2020-2021学年江苏省两市高考数学三模试卷及答案解析

1、江苏省三市高考数学三模试卷一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1 .设复数z=a+bi （a, bCR, i为虚数单位），若z= （4+3i） i,则ab的值是.2 .已知集合 U=x|x>0, A=x|x>2,则？ uA=.3 .某人随机播放甲、乙、丙、丁 4首歌曲中的2首，则甲、乙2首歌曲至少有1首 被播放的概率是.4 .如图是一个算法流程图，则输出的 k的值是 ./输出土/5 .为调查某高校学生对。带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本，其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人.若其他年级共有学生3000人，则该校学生总

2、人数是 .6 .设等差数列a的前n项和为Sn,若公差d=2, a5=10,则Si。的值是.7 .在锐角 ABC中，AB=3, AC=4,若 ABC的面积为3/1,则BC的长是.8 .在平面直角坐标系xOy中，若双曲线三声-y2=1 (a>0)经过抛物线y2=8x的焦点,3.则该双曲线的离心率是.2JT19 .圆锥的侧面展开图是半径为3,圆心角为学的扇形，则这个圆锥的高是 .10 .若直线y=2x+b为曲线y=3+x的一条切线，则实数b的值是.11 .若正实数x, y满足x+y=1,则十T的最小值是-12 .如图，在直角梯形 ABCD 中，AB/ DC, / ABC=90 , AB=3,

3、BC=DC=2 若 E, F分别是线段DC和BC上的动点，则正而的取值范围是13 .在平面直角坐标系xOy中，已知点A (0, -2),点B (1, -1), P为圆x2+y2=2 上一动点，则震的最大值是.L Rk x>a14 .已知函数f (x) =3 尸 若函数g (x) =2f (x) -ax恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围是.二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15 .已知函数f (x) =Asin(coxJ-) (A>0,>0)图象的相邻两条对称轴之间的距7T J3离为冗，且经过点(亏)(1)求函数f (x)的解析

4、式;(2)若角 a 满足 f (a) +J3f ( a- - ) =1,长(0,九)，求 a值.16 .如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABC皿矩形，平面PAD，平面 ABCR AP=AD,M, N分别为棱PD, PC的中点.求证：(1) MN/平面 PAB(2) AM,平面 PCD.t2 v217 .在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 三吃"=1 (a>b>0)的左焦点为F(-1, a b0),且经过点(1,彳).(1)求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的弦AB过点F,且与x轴不垂直.若D为x轴上的一点，DA=DB求而的值18 .如图，半圆AOB是某爱国主义教育基地一景

5、点的平面示意图，半径OA的长为1百米.为了保护景点，基地管理部门从道路 l上选取一点C,修建参观线路C- D-E-F,且CD, DE, EF均与半圆相切，四边形 CDE既等腰梯形，设DE=t百米，记修建每1百米参观线路的费用为f (t)万元，经测算f (t)1S 2(1)用t表示线段EF的长；(2)求修建参观线路的最低费用.19 .已知&是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数列，qw 土，正整数组E= (m, p, r) (m<p< r)(1)若曰+>=0+&=&+>,求q的值;(2)若数组E中的三个数构成公差大于1的等差数列，且a+bp=

6、ap+br=ar+bm,求q的 最大值.(3)若bn=( - 2) n 1 , am+bm = O+bp=a+br=0,试写出满足条件的一个数组E和对应的通项公式(注：本小问不必写出解答过程)20 .已知函数f (x) =aX+cosx (a R)记f (x)的导函数为g (x)(1)证明：当aW时，g (x)在R上的单调函数；(2)若f (x)在x=0处取得极小值，求a的取值范围；(3)设函数h (x)的定义域为 D,区间(m, +00)? D.若h (x)在(m, +00)上是单调函数，则称h (x)在D上广义单调.试证明函数y=f (x) - xlnx在0, +00) 上广义单调.选彳4

7、-1 :几何证明选讲21 .如图，已知AB为圆。的一条弦，点P为弧窟的中点，过点P任作两条弦PC,PD分别交AB于点E, F求证：PE?PC=PF?PD.选彳4-2 :距阵与变换.22-已知矩阵M= _1b ,点（1，T）在M对应的变换作用下得到点（一）， 求矩阵M的特征值.选彳4-4 :坐标系与参数方程23 .在坐标系中，圆C的圆心在极轴上，且过极点和点（3& 卷）,求圆C的极坐 标方程.选彳4- 4-5 :选修4-5 :不等式选讲24 .知 a, b, c, d是正实数，且 abcd=1,求证：a5+b5+c5+d5>a+b+c+d.解答题25 .如图，在四棱锥S-ABCD中

8、，SD，平面ABCR四边形ABCD是直角梯形，/ADC二 /DAB=90, SD=AD=AB=2 DC=1（1）求二面角S-BC- A的余弦值;（2）设P是棱BC上一点，E是SA的中点，若PE与平面SAD所成角的正弦值为 驾詈 求线段CP的长.26.已知函数f0 (X)嗡(aw0, ac- bdw0),设 fn (x)为 fn1 (x)的导数,N*(1)求 fl (x), f2 (x)(2)猜想fn (x)的表达式，并证明你的结论.参考答案与试题解析一、填空题(每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上)1.设复数z=a+bi(a, bC R, i为虚数单位)，若z= (4+3i) i,则ab的

9、数是 T2【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出.【解答】解：= a+bi= (4+3i) i=-3+4i. .a=- 3, b=4.ab=- 12.故答案为：-12.2 .已知集合 U=x|x>0, A=x|x>2,则？ uA= x0<x<2.【考点】1F:补集及其运算.【分析】根据补集的定义写出运算结果即可.【解答】解：集合U=x|x> 0, A=x|x>2,则？ uA=x|O< x< 2.故答案为：x|0< x<2.3 .某人随机播放甲、乙、丙、丁 4首歌曲中的2首，则甲、乙2首歌曲至

10、少有1首被播放的概率是提. -6-【考点】CB:古典概型及其概率计算公式.【分析】先求出基本事件总数 n=C；=6,甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的对立事件是甲、乙2首歌曲都没有被播放，由此能求出甲、乙 2首歌曲至少有1首被播放 的概率.【解答】解：二随机播放甲、乙、丙、丁 4首歌曲中的2首，基本事件总数n= =6,甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的对立事件是甲、乙2首歌曲都没有被播放，甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率：故答案为：4 .如图是一个算法流程图，则输出的 k的值是 3I(me)S好1.上一 1/输出土/【考点】EF:程序框图.【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所

11、示的顺序，循环可得结论.【解答】解：模拟程序的运行，可得S=1, k=1S=2,不满足条件S>10, k=2, S=6不满足条件S>10, k=3, S=15满足条件S> 10,退出循环，输出k的值为3.故答案为：3.5 .为调查某高校学生对 匚带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本，其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人.若其他年 级共有学生3000人，则该校学生总人数是7500 .【考点】B3:分层抽样方法.【分析】由题意，其他年级抽取 200人，其他年级共有学生3000人，即可求出该校 学生总人数.【解答】解：由题意，其他年级抽取

12、 200人，其他年级共有学生3000人，则该校学人 乂 日 3000 X5Q0生总人数是=7500.故答案为：7500.6 .设等差数列an的前n项和为Sn,若公差d=2, a5=10,则Sio的值是 110 .【考点】85:等差数列的前n项和.【分析】利用等差数列通项公式求出首项ai=2,由此利用等差数列前n项和公式能求出Sio.【解答】解：二.等差数列a的前n项和为Sn,若公差d=2, a5=10,a=ai+4 >2=10),解得ai=2,1QX 9 Si0=10 >2+'=110.故答案为：110.7 .在锐角 ABC中，AB=3, AC=4,若 ABC的面积为 小,

13、则BC的长是 后 .【考点】HR:余弦定理；HP:正弦定理.【分析】利用三角形的面积公式求出 A,再利用余弓S定理求出BC.【解答】解：因为锐角 ABC的面积为3/3,且AB=3, AC=4,所以 多 >3>4>SinA=3/3,所以 sinA=,所以A=60所以 cosA=-,所以 BC=/AB 2 +kC ；-2AB AC c ogA=y9+16-2 乂3乂4 Xy=/13.故答案为：713.28 .在平面直角坐标系xOy中，若双曲线，-y2=1 (a>0)经过抛物线y2=8x的焦点, a.则该双曲线的离心率是迈.Z【考点】KC:双曲线的简单性质.【分析】根据题意，

14、由抛物线的方程可得其焦点坐标，将其代入双曲线的方程可得a2的值，即可得双曲线的方程，计算可得c的值，由双曲线离心率公式计算可得答案.【解答】解：根据题意，抛物线的方程为 y2=8x,其焦点为(2, 0),若双曲线-y2=1 (a>0)经过点(2, 0)则有丁-0=1,解可得a2=4, a即双曲线的方程为：(-y2=i,贝 a=2, c=74+l=/5,则双曲线的离心率含与,a £故答案为：吟.9 .圆锥的侧面展开图是半径为3,圆心角为号的扇形，则这个圆锥的高是2/2 .【考点】L5:旋转体(圆柱、圆锥、圆台).【分析】利用扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解得到圆

15、锥的底面半径，然后利用勾股定理确定圆锥的高即可.【解答】解：设此圆锥的底面半径为r,根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2万2 71rX3,r=1；圆锥的高为：杼二? 二2叵.故答案为：2金.10 .若直线y=2x+b为曲线y=3+x的一条切线，则实数b的值是 1 .【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】先设出切点坐标 P (xo, ex°+xo),再利用导数的几何意义写出过 P的切线方程，最后由直线是y=2x+b是曲线y=6+x的一条切线，求出实数b的值.【解答】解：= y=e+x,y =ex+1,设切点为 P(X0, ex0+X0),则过P的切线方

16、程为y-ex0-xo= (ex0+1) (x-xo),整理，得 y= (ex0+1) x-ex0?x0+ex0,直线是y=2x+b是曲线y=ex的一条切线，. ex0+1=2, ex0=1, x0=0,b=1.故答案为1.11 .若正实数x, y满足x+y=1, 则上屋 的最小值是 8 .【考点】7F:基本不等式.1=+4【分析】根据题意，将变形可得则;I ：一看-1= (x+y)vV(1+4+7+丁)1=(,+T)+4,由基本不等式分析可得答案. A. JA J【解答】解：根据题意，x, y满足x+y=1,第 4 1-x 4 141 4¥ 4父y 4 箕贝Et+k7-1=(x+y)

17、 vr -仁(1+4w) t=(7V)故答案为：8.12 .如图，在直角梯形 ABCD 中，AB/ DC, / ABC=90 , AB=3, BC=DC=2 若 E, F分别是线段DC和BC上的动点，则立而的取值范围是 -4, 6【考点】9R:平面向量数量积的运算.【分析】依题意，设EC=Xa§ (0入&高)，而=萩(-K F 0),由菽而菽，而=EC+辞，可求得AC*eF= ( AB+BC) ?(鼓币)=诟"+部2=9入+4区 再由00入0二,-10但0,即可求得-409入+4但6,从而可得答案.【解答】解：V AB/ DC, /ABC=90, AB=3, BC=

18、DC=2且E, F分别是线段DC和BC上的动点，一一 2EC= XAB (0< 入09)，&=诙(T & F 0),又菽国 +BC, E? 装而AC*E?= (AB+BC) ?(EC+CF)=(TE+BC) ?(而 + 菽)一 2二储二十座=9入+4生 ,0< 入00<9X< 6,又-10 内 0,- 404乒 0,+得：-4 0 9入+4m6.即正餐而的取值范围是-4, 6,故答案为：-4, 6.13.在平面直角坐标系xOy中，已知点A (0, -2),点B (1, -1), P为圆x2+y2=2上一动点，则PBPA的最大值是 2 .【考点】J9:直线

19、与圆的位置关系.【分析】设出7.'?=t,化简可得圆的方程，运用两圆相减得交线，考虑圆心到直线的距离不大于半径，即可得出结论.PB【解答】解：设 P (x, y),正二t,则(1 t2) x2+ (1 t2) y2- 2x+ (2-4t2) y+2- 4t2=0,圆x2+y2=2两边乘以(1-t2),两圆方程相减可得x- (1-2t2) y+2-3t2=0,12-3 t2 I /L(0, 0)到直线的距离d=11+二2产戏,- t>0, .,-0<t<2,.詈的最大值是2, 故答案为2.14.已知函数f (x)=勺若函数g (x) =2f (x) -ax恰有2个不同的

20、零d-3h x<a点，则实数a的取值范围是(-二，2).【考点】54:根的存在性及根的个数判断.【分析】求出g (x)的解析式，计算g (x)的零点，讨论g (x)在区间a, +00)上的零点个数，得出g (x)在(-oo, a)上的零点个数，列出不等式解出 a的范围.(C2-a3ss s>a【解答】解：g (x) =3一L2J-(6+a)必显然，当a=2时，g (x)有无穷多个零点，不符合题意;当 x>a时，令 g (x) x=0得 x=0,当x< a时，令g (x) =0得x=0或(1)若a>0且aw2,则g (x)在a, +00)上无零点，在(-巴 a)上存

21、在零点 x=0和x=-/持(2)若a=0,则g (x)在0, +oo)上存在零点x=0,在(-8, 0)上存在零点x=符合题意;(3)若a<0,则g (x)在a, +oo)上存在零点x=0,g (x)在(-00, a)上只有 1 个零点，: 0? (-°0, a),g (x)在(-8, a)上的零点为x=一声锣，.一护母<a,解得-,<a<0.综上，a的取值范围是2).故答案为(-2).二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.已知函数f (x) =Asin(cox) (A>0,>0)图象的相邻两条对称轴

22、之间的距 兀 V3离为&且经过点() J Z(1)求函数f (x)的解析式；兀(2)若角 a 满足 f (a) +/3f ( a- - ) =1,长(0,九)，求 a值.【考点】HK:由y=Asin ( w+小)的部分图象确定其解析式；H2:正弦函数的图象.7T【分析】(1)由条件可求周期，利用周期公式可求 旧1,由f (x)的图象经过点守,可求As得普.解得A=1,即可得解函数解析式.(2)由已知利用三角函数包等变换的应用化简可得sinQ4.结合范围 处(0,兀), 即可得解a的值.【解答】解：（1）由条件，周期T=2%即=2 %所以31,即 f (x) =Asin(x+).J I因

23、为f （x）的图象经过点（；，与L）,所以Asin里 . .A=1, -f (x) =sin (x+).(2)由 f ( a) +/5f ( a-7C2x)=1,得 sin (所二)+/3sin (民一)=1,即 sin ( o+) -VScos ( a+-) =1,可得：2sin(a+)一卷=1,即 sina4.R Tf因为aC (0,冗)，解得：kk或216.如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABC皿矩形，平面PAD，平面 ABCR AP=AD,M, N分别为棱PD, PC的中点.求证:(1) MN/平面 PAB(2) AMXT面 PCD.【考点】LW:直线与平面垂直的判定；LS:直线与平

24、面平行的判定.【分析】（1）推导出MN/DC, AB/ DC.从而MN/AB,由此能证明MN/平面PAB.(2)推导出 AMPD, CD±AD,从而 CD，平面 PAD,进而CD，AM,由此能证明AM，平面 PCD.【解答】证明：(1)因为M、N分别为PD PC的中点，所以MN/ DC,又因为底面ABCD是矩形，所以 AB/ DC 所以 MN/ AB,又AB?平面PAB, MN?平面PAB,所以MN/平面PAB.(2)因为AP=AD, P为PD的中点，所以 AMXPD).因为平面PAD，平面ABCR又平面 PADA 平面 ABCD=AD CD，AD, CD?平面 ABCD所以CD，平

25、面PAD,又AM?平面PAD,所以CD，AM.因为 CD PD?平面 PCD, CDA PD=D, AM，平面 PCD.2217.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆工可卷=1 (a>b>0)的左焦点为F(-1, bz0),且经过点(1 V).(1)求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的弦AB过点F,且与x轴不垂直.若D为x轴上的一点，DA=DB求萼的值.【考点】KL:直线与椭圆的位置关系.【分析】(1)根据椭圆的定义，即可求得2a=4,由c=1, b2=a2-c2=3,即可求得椭圆的标准方程；(2)分类讨论，当直线的斜率存在时，代入椭圆方程，由韦达定理及中点坐标公式求得M点坐标，求得直

26、线AB垂直平分线方程，即可求得 D点坐标，由椭圆的第二定义，求得I AF |(治+4),即I BF |工(X2+4),利用韦达定理即可求得I ABABI ,即可求得 w 的化【解答】解：(1)由题意，F (- 1, 0),由焦点F2 (1, 0),且经过P (1,二),由 I PF I + I PF2 I =2a,即 2a=4,贝U a=2,b2=a2 - c2=3,22.椭圆的标准方程 -=1;q 3(2)设直线AB的方程为y=k (x+1).若 k=0 时，I AB I =2a=4, I FD I + I FO I =1,I I I "1FT=4,若20时,A (xi,yi）,

27、B（X2, y2）, AB 的中点为 M （x。，y。）,(x+1)，戈2 y2,整理得：(4k2+3) x2+8k2x+4k2- 12=0,+-=1xi+x2=-3Mk2xd =4k23kT,贝U yo=k (xo+1) =_ , 23+4 k23+4产3k I 1,4k2则AB的垂直平分线方程为y . k/（xG），由 I DA I = I DB I ,贝U点D为AB的垂直平分线与x轴的交点,.D (一k2，0),DF I =-好十3kz3+4k2+1=3+41c21| I AF I i1由椭圆的左准线的方程为x=- 4,离心率为目，由盯的 丁 得I AF |至（xi+4）,同理 I BF

28、 | 当(xz+4),1 z ,、，. 12+12k2.I AB I = I AF I + I BF I斤（Xi+冷）+4=亍23+4kABDF二45, 式; 叶，1<t<2图1图2则综上，得的值为4.18.如图，半圆AOB是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA的长为1百米.为了保护景点，基地管理部门从道路 l上选取一点C,修建参观线路C- D-E -F,且CD, DE, EF均与半圆相切，四边形 CDE既等腰梯形，设DE=t百米，记修建每1百米参观线路的费用为f (t)万元，经测算f (t)(1)用t表示线段EF的长；(2)求修建参观线路的最低费用.【考点】6K:导数在

29、最大值、最小值问题中的应用.【分析】(1)设DQ与半圆相切于点Q,则由四边形CDEF等腰梯形知，OQ,DE, 以CF所在直线为x轴，OQ所在直线为y轴，建立平面直角坐标系xoy.设EF与圆切于G点，连接OG,过点E作EHI±OF,垂足为H,可得RtA EH售RtAOGF, HF=FG=EF-陈 利用 EF=1+HF=1+(EFat)2，解得 EF zz(2)设修建该参观线路的费用为y万元.当口14喜，由丫=5254+1 =5t玲).利用y',可得y在(0，当上单调递减，即可得出y的最小值.1 1+11 c c 2当一式1式2时，y=(8w)2(二十)+=12tq-彳-二彳.利

30、用导数研究函数的单调性极值最值即可得出.【解答】解：(1)设DQ与半圆相切于点Q,则由四边形CDE既等腰梯形知，OQXDE,以CF所在直线为x轴，OQ所在直线为y轴，建立平面直角坐标系xoy.设EF与圆切于G点，连接OG过点E作EH，OF,垂足为H. EH=OG /OFG之 EFH / GOFW HE5Jj, RtAEHfRtAOGF . HF=FG=EFQ.1.-j.-，EF=1+Hf2=1+(EF-yt),t 1解得 EFb+j (0<t<2).(2)设修建该参观线路的费用为y万元.当（X<曰,由丫=52（一弋）十/=5号4:）.丫'=5c|号）<0,可得丫

31、在3 -上单调递减,.t=1时，y取得最小值为325当StV时，y=(3) 2(-A)-btr=12t+-y -p_12 2L+3t-Dy =12- J+-t3.A<t<2, .3t2+3tT>0. IJ，te (» 1)时，y'< 0,函数y此时单调递减；tC (1, 2)时，y'> 0,函数y此时 J单调递增.t=1时，函数y取得最小值245 由知，t=1时，函数y取得最小值为245 答：（1） EF+： （0<t<2）（百米）.（2）修建该参观线路的最低费用为 24.5万元.19.已知&是公差为d的等差数列，bn

32、是公比为q的等比数列，qw 土，正整数组E= (m, p, r) (m<p< r)(1)若 ai+b2=a+b3=a+bi,求 q 的值；(2)若数组E中的三个数构成公差大于1的等差数列，且am+bp=ap+br=ar+bm,求q的 最大值.(3)若bn=(-叁)n 1, am+bm = a+bp=a+br=0,试写出满足条件的一个数组E和对应的 通项公式a.(注：本小问不必写出解答过程)【考点】84:等差数列的通项公式.【分析】(1)由a+b2=&+b3=a3+b1,利用等差数列与等比数列的通项公式可得:a+biq=.+d+b遇=a+2d+bi,化简解出即可得出.(2)

33、am+bp=a?+br=ar+bm,即 a am=bp br,可得(p m) d=bm (qp m - qr m),同理可得：(rp) d=bm (qr-m1).由 m, p, r 成等差数列，可得 p- m=r- p= (rm),记qp m=t,解得tW.即qp-mK,由-1<q<0,记p-m=a, a为奇函数，由公差大于1,3.可得何|二号>)1 cc,即q(育尸，即可得出.(3 )满足题意的数组为E= ( m , m+2 , m+3 ),此时通项公式为： an=总)及 110得11-1) , m C N*.【解答】解：(1) = 日+质=&+&=&

34、;+>, .a1+b1q=ai+d+biq'=a+2d+bi,化为：2q2- q 1=0, qw +.解得q=-(2) am+bp=a+b=ar+bm, 即 ap am=bp- br,(pm) d=bm (qp m - qr m),同理可得：(r-p) d=bm (qrm-1)., m, p, r 成等差数列，. p- m=r- p=y (rm),记 qp-m=t,则 2t2 tT=0,.qw 土，tw 土，解得 t=. IP qp m=rr,- 1<q<0,记p-m=a, a为奇函数，由公差大于1,.a3. 11 I 1J" |q|吗/)当m3时，q取得最

35、大值为- 专)3 .(3 )满足题意的数组为E= ( m , m+2 , m+3 ),此时通项公式为： a= I2)1rl 1, m C N*.311例如 E= (1, 3, 4), an京20.已知函数f (x) =aX+cosx (a R)记f (x)的导函数为g (x)(1)证明：当a=1-时，g (x)在R上的单调函数；(2)若f (x)在x=0处取得极小值，求a的取值范围；+oo(3)设函数h (x)的定义域为 D,区间(m, +00)? D.若h (x)在(m, +00)上是单调函数，则称h (x)在D上广义单调.试证明函数y=f (x) - xlnx在0, 上广义单调.【考点】6

36、D:利用导数研究函数的极值；6B:利用导数研究函数的单调性.【分析】(1)求出函数的导数，根据导函数的符号，求出函数的单调区间即可；(2)求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，单调函数的极小值, 从而确定a的具体范围即可；(3)记h (x) =aX+cosx- xlnx (x>0),求出函数的导数，通过讨论 a的范围结合函 数的单调性证明即可.【解答】(1)证明：a=r时，f (x) =1-x2+cosx, 上上故 f' (x) =x- sinx,即 g (x) =x- sinx, g' (x) =1 - cosx> 0,故g (x)在R递增；(2)

37、解：g (x) =f' (x) =2ax- sinx, . .g' (x) =2a- cosx,a/'时,g (x) > 1 - cosx>0,函数 f' (x)在 R 递增，若 x>0,则 f' (x) >f (0) =0,若 x<0,则 f' (x) <f' (0) =0,故函数f (x)在(0, +oo)递增，在(-oo, 0)递减，故f (x)在x=0处取极小值，符合题意； a0-用时，g (x) < - 1 - cosx< 0, f' (x)在 R 递减， 若 x>0

38、,则 f' (x) <f' (0) =0,若 x< 0,则 f' (x) >f' (0) =0,故f (x)在(0, +oo)递减，在(-oo, 0)递增，故f (x)在x=0处取极大值，不合题意；-tva<1时,存在 x°C (0,冗),使得 cos%=2a,即 g' (x0) =0,但当 x (0, xq)时，cosx>2a,即 g' (x) <0, f' (x)在(0, x0)递减,故f' (x) <f' (0) =0,即f (x)在(0, xq)递减，不合题意,

39、综上，a的范围是母，+00)；(3)解：记 h (x) =a4+cosx xlnx (x>0),a>0 时，lnx<x,则 In T,即 lnx<2几, K 5当x> J十匹百时,h (x) =2ax- sinx- 1 - lnx>2ax- 2& - 2=2(叵-)(Vk>0,2故存在m=,函数h色)在(m, +oo)递增;2a2)a<0 时，x>1 时，h (x) =2ax sinx - 1 - lnx< - sinx - 1 - lnx<0,故存在m=1,函数h (x)在(m, +00)递减;综上，函数y=f (x)

40、 -xlnx在(0, +00)上广义单调.选彳4-1 :几何证明选讲21.如图，已知AB为圆。的一条弦，点P为弧AB的中点，过点P任作两条弦PC,PD分别交AB于点E, F求证：PE?PC=PFPD.【考点】NC:与圆有关的比例线段.【分析】连结 PA、PB CD BC,推导出 / PFE=/ PBA吆 DPB=/ PCB吆 DCB=Z PCR从而E、F、D、C四点共圆.由此能证明 PE?PC=PFPD.【解答】解：连结PA、PR CD BC,因为/ PAB=Z PCB,又点P为弧AB的中点，所以/ PAB=Z PBA,所以/ PCB=Z PBA,又 / DCB=Z DPB,所以/ PFE=/

41、 PBA+Z DPB=/ PCB吆 DCB=Z PCD,所E、F、D、C四点共圆.所以 PE?PC=PFPD.选彳4-2 :距阵与变换22 .已知矩阵M= 一，点（1, -1）在M对应的变换作用下得到点（-1,5）, .-1 b.求矩阵M的特征值.【考点】OV:特征值与特征向量的计算.【分析】设出矩阵，利用特征向量的定义，即二阶变换矩阵的概念，建立方程组，即可得到结论.【解答】解：由题意， :；='，即解得a=2, b=4,所以矩阵1M=,_ "1所以夕1阵M的特征多项式为f （入）=1:=入2-5人+6,令f （入）=0,得夕!阵M的特征值为2和3.k -1 I选彳4-4

42、:坐标系与参数方程23 .在坐标系中，圆C的圆心在极轴上，且过极点和点（3月，二）,求圆C的极坐 标方程.【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程.【分析】因为圆心C在极轴上且过极点，所以设圆 C的极坐标方程为：产acosB,又 因为点（3&,泉）在圆C上，代入解得p即可得出圆C的极坐标方程.【解答】解：因为圆心C在极轴上且过极点，所以设圆C的极坐标方程为：尸acosB,L 冗I又因为点（3叵彳）在圆C上，LJC所以 卬声acos丁，解得a=6,所以圆C的极坐标方程为： 尸6cos8.选彳4- 4-5 :选修4-5 :不等式选讲24 .知 a, b, c, d是正实数，且 abcd=1,求证：a5+b5+c5+d5>a+b+c+d.【考点】R6:不等式的证