2008年高中数学竞赛试卷(含答案及解析)

1、、选择题1.已知集合A. AI2.3.4.2008年浙江省高中数学竞赛试卷（2008年4月13日（星期日）上午 9:（本大题满分36分,每小题6分）00-11 : 00)C. A BA.C.x 1 时，f(x)22f (x) f(x )f(x) f(x2)1,xf(x)f2(x)R ,B,则下列正确的是（B.AI BD. A B y则下列大小关系正确的是设f（x）在0,1上有定义，要使函数11 1a.(，2)； B. 32；已知P为三角形ABC则 ABC 一定为（A.直角三角形;B.B. f(x2)D. f(x2)f (x a)C.（2，内部任一点（不包括边界）等边三角形;f2(x)f(x)f

2、(x)f2(x)f （x a）有定义，则 a的取值范围为); D.(uuv,且满足(PB.25.已知f x xb2 1标的最大值是（B. 26.圆锥的轴截面SAB是边长为11，2 2，uv uuv uuvPA)(PB PAC.等腰直角三角形；D.等腰三角形uuuv2PC) 0,2ab b2是偶函数，则函数图象与 y轴交点的纵坐C. 2 2D. 42的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）。若AM LMP,则P点形成的轨迹的长度为（A. .7B.二 C. 33D.-2、填空题 （本题满分54分，每小题9分）7 . cos曲Vx2 5x 7 &_5x 6)

3、= a8 .设a,b,c,d为非负实数，满足一a一b c d9.设 f(x)a b1lg x1 2小则f（x）心10.设实系数7L二次方程x2ax 2b 2 0有两个相异实根，其中一根在区间（0,1）内,另一根在区间(1,2)内，则 b a11.已知R,直线 sin4的取值范围是1x y sin sin cos1 与x一cos siny1 cos cos的交点在直线y x 上，贝U sin cos sin cos12.在边长为角形时，顶点A正好落在边BC上。AD的长度的最小值为1的正三角形 ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段 DE折叠三得分评卷人三、解答题（本题满分60分，每小题

4、20分。解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤。）2213.已知椭圆C：三41 （a b 0）,其离心率为-,两准线 a b5之间的距离为25。（1）求a,b之值；（2）设点A坐标为（6, 0）, B为 2椭圆C上的动点，以A为直角顶点，作等腰直角 ABP （字母A, B, P按顺时针方向排列），求P点的轨迹方程。得分评卷人14.求解不等式vx2a x i 1。得分评卷人15.设非负等差数列an的公差d 0,记Sn为数列an的前n项和,证明：1）若m,n,1n 2 p ,则 Sm1Sn12007 12）若 a503 ,则一2008。1005n 1 Sn四、附加题(本大题满分50分。解答应写出

5、文字说明，证明过程或演算步骤。选考B卷的学生选做本大题，不计入总分。)16.设1, 2,L , 2008为2008个整数，且1 i9 (i 1,2,L ,2008 )。如果存在某个k 1,2,L ,2008,使得2008位数k k1L2008 1 r 被101整除，试证明：对一切 i 1,2,L ,2008 , 2008 位数 i i 1L 2008 1 L i 1 均能被 101 整除。17. 将 3k（ k 为正整数）个石子分成五堆。如果通过每次从其中 3 堆中各取走一个石子，而最后取完，则称这样的分法是“和谐的” 。试给出和谐分法的充分必要条件，并加以证明。2008年浙江省高中数学竞赛试

6、卷及参考答案二、选择题（本大题满分36分,每小题6分）1.已知集合1,xR ,B2 0 ,则下列正确的是（A. AI BB. AIC. A BD. A解：因为A1 ,B1,或x,所以有AI正确答案为Ao2.当 0 x1时,f(x)则下列大小关系正确的是（A, f2(x)f(x2)f(x)B.- 2- 2-f(x )f (x)f(x)C. f(x)f(x2)f2(x)D.f(x2) f(x) f2(x)解：当0 x1时,f(x)1g x2f(x2)泰 0'f2(x)1g x0。又因为x21g x 1g xc22x x21g x(2x)x21g x0。所以2f(x) f(x )-2 ,、

7、一f (x)。选 Co3.f（x）在0,1上有定义，要使函数f(xa)f (xa）有定义,则a的取值范围为A.1)., 2，'B.1 1123 c. (2D.函数f （xa)f （x a）的定义域为a,1aa,1a。当a 0时，应有4 .wv已知 Puuv uuv；当a 0时，应有 a(PB PA)( PBULV角形 ABC 内部LUIVPA 2PC) 0,则4ABC任一点定为（1O2包因此，选Bo边界），且满足A.直角三角形;B.等边三角形；C.等腰直角三角形;D.等腰三角形uuv uuv 解：因为PB PAuuu uuvAB,PBuuv uuu uuu2PC CB CA ,所以已知

8、条件可改写为uur uuuAB (CBuuuCA） 0。容易得到此三角形为等腰三角形。因此选Do5.已知f22222 一x x a b 1 x a 2ab b是偶函数，则函数图象与 y轴交点的纵坐标的最大值是（）A. 应 B. 2 C. 2贬D. 4解：由已知条件可知，ax2 ax 2b 2 0有两个相异实根，其中一根在区间（0,1）内, b2 1 0,函数图象与y轴交点的纵坐标为a2 2ab b2。令a cos , b sin ,贝U222c.2a 2ab b cos 2sin cos sin cos2 sin 222 o 因此选 A。6.圆锥的轴截面 SAB是边长为2的等边三角形,O为底面

9、中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）。若AM LMP,则P点形成的轨迹的长度为（）A. 7B. _7_2C. 33 D.-2解：建立空间直角坐标系。设A(0,-1,0), B(0,1,0), S(0,0,、.3), M (0,0,P(x,y,0).于是有 AM （0,1,）, MP （x,y,乌.由于 AM，MP,所以（0,1，费）（x,y, ） 0,即 y -, 22224此为P点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为2j 昌2 亘。因此选Bo二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. cos( .1 . x2 5x7 Jx2 5x 6)=解：根据题意要求， x2 5x 6

10、 0, 0 x2 5x 7 1。于是有x2cos（.1.x25x 7 &_5x6） cos0 1 。因此答案为 1。5x 7 1。因此8.设a,b,c,d为非负实数，满足一a b c dabbccddac d a d a b b c解：显然a b c d 0,由于一a一 b c d1 111b c d a c d a b d a b cba c d于是有aabbccdda4。cdadabbc111 一9.设 f(x) - 7,则 f(x) f(-) 1 21gx 1 41g x 1 81gxx 解:f(x)f(1)xlgxlg x1 2g 1 4glgx1 8glgxlg xlg x1

11、 2 g 1 4 g 1 8 g3。10.设实系数一元二次方程另一根在区间（1,2）内，则b_J的取值范围是 a 1解：根据题意,设两个相异的实根为X1, X2，且 0X11X22,则于是有1 X1x23,0X1X22b2。1,1 b 2,也即有2。E1即取值范围为一211.已知R,直线X一sin sinysin cosxcos siny1 cos cos的交点在直线x 上，贝U sin cossin cos解：由已知可知，可设两直线的交点为（x0, x0）,且sin,cos 为方程X0X0的两个根，即为方程t* 2 (cos的两个根。因此sinsint sint cossincoscos)t

12、 sin(sincoscossin cos),0。x0 (cossin )12.在边长为角形时，顶点1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段 DE折叠三正好落在边BC上。AD的长度的最小值为解：设ADX,ADE,ADE 关于 DE的对称图形，A的对称点G落在BC上。在 DGB中,sin 3sin(2 -)3.3 2sin(2 一)3当 sin(2 ) 31时,即Xmin.32 <33。三、解答题（本题满分60分，每小题20分。 2 .一 X得分 评卷人 13.已知椭圆C:解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤。）y椭圆C上的动点，以AB, P按顺时针方向排列）一 4

13、2 1 （ a b 0 ）,其离心率为一，两推线b5求a, b之值；（2）设点A坐标为（6, 0）, B为解：（1）设c为椭圆的焦半径，则,2c 4 a 25,a 5 c 4于是有a = 5, b=3。（2）解法一：设B点坐标为（s,t）, P点坐标为（x, y）。于是有uuuuuuAB (s 6, t) , AP (x 6, y)uuu uuu因为 AB AP,所以有（s 6, t）（x 6, y） （s 6）（x 6） ty 0。（A1 ）又因为ABP为等腰直角三角形，所以有 AB=AP ,即J(s 6)2 t2 J(x 6)2y2 。(A2 )由（A1）推出s 6tyx 6(s 6)2.

14、2 2(TV代入A2),得 t2 (x 6)2从而有 y2 (s 6)2,即s 6y （不合题意，舍去）或22代入椭圆方程，即得动点 P的轨迹方程（x 6） （y 6）1。925解法二：设B（xi,yi）,P（x,y）, AB r ,则以A为圆心，r为半径的圆的参数方程为x 6 r cos y r sin设AB与x轴正方向夹角为,B点的参数表示为X 6 r cos y1 r sinP点的参数表示为x 6 r cos(900) 口门 x 6 r sin即0、,y rsin(90 ) y r cos从上面两式，得到x16 yoyi x 6又由于B点在椭圆上，可得4 22 2(x 6) (y 6)1

15、925得分评卷人此即为P点的轨迹方程。14.求解不等式&a x i 1。综合(1) ( 4)可得解：(I) x 1情形。此时不等式为 Jx2 a x 2。于是有2 x a 0(1) x 2 0 .x2 a x 2因此当a 0时，有1 x 2;当0 a 1时，有1 x 2;当1 a 4时，有指 x 2；当a 4时，空集。22x ax a 0 x 2(2) x 2 0。x2 a x 2 x - 14此时有当a 0时，有x 2；当0 a 1时，有x 2；当1 a 4时，有x 2；当2时，x a 1。4(II ) x 1情形。此时不等式为 Jx2 a x。于是有(3)2x a 0因此当a 0时

16、，有0 x 1；当0 a 1时，有Ja x 1；当a 1时，空集22x2 a 0 x a(4)x 0 x 0x2 a x x2 a x2因此当a 0时，有x 0；当a 0时，空集当a 0时，有x R；当0 a 4时，有x ja ；当a 4时，x1。得分评卷人15.设非负等差数列证明:an的公差d 0 ,记Sn为数列an的前n项和,解：设非负等差数列(1)(2)1)若 m,n, p N2)右 a503an的首项为ai11005，且m n 2p ,则2007 4，则 n 1 Sn2008。0。因为m n 2p,所以m2从而有（ap）2SnSm (m2pai2paSn Sm1Sm2007 in 1

17、Sn因为又因为n)aiaiSnn(n 1) i2 m_d2p2,amann(ai an)na1n(n2m(m 1)d222p 2p-2-d 2Spn(ai an) m(ai am)mn4ai(am231apapapp(ai ap)Sp2ap。an )amanSmSnSmSn2spSpSp2Sp2*i003 i1S200720071S2006§003L§0051§004S1004S10041004 ai§00403 di004(ai502d)1004a5031004，所以有10052007 i n 1 Sn200720071005§0041004

18、2008.B卷的四、附加题(本大题满分50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。选考学生选做本大题，不计入总分。)16 .设1, 2,L , 2008为2008个整数，且1 i 9 (i 1,2,L ,2008 )。如果存在某个k 1,2,L ,2008,使得2008位数k k1L 2008 1 r 被101整除，试证明：对一切 i 1,2,L ,2008 , 2008 位数 i i 1L 2008 1 L i 1 均能被 101 整除。解：根据已知条件，不妨设k=1,即2008位数1 2L 2008被101整除，只要能证明2008位数2 3L 2008 1能被101整除。事实上，A1 2L 2008102007 1 102006 2 L 102008 )B I1020071 0 2006 I 102 32008 12320081从而有10A B (102008 1 ) 1 (104)502 1 1 (9999 1)502 1 1 9999 N 1 1 1 ,即有B 10A 9999N 1。因为 101 A,1019999,所以 101B。利用上述方法依次类推可以得到对一切 i 1,2,L ,2008 , 2008 位数 i i 1L 2008 1 L i 1 均能被 101 整除。17 .将3k (k为正整数)个石子分成五堆。如果