取。q动态元件在换路、直流稳态时的等效电路：动态元件在换路、直流稳态时的等效电路：Basic Circuit Theory88( )( ) (0)( )ty tyyye q三要素法的步骤：三要素法的步骤：（1）求）求uC(0+)、iL(0+)，利用置换定理求任一电压或，利用置换定理求任一电压或电流的初始值。电流的初始值。（2）用开路代替电容或用短路代替电感，求任一电）用开路代替电容或用短路代替电感，求任一电压或电流的稳态值。压或电流的稳态值。（3）计算电路的时间常数。）计算电路的时间常数。（4）根据算得的三要素，

53、写出所求电压或电流的表）根据算得的三要素，写出所求电压或电流的表达式：达式：Basic Circuit Theory89例：求例：求i(t)， t0解：解：(1) 求求i(0)4 (0 )42(0 )2 (0 )(0)(0 )0.8Aiiiii(2) 求求i()( )2Ai (3) 求求，用外施电流源法。，用外施电流源法。1A; 44210V; 1010 0.010.1sooiuiiiRR C(4) 直接写出直接写出i(t)的表达式的表达式0.1( )( ) (0)( )(2 1.2)A 0tti tiiieet Basic Circuit Theory90习题：5.43 5.52Basic

54、Circuit Theory915.6.3 瞬态和稳态瞬态和稳态 正弦稳态正弦稳态动态电路的工作状态：瞬态和稳态。动态电路的工作状态：瞬态和稳态。当描述动态变量的变量或为不为时间而变的常当描述动态变量的变量或为不为时间而变的常量，或为随时间而变的周期量时，称此电路进量，或为随时间而变的周期量时，称此电路进入了入了稳定状态（稳态）稳定状态（稳态）。电路不处于稳态即处于电路不处于稳态即处于瞬态（暂态、瞬变）或瞬态（暂态、瞬变）或非稳态非稳态。瞬态又称过渡过程（从一种稳态过渡。瞬态又称过渡过程（从一种稳态过渡到另一种稳态）。到另一种稳态）。Basic Circuit Theory92考虑图示情况的零

55、状态响应问题。考虑图示情况的零状态响应问题。1( ) 0tRCCSSutUU et直流稳态直流瞬态取取US为如下交流电压为如下交流电压S2( )cos()cos(2)cos()SmSmSmu tUtUftUtT( )( )cos() 0CCSmdutRCutUttdt1( )tRCChutKe( )cos()CpCmuutUt电路的微分方程为电路的微分方程为齐次通解和特解为齐次通解和特解为Basic Circuit Theory9322222arctan()CmCmSmuR C UUUCR2221arctan()SmCmuUURCCR( )cos() 0tRCCCmuutKeUtt微分方程的解

56、为微分方程的解为(0)cos(0)cosCCmuCCmuuKUKuU1( )( )cos() 0 ( ); ( )cos()tCRCCSmChCpCmudutRCutUttutKeutUtdt22222sin()cos()cos()cos(arctan() cos()CmuCmuSmCmCmuSmRCUtUtUtR C UUtCRUt Basic Circuit Theory94RC电路在正弦电压作用下的响应为电路在正弦电压作用下的响应为( )(0)coscos() 0tRCCCCmuCmuutuUeUtt如果初始条件为零，则有如果初始条件为零，则有( )coscos() 0tRCCCmuCm

57、uutUeUtt Basic Circuit Theory95讨论：讨论：qRC电路在正弦电压作用下的响应电路在正弦电压作用下的响应可分为：可分为：固有响应固有响应（瞬态响应瞬态响应）强制响应强制响应（稳态响应稳态响应）。）。( )(0)coscos() 0tRCCCCmuCmuutuUeUttp固有响应为微分方程的齐次方程解，在一阶电路一固有响应为微分方程的齐次方程解，在一阶电路一般具有般具有Kest的形式，决定于电路本身的特性（由特征的形式，决定于电路本身的特性（由特征根根s决定），与输入变化方式无关，输入仅影响该分量决定），与输入变化方式无关，输入仅影响该分量的大小。该分量反映了电路的固

58、有特性。在有耗损的大小。该分量反映了电路的固有特性。在有耗损（渐近稳定）的电路中，特征根为负值（时间常数为（渐近稳定）的电路中，特征根为负值（时间常数为正），该分量随时间而衰减到零。正），该分量随时间而衰减到零。Basic Circuit Theory96q电路存在两种工作状态，其一为过渡状态，由瞬态电路存在两种工作状态，其一为过渡状态，由瞬态响应分量（未消失）和稳态响应分量构成。另一为稳响应分量（未消失）和稳态响应分量构成。另一为稳定状态，此时瞬态响应分量可忽略不计，响应全由稳定状态，此时瞬态响应分量可忽略不计，响应全由稳态响应分量确定，且响应按正弦规律变化，与正弦激态响应分量确定，且响应按

59、正弦规律变化，与正弦激励同频率，称为正弦交流稳态或励同频率，称为正弦交流稳态或正弦稳态正弦稳态。p强制响应是微分方程的特解，其形式一般与输入相强制响应是微分方程的特解，其形式一般与输入相同。当强制响应分量为常量或周期函数时，该分量又同。当强制响应分量为常量或周期函数时，该分量又称为称为稳态响应稳态响应分量。在有耗损的电路中，当分量。在有耗损的电路中，当 时，电路的响应就只由该项确定。时，电路的响应就只由该项确定。 (4 5) tt Basic Circuit Theory97q瞬态响应分量可以理解为是为了使电路的响应满足初瞬态响应分量可以理解为是为了使电路的响应满足初始条件，保证换路瞬间电容电

60、压不能跃变。显然，当始条件，保证换路瞬间电容电压不能跃变。显然，当 时，电路的响应将不出现瞬态响应时，电路的响应将不出现瞬态响应分量。当分量。当 或或 时，过渡状态出现过电压现象（电压瞬时值超过稳态时，过渡状态出现过电压现象（电压瞬时值超过稳态电压最大值）。电压最大值）。(0)cosCCmuuU0 (0)0)uCu (0)0)uCuq对交、直流电路有对交、直流电路有 全响应瞬态（固有）响应稳态（强制）响应全响应瞬态（固有）响应稳态（强制）响应与与 全响应零输入响应零状态响应全响应零输入响应零状态响应 比较，应注意两者比较，应注意两者的区别。前者着眼于电路的工作状态，后者着眼于电的区别。前者着眼