第四章 平面弯曲课件

1、桥式吊车受风载荷的塔设备管道托架以弯曲为主要变形的构件在工程上称为梁。以弯曲为主要变形的构件在工程上称为梁。 工程上常用的梁，其横截面大多具有一个竖向的工程上常用的梁，其横截面大多具有一个竖向的对称轴，如：对称轴，如： 所有横截面的竖向对称轴形成一个平面 纵向对称面梁的弯曲平面与载荷作用平面相重合的弯曲 称平面弯曲剪力剪力弯矩弯矩按正按正方向方向假设假设)0(axxRMRQAA)()(lxaxlRMRQBBRB=34 kN，RA=26 kNMC=26 kNmkNQC26kNQC22426QD=2 kN DMDM=28kNm=28-12=16kNmMB=-24 kNmkNQB22kNQB12)5

2、/(nl l中性层的存在性：每一纵向中性层的存在性：每一纵向纤维层由直变弯，靠近上方纤维层由直变弯，靠近上方的纤维层受压，下方的纤维的纤维层受压，下方的纤维层受拉，中间某处存在一层层受拉，中间某处存在一层既不受拉也不受压的纤维层，既不受拉也不受压的纤维层，这一层叫中性层，中性层与这一层叫中性层，中性层与横截面的交线叫中性轴。轴横截面的交线叫中性轴。轴线：中性层与纵向对称面的线：中性层与纵向对称面的交线。交线。l平面假设：横截面变形后平面假设：横截面变形后仍保持平面，但绕自身的仍保持平面，但绕自身的中性轴偏转了一定角度，中性轴偏转了一定角度，保持与中性层垂直。保持与中性层垂直。l不挤压假设：每一

3、纵向纤维均不挤压假设：每一纵向纤维均为单向拉伸或压缩，纤维层间为单向拉伸或压缩，纤维层间不存在相互的挤压。不存在相互的挤压。任一纤维层的变形计算：任一纤维层的变形计算：ydddy)(绝绝 对对 变变 形：形：ydyd相对变形（应变）：相对变形（应变）：do1o2l物理关系物理关系应力和应变间的关系应力和应变间的关系 不挤压假设，每一纤维层处于简单不挤压假设，每一纤维层处于简单拉压变形，满足虎克定律：拉压变形，满足虎克定律：yEEo1o2应应力和内力间的关系力和内力间的关系 横截面上的正应力分布力系（平行力系）应为一力偶系。中性层在哪里？0AdAAAydAdAyE00中性轴通过横截面的形心中性轴

4、通过横截面的形心AdAyM横截面上正应力的合力为截面上的弯矩。对中性轴的惯性矩表示截面绕中性轴转动的难易程度，即表示了变形的刚度。轴线的曲率表示了梁的变形程度。梁弯曲变形的基本公式，表示了引起梁变形的外力及梁自身抵抗弯曲变形的能力（抗弯刚度）对弯曲变形的影响。AdAyEM2AzdAyI2zEIM1正应力计算公式：正应力计算公式：zIMy工程实用计算式：工程实用计算式：zIMy应力的性质可由应力的性质可由变形直观判断变形直观判断最大弯曲正应力：最大弯曲正应力：zIMymaxmax抗弯截面模量：抗弯截面模量：maxyIWzzzWMmax形状规则截面的惯性矩和抗弯截面模量由定义可形状规则截面的惯性矩

5、和抗弯截面模量由定义可直接计算出来，对于型钢可查表。直接计算出来，对于型钢可查表。惯性矩（截面模量）、静矩（一次矩）、面积等惯性矩（截面模量）、静矩（一次矩）、面积等是平面图形的几何性质，只有和具体的变形结合起是平面图形的几何性质，只有和具体的变形结合起来才有其物理意义。来才有其物理意义。上述应力计算公式可近似用于平面弯曲的长梁。上述应力计算公式可近似用于平面弯曲的长梁。maxmaxzWM强度条件式强度条件式(等截面等截面)：许用弯曲应力与简单拉许用弯曲应力与简单拉(压压)的许用应力意的许用应力意义相同；义相同；考虑到弯曲正应力的分布规律，许用弯曲考虑到弯曲正应力的分布规律，许用弯曲应力的值可

6、取较大的值，或说弯曲安全系数应力的值可取较大的值，或说弯曲安全系数可取较小的值；可取较小的值；强度条件式可解决三方面的问题。强度条件式可解决三方面的问题。例例4-2：图示简支梁：图示简支梁AB，试求：试求： (1)最大弯曲正应力及最大弯曲正应力及其所在位置；其所在位置； (2)在在D、E两点的弯两点的弯曲正应力。曲正应力。 解：解：（1）作出剪力图作出剪力图和弯矩图，求出最大弯矩和弯矩图，求出最大弯矩值；计算抗弯截面模量值；计算抗弯截面模量（找出中性轴），计算最（找出中性轴），计算最大弯曲正应力。大弯曲正应力。 （2）计算）计算D、E两点两点所在截面的弯矩值，按照所在截面的弯矩值，按照D、E两

7、点各自离中性轴的距离，两点各自离中性轴的距离，计算出其弯曲正应力的值计算出其弯曲正应力的值 ，并判断出其应力的性质并判断出其应力的性质（拉应力或压应力）。（拉应力或压应力）。 hAbhWz61621bAhbWz61622材料远离中性轴AWZ矩形0.167h；圆形0.125h；环形 0.205h 工字钢和槽钢(0.270.31)h y=f(x) dxdytan， 挠曲线的曲率表示梁轴线上各点的弯曲程度，挠曲线的曲率表示梁轴线上各点的弯曲程度，加上边界条件就决定了挠曲线，即确定了梁的加上边界条件就决定了挠曲线，即确定了梁的挠度和转角。因此，梁弯曲变形的基本方程是挠度和转角。因此，梁弯曲变形的基本方

8、程是梁弯曲变形的微分方程。梁弯曲变形的微分方程。4.4.2挠曲线近似微分方程及两次积分法挠曲线近似微分方程及两次积分法EIxMx)()(1梁弯曲变形的基本方程：梁弯曲变形的基本方程：注：为书写简单起见，将惯注：为书写简单起见，将惯性矩的下标略去。性矩的下标略去。曲率可用挠曲线的二阶导数来表示：曲率可用挠曲线的二阶导数来表示：232221)(1dxdydxydx22)(1dxydx小变形二阶导数与弯矩的符号关系：二阶导数与弯矩的符号关系：EIxMdxyd)(22解此挠曲线微分方程，解此挠曲线微分方程，加上边界条件，即可得加上边界条件，即可得到梁挠曲线上各点的转到梁挠曲线上各点的转角和挠度，即转角

9、方程角和挠度，即转角方程和挠度（挠曲线）方程。和挠度（挠曲线）方程。挠曲线微分方程：挠曲线微分方程：例例4-3：导出悬臂梁受集：导出悬臂梁受集中力作用的转角方程和中力作用的转角方程和挠度方程。设挠度方程。设 EI为常量。为常量。解：建立坐标系，写出解：建立坐标系，写出弯矩方程；弯矩方程；)2(2)(xLEIPxdxdyx)3(6)(2xLEIPxxy 两次积分得出转角方程和挠度方程的通用两次积分得出转角方程和挠度方程的通用式；式； 考虑边界条件得到该梁的转角方程和挠度考虑边界条件得到该梁的转角方程和挠度方程：方程：EIPL22maxEIPLy33max例4-4 ：例4-5 ：例例4-6 4-6 试求图示悬臂梁自由端的挠度和转角。设抗弯刚度EI为常量。 解：P1和P2共同作用下悬臂梁自由端的挠度和转角，可看作P1和P2单独作用下产生的变形的代数和。 EIdxqxd22dxxlxEIqdxlEIdxqxdy)3(6)(3323解：将均布载荷设想为由无数个微元力qdx组成的，则每一个微元力qdx在梁自由端产生的微小转角和挠度：， EIqly84maxEIql63max例4-8EIql243maxEIqly38454max例：求图示超静定梁的约束反力。 静定基变形图 解：法：解除支座B，形成静定基，