2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(北京卷)(含解析)

1、2020年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)文科数学一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.1、 ( 2020?北京)已知集合 A=x|-1x1,贝UAUB=()A. (-1, 1) B. (1, 2) C. (-1, +8) D. (1, +8)【答案】C【解析】【解答】因为 A x 1 x 2 ,B xx 1 ,所以 AU B xx 1 ,故答案为：C.【分析】本题考查了集合的并运算，根据集合 A和B直接求出交集即可.2、 ( 2020?北京)已知复数 z=2+i ,则zZ=()A. , 3 B. .15 C. 3D. 5【答案】D【解析】【解答】根据 z 2 i ,得W 2 i ,

2、所以 z Z (2 i) (2 i) 4 1 5,故答案为：D.【分析】根据z得到其共轲，结合复数的乘法运算即可求解0, +8)上单调递增的是(3、 ( 2020?北京)下列函数中，在区间(12A. 丫 x B. y=2 -xD. y -xC. y log 1 x2【解析】【解答】1A: y x2为募函数,【答案】A1、， C，0,所以该函数在 0,上单调递增;2x v 1 , 一，、，一，B:指数函数y 2 x 1 ,其底数大于0小于1,故在0,上单调递减;2上单调递减;C:对数函数y log1 x,其底数大于0小于1,故在0,1一D:反比仞函数y ,其k=10,故在0, 上单倜递减;故答案

3、为：A.【分析】根据募函数、指数函数、对数函数及反比例函数的单调性逐一判断即可4、( 2020?北京)执行如图所示的程序框图，输出的 s值为()【解析】【解答】k=1, s=12 12s=3 1 22 222, k3,故执仃焉环体 k=1+1=2, s 2；3 2 22 2s2,此时k=3,结束循环，输出 s=2.3 2 2此时k=20)的离心率是 J5,则a=()12ca2 1-V5 ,a a【分析】根据双曲线的标准方程，表示离心率，解方程，即可求出a的值.6、(2020?北京)设函数f (x) =cosx+bsinx (b为常数)，贝U b=0是f (x)为偶函数”的()A.充分而不必要条

4、件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【解答】若 b=0,贝U f(x) cosx为偶函数，若f(x) cosx bsinx为偶函数，贝U f( x) cos x bsin x cosx bsinx f(x) cosx bsinx,所以 2bsin x 0, B=0,综上，b=0是f (x)为偶函数的充要条件.故答案为：C.【分析】根据偶函数的定义，结合正弦函数和余弦函数的单调性，即可确定充分、必要性7、( 2020?北京)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足5, E1一mi-m2= lg,其中星等为 mi的星的凫度

5、为 R ( k=1, 2).己知太阳的星等是-26.7 ,天狼星的星等2E2是-1.45 ,则太阳与天狼星的亮度的比值为()A. 10 10.1 B. 10.1 C. lg10.1 D. 10-10.1【答案】A【解析】【解答】解：设太阳的亮度为E1，天狼星的亮度为E2,根据题意1.45 ( 26.7) 51g且, 2 E2. Ei2故 lg,25.25 10.1, E25所以反1010.1；E2故答案为：A.【分析】根据已知，结合指数式与对数式的转化即可求出相应的比值8、( 2020?北京)如图，A, B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，/ APB是锐角，大小为3 .图中阴影区域的

6、面积的最大值为()A. 4 3 +4cos 3 B. 43 +4sin 3 C. 23 +2cos 3 D. 23 +2sin 3【答案】B【解析】【解答】设圆心为。，根据 APB ，可知AB所对圆心角AOB 2 ,22故扇形AOB的面积为 24 ,由题意，要使阴影部分面积最大，则 P到AB的距离最大，2此时PO与AB垂直，故阴影部分面积最大值 S 4SVAOB SVPAB,2sin 2 2cos ,.叩 SVAOB 4sin cos ,22sin 2 2 2cosSvpab 4sin 4sin cos ，2故阴影部分面积最大值 S 4SVAOB SVPAB 4 4sin ,故答案为：B.【分

7、析】根据圆周角得到圆心角，由题意，要使阴影部分面积最大，则 P到AB的距离最大，此时 PO与AB垂直，结合三角函数的定义，表示相应三角形的面积，即可求出阴影部分面积的最大值二、填空题共6小题，每小题5分，共30分，rrrr9、（ 2020?北京）已知向量 a=（-4.3 ） , b =（6, mD,且 ab，则m= .【答案】8【解析】【解答】根据两向量垂直，则数量积为0,得 4 6 3m 0,解得m=8.故答案为8.【分析】根据两向量垂直，数量积为0,结合平面向量的数量积运算即可求解.x 210、（ 2020?北京）若 x, y满足 y 1.则y-x的最小值为 ,最大值4x 3y 1 0为.

8、【答案】-3|1【解析】【解答】作出可行域及目标函数相应的直线，平移该直线，可知在经过（2,-1 ）时取最小值-3 ,过（2, 3）时取最大值1.故答案为-3 ; 1.【分析】作出可行域和目标函数相应的直线，平移该直线，即可求出相应的最大值和最小值11、 （ 2020?北京）设抛物线 y2=4x的焦点为F,准线为1.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为.【答案】x 1 2 y2 4【解析】【解答】由题意，抛物线的焦点坐标F （1,0）,准线方程：x=-1 ,焦点F到准线1的距离为2,故圆心为（1,0）,半径为2,22所以圆的方程为x 1y2 4； 2o故答案为x 1 y 4.【分析】根据抛物线

9、方程求出焦点坐标和准线方程，即可得到圆心和半径，写出圆的标准方程即可12、（2020?北京）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为* t *11，.4I1* * E，:I ; I一二一一【答案】40【解析】【解答】根据三视图，可知正方体体积V1 43 64 2 4 2去掉的四棱枉体积 V 4 24,2故该几何体的体积 V=64-24=40.故答案为40.【分析】根据三视图确定几何体的结构特征，求出相应的体积即可13、（ 2020?北京）已知l, m是平面”外的两条不同直线 .给出下列三个论断：lm; m/a； Ua .以

10、其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：.【答案】若，则【解析】【解答】若l ，则l垂直于内任意一条直线，若m P ,则l m ；故答案为若，则.14、（ 2020?北京）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、 桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付 款白8 80%.当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价

11、的七折，则x的最大值为.【答案】130|15【解析】【解答】草莓和西瓜各一盒，总价60+80=140元，140120,故顾客可少付 10元，此时需要支付 140-10=130元；要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可，根据题意，买草莓两盒，消费最低，此时消费 120元，故实际付款（120-x）元，此时李明得到120 x 80%,故 120 x 80% 120 0.7,解得 x 15；故最大值为15.故答案为130;15.【分析】根据已知，直接计算即可；根据题意，要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可，因此选最低消费求解，即可求

12、出相应的最大值三、解答题共6小题，共80分.15、（ 2020?北京）在 ABC中,a=3, b-c=2 , cosB=-.2（I ）求b, c的值：（II ）求 sin （B+。的值.【答案】解：（I ）根据余弦定理b2 a2 c2 2accosB ,221故 2c 9 c 2 3c 一,2解得 c=5, B=7;(II )根据 cosB 1 ,得 sin B , 22根据正弦定理,sin B sin C 5sin C一 5.3-,解信sin C ,所以cosC141114所以sin3B c sin BcosC cosBsinC 211145x3143 314【分析】(I)根据余弦定理，解方

13、程即可求出c和b；(II )根据同角三角函数的平方关系，求出 sinB ,结合正弦定理,求出sinC和cosC,即可依据两角和的正弦公式，求出 sin (B+0 .16、 ( 2020?北京)设an是等差数列,a=-10,且 a2+10, a3+8,(I )求an的通项公式；(n)记an的前n项和为S,求Sn的最小值.a4+6成等比数列.)根据三者成等比数列,可知a3a?解得102d10 d 1010d=2故 an 102n 12；(n)由(I)知 Sn10 2n 12n2 11n ,该二次函数开口向上，对称轴为n=5.5 ,故n=5或6时，Sn取最小值-30.【解析】【分析】(I)根据等比中

14、项，结合等差数列的通项公式，求出 d,即可求出an； (n)由(1),求出Sn,结合二次函数的性质，即可求出相应的最小值17、(2020?北京)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月 A, B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了 100人，发现样本中 A, B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用 A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额 支不大于2000几大于2000兀仅使用A27人3人仅使用B24人1人(I )估计该校学生中上个月 A, B两种支付方式都使用的人数;(II )从样本

15、仅使用 B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；(III )已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用 B的学生中，随机抽查1人,发现他本月的支付金额大于2000元，结合(II )的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.【答案】解：(I)据估计，100人中上个月A、B两种支付方式都使用的人数为100-5-27-3-24-1=40人，故该校学生中上个月A、B两种支付方式都使用的人数为400人；(II )该校学生上个月仅使用B支付的共25人，其中支付金额大于 2000的有一人，故概率为 工；25(III )不

16、能确定人数有变化，因为在抽取样本时，每个个体被抽到法机会是均等的，也许抽取的样本恰为上个月支付抄过 2000的个体，因此不能从抽取的一个个体来确定本月的情况有变化【解析】【分析】(I )根据题意，结合支付方式的分类直接计算，再根据样本估计总体即可； (II )根据古典概型，求出基本事件总数和符合题意的基本事件数，即可求出相应的概率；(III )从统计的角度，对事件发生的不确定性进行分析即可18、 ( 2020?北京)如图，在四棱锥 P-ABCD中，PA1平面 ABCD底面 ABC的菱形，E为CD的中点.(n)若/ ABC=60 ,求证：平面 PAB1平面 PAB(出)棱PB上是否存在点F,使得

17、CF/平面PAR说明理由.【答案】(I)证明：因为 ABCM菱形，所以BD AC,又因为PA 平面ABCD ,所以BD PA ,而PAI AC A,故BD 平面PAC；(n)因为 ABC 60，所以 ADC 60 ,故VADC为等边三角形,而E为CD的中点，故AE CD,所以AE AB,又因为PA 平面ABCD,所以AB PA,因为PA I AE A,所以AB 平面PAE,又因为AB 平面PAB,所以 平面PAB 平面PAE；(出)存在这样的 F,当F为PB的中点时，CF P平面PAE ;取AB的中点G,连接CF、CG FG因为G为AB中点，所以AE与GC平行且相等，故四边形AGC叨平行四边形

18、，所以 AE PGC ,故GC P平面PAE在三角形BAP中，F、G分别为BP、BA的中点，所以FG PPA,故FG P平面PAE,因为GCm FG均在平面CFG内，且GC I FG G,所以平面CGF P平面PAE ,故CF P平面PAE .【解析】【分析】（I）根据线面垂直的判定定理，证明直线与平面内两条相交直线垂直即可；（n）根据面面垂直的判定定理，证明直线与平面垂直，即可得到面面垂直；（出）根据面面平行的判定定理，证明面面平行，即可说明两平面没有公共点，因此，一个平面内任意一条直线与另一平面均无公共点，即可说明线面平行19、 （ 2020?北京）已知椭圆C:2yr1的右焦点为（1.0）

19、,且经过点b2A (0, 1).（I ）求椭圆C的方程；（II ）设O为原点，直线l : 点M,直线AQ与X轴交于点y=kx+tN,【答案】解：（I ）根据焦点为（ 根据椭圆经过（0,1 ）可知b=1,|OM|1,0)（t w 1）与椭圆C交于两个不同点 巳 |ON|=2，求证：直线l经过定点.,可知c=1Q直线AP与x轴交于故a22,2所以椭圆的方程为2y2 1；(II )设 P Xi,yi ,QX2,y2 ,x 1 ,直线AQ :y2XiX2解得Mm-1 Y1,0 ,NX21y2,0 ,故 OM ON%1y1X21y2X1X21y1y2yy2将直线y=kX+t与椭圆方程联立,2k22X2

20、4ktX 2t2 20,故X1X24kt2, x1X21 2k22t21 2k2,所以y128k2t 2ty2 Tl228k2t_ 222k2 t21 2k2故 OM ON解得t=0 ,故直线方程为y=kX, 一定经过原点（0,0 ）【解析】【分析】(I)根据焦点坐标和 A点坐标，求出a和b,即可得到椭圆的标准方程；(II )设出P和Q的坐标，表示出 M和N的坐标，将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示 0Mhl ON根据OM ON 2,解得t=0 ,即可确定直线恒过定点(0,0) 20、 ( 2020?北京)已知函数 f (x) =1 x3-x 2+x.4(I)求曲线y=f (x)的斜率为1的切线方程；(II )当 xC -2 , 4时，求证：x-6 8- x 8 , 27364整理得，斜率为1的直线方程为x-y=0或x y 64 0;27(II )构造函数 g (x) =f (x) -x+6 ,则 g x 3 x2 2x ,令 g x 0 ,则 x1 0, x2 8 , 43故 g (x)在-2,0上单调递增，在0,8上单调递减，在3-,4上单调递增，故g (x)的最小值为 3g