第六章定积分的应用

1、 解解:两曲线的交点两曲线的交点).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy选选 为积分变量为积分变量x3, 2 x2xy xxy63 于是所求面积于是所求面积21AAA dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 说明：注意各积分区间上被积函数的形式说明：注意各积分区间上被积函数的形式3. 如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积:.)()(21 ttdtttA 解解:椭圆的参数方程椭圆的参数方程 tbytaxsincos由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍

2、第一象限部分面积 aydxA04 02)cos(sin4tatdbdttab 202sin4.ab xo d d 面积元素面积元素: ddA2)(21 曲边扇形的面积曲边扇形的面积.)(212 dA )( r解解: dadA22)cos1(21 利用对称性知利用对称性知.232a d d2)cos1( 02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴而成的立体这直线叫做旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台取取积积分分变变量量为为x，,bax

3、 dxxfdV2)( xdxx xyo旋转体的体积为旋转体的体积为dxxfVba2)( )(xfy yr解：解： hPxhry , 0hx xo直线直线 方程为方程为OPdxxhrVh20 .32hr xyo)(yx cddyy2)( dcV解：解：dxxyVax)(220 2022)cos1()cos1(dttata 20323)coscos3cos31(dtttta.532a a 2a )(xydyyxVay)(2202 dyyxa)(2201 oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 222sin)sin(tdtatta 022sin)sin(tdtatta 2023sin)si

4、n(tdttta.633a 解：解：取取积积分分变变量量为为y,4 , 0 y体积元素为体积元素为dyQMPMdV22 dyyy)43()43(22 ,412dyy dyyV 40412.64 3dyPQMxoab二、平行截面面积为已知的立体的体积二、平行截面面积为已知的立体的体积xdxx 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算算.,)(dxxAdV .)( badxxAV立体体积立体体积RR xyo解：解： 取坐标系（如图

5、）取坐标系（如图）底圆方程为底圆方程为222Ryx x其截面的面积为其截面的面积为,tan)(21)(22 xRxA 立体体积立体体积dxxRVRR tan)(2122 .tan323 R 解：解： 取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为,222Ryx xyoRx垂直于垂直于x轴的截面为等腰三角形轴的截面为等腰三角形截面面积截面面积22)(xRhyhxA 立体体积立体体积dxxRhVRR 22.212hR 解：解：xyo 14yxy交点交点),1 , 4(立体体积立体体积dyxVy 12dyy 1216 116y.16 1 y解解:nnxny1sin ,sinnx dxysba 21dx

6、nxn 0sin1ntx ndtt 0sin1dtttttn 0222cos2sin22cos2sindtttn 02cos2sin.4n .8a解解:星形线的参数方程为星形线的参数方程为 taytax33sincos)20( t根据对称性根据对称性14ss dtyx 20224dttta 20cossin34.6a a aoyx证证:dxys 20211dxxa 2022cos1,cos12022dxxa ,20222dtyxs 根据椭圆的对称性知根据椭圆的对称性知 dttats 02222cos1sin2dxxa 022cos12,1s 故原结论成立故原结论成立.dtta 022cos12

7、)0( a解解: drrs )()(22313cos3sin32 ar,3cos3sin2 a.23a daa242623cos3sin3sin 30 d23sin 30a 0()3 第三节第三节 定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用 一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功解：解：取取r为为积积分分变变量量，ro q a b 1 r,bar drr 取任一小区间取任一小区间,drrr ,功元素功元素,2drrkqdw 所求功为：所求功为：drrkqwba 2barkq 1.11 bakq注：如果要考虑将单位电荷移到无穷远处注：如果要考虑将单位电荷移到无穷远处drrkqwa 2 ark

8、q1.akq 点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停解：解：建立坐标系如图，建立坐标系如图，xoxdxx 取取x为积分变量，为积分变量，5 , 0 x5取取任任一一小小区区间间,dxxx ,xoxdxx 5这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为dx238 . 9 功元素为功元素为,2 .88dxxdw dxxw 2 .885050222 .88 x3462 (千焦千焦) 二、水压力二、水压力解：解：在端面建立坐标系如图在端面建立坐标系如图xo, 0Rx 取取任任一一小小区区间间,dxxx xdxx 小小矩矩形形片片的的面面积积为为.222dxxR ,xp 小小矩矩形形片片的的压压力力元元素素为为dxxRxdP222 端面上所受的压力端面上所受的压力dxxRxPR2202 )(22022xRdxRR RxR032232 .323R 解：解： 建立坐标系如图建立坐标系如图xoa2a2a面积微元面积微元,)(2dxxa dxxaaxdP 1)(2)2(dxxaaxPa )(2(20 .373a 三、引力三、引力2l2l xyoMa解：解： 建立坐标系如图建立坐标系如图取取y为积分变量为积分变量取取任任一一小小区区间间,dyyy ,2,2 lly将典型小段近似看成质点将典型小段近似看成质点小段的质量为小段的质量为,dy rydyy 小段与质点的距离为