逆矩阵的概念

1、逆矩阵的概念逆矩阵的概念1.二阶矩阵与平面列向量的乘法法则为二阶矩阵与平面列向量的乘法法则为: :0110120111221220210220 xaxayaaaayaxay复习引入复习引入2.几种常见的平面变换及相应的变换矩阵几种常见的平面变换及相应的变换矩阵: :恒等变换恒等变换垂直伸压变换垂直伸压变换1 0 0 1 0 0 1a1 0 0 b反射变换反射变换旋转变换旋转变换10011001100101100110cossinsincoscossinsincos复习回顾复习回顾3.矩阵乘法的法则是矩阵乘法的法则是: : ab efaebgafbhcdghce dgcfdh 4.矩阵乘法矩阵乘

2、法MN的几何意义：的几何意义： 对向量连续实施的两次几何变换对向量连续实施的两次几何变换( (先先TN, ,后后TM) ) 的复合变换的复合变换. . 投影变换投影变换切变变换切变变换2.几种常见的平面变换及相应的变换矩阵几种常见的平面变换及相应的变换矩阵: :10001010101k 对于下列给出的变换矩阵对于下列给出的变换矩阵A,是否存在矩阵是否存在矩阵B使得连续进行两次变换使得连续进行两次变换(先先TA后后TB)的结果与恒等的结果与恒等变换的结果相同变换的结果相同?(1) 以以x轴为反射轴作反射变换轴为反射轴作反射变换;(2) 绕原点逆时针旋转绕原点逆时针旋转600作旋转变换作旋转变换;

3、(3) 横坐标不变横坐标不变,沿沿y轴方向将纵坐标伸为原来的轴方向将纵坐标伸为原来的 2倍作伸压变换倍作伸压变换;(4) 沿沿y轴方向轴方向,向向x 轴作投影变换轴作投影变换;问题情境问题情境(5) 纵坐标纵坐标y不变不变,横坐标依纵坐标的比例增加横坐标依纵坐标的比例增加, 且且(x,y) (x+2y,y)的切变变换的切变变换. 对于二矩阵对于二矩阵 A,B 若有若有 AB=BA=E则称则称 A 是可逆的是可逆的, B 称为称为A 的的逆矩阵逆矩阵.通常记通常记 A的逆矩阵为的逆矩阵为 A-1.若二阶矩阵若二阶矩阵 A 存在逆矩阵存在逆矩阵 B,则逆矩阵是唯一的则逆矩阵是唯一的.建构数学建构数

4、学逆矩阵的逆矩阵的唯一性唯一性.思考思考:A的逆矩阵有多少个的逆矩阵有多少个？理由是什么理由是什么? 1.用几何的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵用几何的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵,若存在把它求出来若存在把它求出来;若不存在若不存在,说明理由说明理由.1010(1)(2)210010110(3)(4)1010ABCD结论结论: 当一个矩阵表示的是平面上向量到向量的当一个矩阵表示的是平面上向量到向量的一一映射时一一映射时,它才是可逆的它才是可逆的.逆矩阵就是对原先变换实施的逆变换所对应的逆矩阵就是对原先变换实施的逆变换所对应的矩阵矩阵.学以致用学以致用-1,.:abAcddbadbcadbcA

5、caadbcadbc 一般地 对于二阶矩阵它的逆矩可逆阵为学以致用学以致用2.求矩阵求矩阵A = 的逆矩阵的逆矩阵.5173(0)adbc, , ,?abAa b c dcd若可逆 则满足什么条件二阶矩阵的乘法二阶矩阵的乘法AB的几何意义是什么的几何意义是什么?那么连续实施两次几何变换那么连续实施两次几何变换AB的逆变换是什么呢？的逆变换是什么呢？学以致用学以致用若二阶矩阵若二阶矩阵 A,B 均存在逆矩阵均存在逆矩阵,则则 AB 也存在逆矩阵也存在逆矩阵,且且 (AB)-1=B-1A-1你能证明你能证明(AB)-1=B-1A-1吗吗?证证:由由A,B可逆可逆,设其逆矩阵分别为设其逆矩阵分别为A

6、-1,B-1.则有则有:AA-1=A-1A=E,且且BB-1=B-1B=E.又又(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E;(B-1A-1) (AB)=B-1(A-1A)B=B-1EB=E所以所以(AB)-1=B-1A-13.:1001(1)01101101(2)20201ABABAB试从几何变换角度求矩阵的逆矩阵学以致用学以致用从代数运算的角度呢从代数运算的角度呢? ?学以致用学以致用1124.,.49AA已知求对于二阶矩阵什么条件下可以满足消去律对于二阶矩阵什么条件下可以满足消去律? 已知已知 A, B, C 为二阶矩阵为二阶矩阵,且且 AB=AC ,若矩阵若矩阵 A 存在逆矩阵存在逆矩阵,则则 B = C11111()()()()AAAEBAA BAABAACAA CC-=Q证明： 矩阵 存在逆矩阵于是学以致用学以致用设设B1, ,B B2是是A的两个逆矩阵的两个逆矩阵, ,则由逆矩阵的定义知则由逆矩阵的定义知: