高斯小学奥数五年级下册含答案第13讲_沙漏与金字塔

1、第十三讲沙漏与金字塔在盆里!娼姆哥哥，国我要星星爸爸爸爸 要太阳！观察故事中的第4幅图，太阳照下来在桌面上形成一个圆形的亮斑，如图1所示，我们将图形抽象成三角形，如图2所示.观察一下，这个图形与生活中的什么东西比较像？对了, 沙漏！今天，就让我们来学习一下有关“沙漏”的知识.沙漏有一个必要条件：线段AB平行于线段CD,如图2所示.在沙漏中，我们总结出了如下性质:|AB- AQ-BOlIDC DO CO这就是我们今天要研究的平行线间的比例关系即沙漏形三角形间的比例关系， 简称如图所示，梯形 ABCD的面积是36,下底长是上底长的 2倍，阴影三角形的面积是多少?分析：图中给出的是一个梯形， 梯形的

2、上底和下底是平行的， 你能找到平行线间的沙漏吗?如何利用这个沙漏呢?练习1.如图所示，梯形的面积是 48平方厘米，下底是上底的 3倍，求阴影部分的面积.在沙漏模型中，各线段的长度有比例关系，各区域的面积也有比例关系.如图所示，如果沙漏形的上下底之比为a:b,四个三角形的面积之比为a2:ab:ab:b2.例题2.如图，平行四边形 ABCD的面积是90.已知E点是AB上靠近A点的三等分点，求阴影部分的面积.分析：图中有没有沙漏形？它的上底与下底之比是多少?练习2.如图，正方形 ABCD的边长是6, E点是BC的中点.求4AOD的面积.寻找沙漏的时候，一定把握住一点：平行线.题目中如果出现了平行线，

3、那么只要找到平行线间的相交线就可以找到沙漏.同学们在做题的过程中一定要用心体会这一点.小故事沙漏沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.西方沙漏由两 个玻璃球和一个狭窄的连接管道组成.利用上面的玻璃球的 沙子穿过狭窄管道流入底部玻璃球所花费的时间来对时间进 行测量.一旦所有的沙子都已流到底部玻璃球，该沙漏就可以被颠倒以重新测量时间了. 一般的沙漏有一个名义上的运行时间1小时.例题3.如图所示，边长为 8厘米和12厘米的两个正方形并排放在一起，求图中阴影部分的面积.你能找出这些沙漏吗？那分析：图中有很多组平行线， 那么这些平行线就构造出很多沙漏, 么想求阴影部分的面积，该利用哪一个沙漏呢？练习3.

4、如图所示，图中的两个正方形的边长分别是10和6,那么阴影部分的面积是多少?我们发现，沙漏模型由一组平行线和一组相交线构成,DFCG且相交线的交点在平行线之间.如我们形象的称之为金字塔模型.在果交点在两条平行线的同一侧，就会构成一种新的模型,金字塔模型中也有相应的比例关系.a 乌%b,aibicia a,bib,c沙漏模型金字塔模型例题4.如图，直角三角形 ABC中，AB=4, BC=6.又知BE:EC=1:3,求 CDE的面积.练习4.如图，EF与BC平行，AF :FB 1:2 .已知AE 2, EF 3,那么CE的长度是 多少？ AC的长度是多少？ BC的长度是多少?例题5.如图所示，在正方

5、形 ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，已知正方形 ABCD的面积为60平方厘米，求阴影部分的面积.分析：如图所示，假设阴影三角形的另外两个顶点是G和H.容易看出，三角形 AGH在三角形ABD中，而三角形 ABD的面积是正方形 ABCD的一 半，如果我们能够找到这两个三角形之间的面积关系，那么本题也就迎刃而解了.例题6.已知三角形 ADE的面积为3平方厘米，D是AB边的三等分点（靠近 A点），且DE与BC平行，请求出三角形 OBC的面积为多少平方厘米？DE和BC,它们的比分析：图中既有沙漏形，也有金字塔形.沙漏形的上底和下底分别是 是多少？是不是需要用到金字塔形中的比例关系？埃及金字塔在

6、非洲古国埃及的尼罗河畔，开罗城近郊的广裹沙漠中，巍然耸立着一群巨大的方锥形建筑物，这就是全球著名的古代世界八大奇观之首的埃及金字塔它气势威严，历经沧桑，迄今已有四、五千年的历史它又是古埃及高度文明的象征，是人类遥远历史的见证金字塔以其形体极似汉字的“金”字， 因此在中国称为“金字塔” 在欧洲则称为“庇拉米斯”，是古埃及语“高”的意思，可见高大是金字塔的特征埃及金字塔是奴隶制帝王的陵墓，国王生前穷奢极欲，死后也仍想主宰天下因此，在生前就不惜一切为自己修造所谓的“永久坚固的寓所”金字塔， 帝王希图永远保存自己的尸骨和尊严，于是从埃及第三王朝起便开始兴建金字塔约在公元前2800-2300 年之间，那

7、是金字塔盛行的时代在埃及有大、小金字塔70 余座第1 座是埃及第三王朝国王杰赛尔的阶梯形金字塔，后来的角锥形金字塔，是在此基础上发展演变而来的其中位于开罗郊区吉萨城附近的胡夫和哈夫拉两座金字塔，被列为世界古代八大奇观之首这两座金字塔加上显示国王威严的狮身人面像，成为埃及金字塔风光的象征胡夫金字塔规模最大，所以又称为“大金字塔”它高 146.5 米，像一座40 层高楼，拔地而起在1889 年巴黎埃菲尔铁塔（312.5 米 ）修建之前，一直是世界上最高的建筑物该塔占地 80 亩，边长2300 多米，周长约1 公里全塔用230 多万块大、小不同的巨石砌成，总体积 250万立方米平均每块石头重2.5

8、吨，最重的一块约160 吨石块连接没有使用丝毫粘着物，但石块间丝隙皆无，使人赞叹!塔内有甫道、石阶、通风道和墓室墓室分3 层，位于塔底正中地下30 米深处胡夫大金字塔建筑之奇，至今仍是不解之谜金字塔这样宏伟的建筑，有人认为是天外来客所建，但毕竟金字塔巍峨壮观地坐落在地球上，成为人类史上一座不朽的丰碑它生动具体地告诉人们： 古代埃及的奴隶们是怎样地在没有火药、没有机械的年代，利用双手及简单工具而创造出这一惊人的奇迹金字塔至今作为世界奇观，傲对碧空，成为当今闻名世界的旅游胜地作业1.如图所示，DE与BC平行，已知AD 4， BD5 , DE 16 ,则BC的长度是多少?作业2.如图所示，DE与BC

9、平行，已知AD4 , BD 5 , AADE的面积为32,则四边形DECB面积是多少?作业3.如图所示，梯形 ABCD的面积是50,卜底长是上底长的1.5倍，阴影三角形的面积是多少?作业4.如图所示，正方形 ABCD的边长是6,E点是BC的三等分点. AOD的面积是多AAC与BE的交点为F,那么少？作业5.如图，平行四边形 ABCD的面积是12, DE图中阴影部分面积是多少?第十三讲沙漏与金字塔例题1. 答案：16详解：上底与下底的长度比为1:2,设 OCD面积是1份，则4 AOD与ABOC的面积均为2份，ABO的面积为4份，共有9份，梯形面积为36,故一份所对应的面积为 4.则 ABO的面积

10、为16.例题2. 答案：33详解：由沙漏模型知， BE:CD BO:OD EO:OC 2:3 ,设 OBE的面积为4份，则408。的面 积为6份，4OCD的面积为9份，AOBC的面积与 OCD的面积之和为整个四边形面积的一半，因 此四边形的面积为30份，总面积为90,则一份对应的面积为 3,阴影部分占了 11份，面积为33.例题3. 答案：45详解：由条件知， GF:BE 12:20 3:5 ,由沙漏模型知 GO:OE 3:5 ,那么 GOF与 EOF的面积之比也是3:5. OEF的面积为12 12 2勺45 8例题4. 答案：6.75详解：由金字塔模型知， DE:AB CE:CB 3:4 ,

11、则DE 4 - 3 ,又知道CE 6 0 4.5,可求 44出4CDE的面积为3 4.5 2 6.75.例题5. 答案：10平方厘米1详解：由条件知，BE AD 1:2 ,则 BG: GD 1:2, BG - BD .同理，DF : AB 1:2 ,则 311DH:HB 1:2, DH -BD.由此可得，GH -BD .阴影部分面积为 60 2 3 10平万厘米. 33例题6. 答案：13.5详解：由金字塔模型知， AD: AB DE: BC 1:3 ,设 ODE的面积为1份，则4 ODB的面积为3 份，4OEC的面积为3份，AOBC的面积为9份.又因为 ADE与 DEC等高，可知 ADE的面

12、积 为2份，由此可知 OBC的面积为3 2 9 13.5平方厘米.练习1. 答案：27平方厘米简答：上底与下底之比为 1:3.由沙漏模型可知四个三角形的面积之比是1:3:3:9,那么阴影部分的面积是48 1 3 3 9 9 27平方厘米.练习2. 答案：12简答：连结DE,因为BE与AD之比是1:2,可如图所示设份数.可知 AOD的面积是正方形面积的三分之一，是12.E练习3.答案：400 13简答：AH AD 5 那么 abh与abGH的面积之比也是 5:8, ABH的面积是 ABG面积的HG BG 813400135一.10 1613练习4. 答案:简答:AFFBAE 1EC 2可求出CE 4, AC 6.EFBCAF 1一，可求出BC 9 .AB 3作业1. 答案：36.简答：由金字塔模型，AD: AB DE:BC 4:9, DE 16,则BC 36.作业2. 答案：130.简答：AD： AB 4：9 ，则AE： AC 4：9 ， AADE是 ABC面积的 竺,贝拉ABC 81的面积为162,四边形DEBC的面积为130.作业3. 答案：18.简答：上底与下底的长度比为2:3,设 OCD面积是4份，则4 AOD与ABOC