八年级暑假同步讲义：第7讲因式分解法及配方法求解一元二次方程

1、1/14一元二次方程的解法q U因式分解法及配方法解一元二次方程内容分析利用因式分解法及配方法解一元二次方程是八年级数学上学期第十七章第 二节内容，主要对一元二次方程因式分解和配方法两种解法进行讲解，重点是对 一元二次方程这两种解法的原理和过程的理解，难点是因式分解法和配方法在解 一元二次方程中的灵活应用.通过这节课的学习一方面为我们后期学习求根公式 法解一元二次方程提供依据，另一方面也为后面学习一元高次方程奠定基础.知识结构模块一：因式分解法解一元二次方程知识精讲1、因式分解法定义运用因式分解的手段求一元二次方程根的方法叫做因式分解法.2、因式分解法理论依据如果两个因式的积等于零，那么这两个

2、因式中至少有一个等于零；反之，如果两个因式中至少有一个等于零，那么这两个因式的积也等于零（即：当 A B 0时，必有A 0或 B 0;当A 0或B 0时，必有A B 0）.通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题.3、因式分解法解二次方程一般步骤将方程右边化为零;将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积;令每一个因式分别为零，得到两个次方程;分别解这两个次方程，它们的解就是原方程的解.例题解析).【例1】 已知x、y是实数，若xy 0,则下列说法正确的是（A、x一定是0B、yC、x 0 或 y【例2】口答下列方程的

3、根:(1) x(x 8) 0;(2)(x4)(x3)0；(3)(x7)(x 6) 0;(4) (5x 1)(x 2) 0;(5)(xa)(xb)【例3】解下列方程:(1) 5x2+6x 0;23x4x【例4】解下列方程:(1) 5x(3x 2) (x1)(3x2)0；(2)3x 2x 5【例5】解下列方程：/、2(1) x 23x12(3) 4x 4x 1 0;【难度】，一、一一2_ 2 一 9(2x 1)16(x 2)0;，、 一2 一一(4) 12x x 36.，一、2一 x 4x 21 .，一、一 2 一一 0.1x1.2 0.4x .【例6】解下列方程：(1) x2 7x 12 0;【

4、难度】【例7】解下列方程：(1) x2 3x 18 0;【难度】【例8】解下列方程：2(1) 2x x 2 x 5;【难度】-I ， - A 、 一I2【例9】解方程：x 52 x 58.【难度】【例10】已知一个一元二次方程的两个根分别为2和-3,用刚学的因式分解法思想，直接写出满足条件的一个一元二次方程 .【难度】【例11】 学生A在解一元二次方程x(x 1) x时过程如下，请判断是否正确，若不正确，请说明理由.解：等式两边同时消去相同的数x,得到x 1 1解得x 2 ,所以原方程的根为：x 2 .【难度】【例12解方程：x2 (、而，x 2屈 0 .【难度】【例13解方程：(1 72)

5、x2(3 J2)x 22 0 .【例14解关于y的方程:222by a b ( a、b为已知数).【例15解关于x的方程:3x4x2 10 0.【例16解关于x的方程:(x25x)2 10x2 50x 24 0 .模块二：配方法解一元二次方程知识精讲11/141、配方法定义先把方程中的常数项移到方程右边，把左边配成完全平方式， 然后用直接开平方法求出一元二次方程的根的解法叫配方法.2、配方法理论依据配方法的理论依据是完全平方公式：a2 2ab b2 (a b)2 .3、配方法解一元二次方程一般步骤先把二次项系数化为 1:即方程左右两边同时除以二次项系数;移项：把常数项移到方程右边；配方：方程两

6、边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成(x m)2 n的形式;当n 0时，用直接开平方的方法解变形后的方程.例题解析【例17】构造完全平方式，完成下列填空：)2；22222(1)x26x()2(x)2;(2)x28x ()2(x)222221. 2.(3)x10x()(x) ；(4)xx ()(x【难度】【例18】用配方法解方程：x2 2x 1 0.【难度】【例19】用配方法解方程:【难度】2x 10x 9975 0.【例20】用配方法解方程:【难度】y2 473y 2013 0 .【例21】用配方法解方程:【难度】2x2 5x 20 0 .【例22】用配方法解方程:【难度】_ _ 21c

7、0.3x0.2x 0 .30【例23】用配方法解方程:【难度】【例24】用配方法解关于x的方程：x2 2ax【难度】【例25】用配方法解方程：(x 1)2 2(x 1)【难度】【例26若把代数式x2 2x 3化为(x m)2则 m k .【难度】【例27】已知方程x2 6x q 。可以配方成配方成卜列的().22A、(x p) 5B、(x p) 9C、【难度】【例28】 用配方法解关于x的方程：ax2 bx【难度】:4 b2 a2 0.1 0 (要求用整体法的思想求解).k的形式，其中m、k为常数，(x p)2 7的形式，则x2 6x q 2可以 22(x p 2)2 9D、(x p 2)2

8、5c 0 (a 0).13/140的两根,【例29】 已知 ABC的一边长为4,另外两边长是关于x的方程x2 3kx 2k2当k为何值时， ABC是等腰三角形？【难度】【例30】 求证：无论x为何值，代数式2x2 4x 5的值总是小于 2 .【难度】15/143E)随堂检测【习题1】完成下列填空：(1)方程x2 低的根为;(2)方程(y 1)(y 2) 0的根为;(3)方程x(x 2) 4(x 2)的根为.【难度】【习题2】完成下列填空：(1) x2 4x() (x )2；(2)y2 ( )y 25 (y)2.4【难度】【习题3】用因式分解法解下列方程，并写出是因式分解法中哪类方法:(1)5x

9、2 4x0；4x2(3x 2)20；(3)x26x 90；(4)x2x 6 0.【难度】【习题4】已知一个一元二次方程的两个根分别为3和6 ,那么这个方程可以是().A、x2 3x 18 0 B、x2 3x 18 0C、x2 3x 18 0D、x2 3x 18 0【习题5】用适当的方法解下列方程:2(1) 4x x2(3) x 2x 3(5) 2x2 x 7【难度】【习题6】解方程：【难度】【习题71 如果x2【难度】21;(x2)(x2) 2(x2);20 ;(4)x3x18 0 ；220;(6)4(x3)25(x 2)0.2x2 4V5x 475 V5x2 8 .2(m 1)x m2 5是

10、一个完全平方式，求 m的值.【习题8】用配方法说明：不论 x为何值，代数式2x2 6x 5的值总大于0.【难度】【习题9】解关于x的方程：mx(m x) mn2 n(n2 x2) 0.【难度】【习题10】 若实数x、y满足(x2 y2)2 (x2 y2) 6 0 ,求x2 y2的值.【难度】_ 18/1419/14课后作业，一、2_一一(2)x25x240;(4) x2 2x 4 0 ；2(6) x23x 5 0 .【作业i】用因式分解法及配方法解下列方程:(1) (x 4)2 5(x 4)；(3) x2 10x 4200 0；(5) 3x2 5x 1 0;【难度】【作业2】 已知方程(a2 b2 3)(2 a2 b2) 0 ,则a2 b2的值为().A、2【难度】B、,3C、 2或3D、以上都不对【作业3】用适当的方法解卜列方程：(1)3x(x 1) 3x3；(2)7x223x 20 0 ；(3)2x(x 2) x25 .(4)(x3)(x 4) 8;(5)(3x 2)(2x 1)x(3x 2) 0;(6)(x21)2 5(x21) 4 0；(7) 2y2 (，7 v5)y , 0 .2【难度】【作业4】 若 ABC的三边a、b、c的长度是x2 7x 6 0的解，求 ABC的周长.【难度】【作业5】 求证：无论x为何值，代数式x2 4x 5的值总是