二元一次不等式组与平面区域

1、二元一次不等式(组)与平面区域教学设计西飞第一中学 付银邦一、教材分析1、本节课在教材中的地位和作用本节课是高中数学必修5（北师大版）第3章不等式中的第4节简单的线性规划问题的第一课时，在此之前，学生已经学习了直线的方程，已经掌握了二元一次方程与平面直线的对应关系，同时也体验过数形结合的思想方法，为研究二元一次不等式与平面区域的对应关系做了知识和方法上的准备.二元一次不等式与平面区域作为线性规划三个课时中的第一课时，起到了承前启后的作用，既是对前面的不等式、直线方程等内容的再认识再学习，也是后续学习简单线性规划问题的基础，并有助于学生对优化思想的理解.这一节内容，是学生对不等式、直线方程知识的

2、深化和综合应用.二元一次不等式作为刻画区域的工具，为解决简单的线性规划问题做铺垫，这种从点到数对的对应，直线与方程的对应，到平面区域与不等式组的对应的过渡和提升，能使学生进一步体会到数形结合思想的实质及其重要性.本节内容体现了数学的工具性、应用性，同时渗透了数形结合、分类讨论、化归的数学思想.2、教学目标（1）知识与技能：了解二元一次不等式（组）的相关概念，并会画二元一次不等式（组）表示的平面区域. （2）过程与方法：经历观察、实验、探究、分析、归纳、概括及应用的认知过程， 体验由特殊到一般，由具体到抽象的探索方法以及数形结合的数学思想方法.（3）情感、态度与价值观：通过主动参与、合作交流，感

3、受勇于探索、勇于创新的科学精神；体验数学的应用价值与成功解决问题的快乐.3、教学重点与难点：（1）教学重点：会画二元一次不等式（组）所表示的平面区域.（2）教学难点：如何判断二元一次不等式表示对应直线哪一侧的平面区域. 二、教学方法分析：1、教学理念：建构主义认为，知识是在原有知识的基础上，在人与环境的相互作用过程中，通过同化和顺应，使自身的认知结构得以转换和发展.遵循教师为主导，学生为主体的教学原则，通过创设情境提出问题，用类比和实验的方法猜想出结论，思考验证方案，进而得到一般性的结论，再在知识应用的过程中加深对于方法的理解.让学生经历知识的形成过程，体验探索的乐趣.这不仅有利于知识的掌握，

4、也有利于培养他们的创新能力. 注重对学生数学思维方法的渗透，让学生主动参与提出问题、探索问题和解决问题的过程，突出以学生为主体的教学理念.2、教学方法：创设问题情境，采用探索发现法、小组合作交流的方法，并以多媒体作为辅助教学手段进行教学.3、教学难点突破方法：引导学生通过观察、实验、比较、分析、小组合作交流、总结等环节发现规律，并结合多媒体课件动态演示突破难点. 4、教学媒体：直尺，计算机，投影仪.三、学生情况分析： 直线方程、不等式等基础知识方面上学生掌握比较好，但本节课的内容是全新的，对学生来讲是完全陌生的，需要从创设情境入手，通过类比与实验逐渐深入，渐近式展开，另外，高二的学生已经初步具

5、有独立思考和探索问题的能力，观察分析能力也有很大的提高，通过自主探索与小组合作交流，完全可以适应掌握本节课的目标.四、学法指导：引导学生体验知识的探索与发现的过程，促进其学习方式的转变，使学生的学习过程变成在教师指导下的“再创造过程”，使学生从具体操作中掌握知识，在愉悦的气氛中自主探索发现，潜移默化地形成自己的一种“独立思考、积极探索”的学习方式.五、教学流程：提出问题创设情境类比探求实验归纳交流合作解决问题归纳总结揭示新知应用新知练习巩固小结作业反馈评价六、教学设计：教学过程教学内容教学活动设计意图提出问题创设情境 问题1：某班计划用少于50元的钱购买单价分别为5元和10元的小、大彩球装点联

6、欢晚会的会场，根据需要，小球数不少于3个，大球数不少于2个，有几种不同的购买方案？学生列出满足要求的数学关系式.学生列式: 设购买大球x个，小球y个：教师结合学生列出的关系式引出二元一次不等式组.从实际问题出发，创设情境，引出二元一次不等式和二元一次不等式组，体现数学的应用价值，吸引学生的学习兴趣.类比猜想实验归纳类比猜想实验归纳问题2：一元一次不等式的解集如何在数轴上表示?2x问题3：二元一次不等式的解集可以看成是直角坐标系内的点构成的集合，它们位于何处？又能表示什么图形？ 实验1：写出不等式的几组解，如 (3 , 1) (2 , 3) (-1 , 2) (3 , -1)，并在坐标系中描出这

7、些点，判断它们与直线的关系.结论1：直线把平面分成三个区域，直线在右上、左下区域，不等式表示的点都在左下区域，即“同号同侧” .思考1：如何证明？ 设点满足不等式，即,即，直线上与P横坐标相同的点满足，即，故.即点P在点A下方，从而也在直线下方.问题4：直线左下区域的点是否都满足？ 实验2: 在直线下方任取一点，判断是否满足.结论2：直线左下区域的点都满足不等式. 即“同侧同号” .学生回答一元一次不等式的解集在数轴上如何表示.引导学生由一元一次不等式的解集可以表示在数轴上，类比猜想二元一次不等式如何表示.学生在坐标纸上画出满足不等式的点，判断它们与直线的关系，小组交流合作归纳结论（即“同号同

8、侧”）1.教师引导学生运用联系、转化的方法将点与直线上的点A联系起来，学生讨论得到证明方法.针对问题4，学生展开积极的分组交流探索活动，教师适时用几何画板演示，引导学生观察随着动点P的变化，的数值变化情况，最后师生共同归纳结论2，即“同侧同号”.由学生原有的知识作为新知识的生成点，类比猜想二元一次不等式的几何表示. 采用类比推理的方法开始探索本节课的内容，使学生比较容易的产生相关联想.把问题作为教学出发点，有利于激发学生学数学、用数学的兴趣，鼓励学生进行大胆的猜想，培养学生的想象能力和创新能力.通过学生的亲手实验验证，感受知识的生成过程，体现学生为主体的教学思路.通过这样的探究过程加深了学生对

9、于数学本质的理解，更重要的是让学生经历了知识形成的一个完整过程，这培养了他们解决问题的思维方法.学生交流合作、积极探索猜想，既调动了积极性，又培养了逻辑思维能力和创新能力.多媒体动态模拟演示，有助于学生在感性认识的基础上形成理性认识.问题4设计目的是从逻辑角度深刻理解二元一次不等式与平面区域的关系，体现数学的严密性。通过验证发现可能成立，作为数学问题自然要考虑其是否可以证明，这体现了数学的严谨性.同时证明过程中渗透联系、化归的数学方法.交流合作解决问题思考2：这里的下方如何理解？思考3：如何证明？探索：你如何快速地判断出二元一次不等式表示直线哪一侧区域？不等式呢？若有学生提出从函数角度理解二元

10、一次不等式，可引导引导学生从函数角度理解二元一次不等式表示的平面区域。从函数的角度出发得出判断二元一次不等式表示直线哪一侧区域的方法：把不等式改为,从而表示直线以下区域。问题5:试用你的方法分别说说不等式所表示的平面区域是什么？与有何不同？作图时如何体现？问题6:不等式和呢？有上面证明结论1的过程，这里由学生自行完成结论2的证明.通过上面一系列地实验与交流探索，引导学生发现判断出二元一次不等式表示直线哪一侧区域的方法.如有学生提出，可通过对不等式所表示的平面区域的思考，引导学生从函数角度理解二元一次不等式表示的平面区域。由学生交流讨论，解决问题，教师给于评价. 由学生交流讨论，解决问题，教师给

11、于评价.思考2旨在引导学生证明结论2.通过上面一系列地实验与交流与探索，启发诱导，揭示知识形成过程，让学生参与教学过程，倡导布鲁纳的发现教学：让学生做学习的主人.结合多媒体课件动态演示，突破难点.充分考虑学生可能想到的方法,注重课堂的上学生的生成性问题及知识，鼓励学生发挥自身的主观能动性，鼓励学生积极思考，对于学生正确的思考结果给予及时的鼓励和肯定.问题5的设计目的在于让学生主动思考边界直线的实与虚不同的表示含义，从而有效的突破这个易错点.问题6的设计是防止学生产生不等号是小于号了即表示直线下方区域的错误认识，而则是考虑直线垂直于轴（此时无“上下”之说）的情形.归纳总结揭示新知结论3：在平面直

12、角坐标系中,二元一次不等式(或)表示直线某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成虚线,以表示区域不包含边界；不等式 表示的平面区域包含边界，把边界画成实线.由于直线同侧的点的坐标代入Ax+By+C中，所得实数符号相同，所以只需在直线的某一侧取一个特殊点代入Ax+By+C中，从所得结果的正负即可判断Ax+By+C>0表示哪一侧的区域.即“直线定界，特殊点定域”。思考:如何取“特殊点” ？问题7：不等式表示怎样的区域？如何判断？从函数角度小结判断二元一次不等式(或)表示直线哪一侧的平面区域，若不等式可改为的形式，即表示对应直线上方区域；可改为的形式，即表示对应直线下方区域。教师引导学生依据

13、“同侧同号”的结论和证明过程总结得出一般结论和画平面区域的方法.学生思考，给出如何取“特殊点”的方法，直线不经 过原点时，一般取原点.问题7由学生思考后回答。通过前面对一个具体实例的求解，归纳总结得出一般结论，遵循了从“具体到抽象”的认知规律，蕴含了从“特殊到一般”的推理方法.及时梳理归纳，符合建构主义的学习原理，能较好地形成新的认知结构.代点法的引入，“直线定界，特殊点定域”，难点的突破也就水到渠成了.学生分组探索解决问题，有利于培养良好的学习习惯，通过合作学习，提高分析和解决问题的能力，变“学会”为“会学”.充分保障学生的主体地位.问题7的设计是考虑直线经过原点时如何判断不等式表示的区域。

14、应用新知练习巩固例1.画出下面二元一次不等式表示的平面区域：(1)；(2) .例2.画出以下不等式组表示的平面区域：.例3.画出引例中的二元一次不等式组表示的图象,并指出所有的购买方案.例4.求二元一次不等式组所表示的平面区域的面积.学生练习：P98，1，42、若二元一次不等式组所表示的平面区域是一个三角形，求的取值范围.例1(1)采用学生回答老师板演的方法,给学生树立规范答题的榜样,(2)小题由学生板书画出不等式的平面区域，并讲解画出的过程和判断区域的方法.教师强调边界线虚实线的划法.例2教师点拨学生在作出每个区域后找出它们的交集.学生作图，教师点评.例4由教师引导，学生完成.学生自行练习，

15、教师巡视，收集练习中出现的典型错误并及时订正.留出一定时间让学生自主练习， 教师巡视,第2题有一定的灵活性，注意在必要时予以引导和点拔.通过例题进一步理解和巩固所学的判断方法，掌握画二元一次不等式（组）表示的平面区域的方法.由二元一次不等式到不等式组的设计，由浅入深，由易到难，便于学生的接受.例3与引例相呼应，彻底的解决该问题，通过应用题，让学生体会到数学的应用价值.精心设计了阶梯型的问题，层层设疑，学生积极参与到教学活动中，思维层层深入.根据学生情况分层设计，注重学生的差异.巩固所学知识与方法，增强学生学习的自信心，使学生对学习数学产生兴趣.小结作业反馈评价1、二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法；2、画二元一次不等式表示的平面区域的方法: “直线定界，特殊点定域”；3、数形结合的数学思想方法.作业： P108页第3