有理数教材分析

1、第一章第一章 有理数有理数提纲提纲 1、本章学习目标 2、本章知识结构 3、具体课时分析 4、本章教学建议 5、开展数学活动（1）理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小；（2）借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道a的含义（这里a表示有理数）；（3）理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）；（4）理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算；（5）能运用有理数的运算解决简单的问题。课标要求目标课标要求目标有理数的概念有理数的概念有理数的运算有理数的运算本章的主要内容有理数的有关概念及其运算本章的教

2、学重点: 有理数的概念、有理数的运算本章的教学难点: 对有理数概念的理解 对有理数的运算法则的理解 运算法则的获得过程知识结构框图知识结构框图形形数数课时多课时多基本概念多基本概念多(19课时约占课时约占30%)法则多法则多(正负数、有理数、数轴、相反数、正负数、有理数、数轴、相反数、倒数、绝对值、科学记数法倒数、绝对值、科学记数法)加与减、乘与除、乘方加与减、乘与除、乘方运算法则：运算法则：运算律：运算律：交换律、结合律、分配律交换律、结合律、分配律有理数大小比较有理数大小比较本章知识特点本章知识特点根据学生情况适当增加课时，补充小学未解决根据学生情况适当增加课时，补充小学未解决的问题，比如

3、带分数的计算等的问题，比如带分数的计算等.计算问题的解决直接影响后续的学习，整式分式的计算，解方程等有有理理数数的的引引言言让学生逐渐体会让学生逐渐体会 “负数负数”引起的新变化引起的新变化1.1正数和负数正数和负数 1.1正数和负数 本节的核心是负数引进的必要性本节的核心是负数引进的必要性 ： 生活和生产需要生活和生产需要 数学本身的需要数学本身的需要容易证明，分数系是一个稠密的数系，对于加、乘、除三种运算是封闭的.为了使减法运算在数系内也通行无阻，负数的出现就是必然的了. 负数的概念和算法首先出现在九章算术“方程”章，因为对“方程”进行两行之间的加减消元时，就必须引入负数和建立正负数的运算

4、法则。刘徽的注释深刻的阐明了这点：今两算得失相反，要令正负以名之。正算赤，负算黑，否则以斜正为异。方程自有赤黑相取，左右数相推求之术。而其并减之势不得广通，故使赤黑相消夺之 1.“+”、“一一”号的新涵义号的新涵义三种意义三种意义 （1）表示运算符号表示运算符号; （2）表示一个数是正数、负数的性质符号）表示一个数是正数、负数的性质符号; （3）“一一”号还用来表示相反数。号还用来表示相反数。让学生逐渐认识让学生逐渐认识 “负数负数”2. 整数与分数的范围扩大了整数与分数的范围扩大了3. 本章对本章对“负数负数”的的6次认知次认知第第1 次次:负数的概念（负号）负数的概念（负号）第第2 次次:

5、数轴（负号）数轴（负号）第第3 次次:相反数相反数第第4 次次:绝对值绝对值第第5 次次:加减乘除运算加减乘除运算第第6 次次:乘方乘方1.2.1有理数有理数 课标要求：理解有理数的意义 了解：从具体实例中知道或举例说明对象的有关特征；根据对象的特征，从具体情境中辨认或者举例说明对象 理解：描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系. 有理数分类的教学1.2.2数轴数轴 抽象三次抽象 “数轴”中的数形结合思想 数轴是数形结合的产物。在数轴概念的建立过程中，通过“数轴三要素”的学习渗透数形结合的思想 “0是正数和负数的分界点，原点是数轴的基准点”；“东”与“西”、“左”与“右”等

6、表示了相反方向，它们与数的“负”与“正”正好对应；数轴上，一个点到原点的距离，与一个数的绝对值对应；等 利用数轴数形结合的研究相关问题 关于原点对称的点相反数 不同的点到原点的距离绝对值 数轴上各点的左右顺序有理数比较大小 利用数轴分析物体两次运动的结果有理数的加法 1.2.4绝对值绝对值 “绝对值”是初一代数中的一个重要概念，在进行代数式的化简和求值中应用很灵活绝对值的定义体现了数形结合和分类讨论的重要思想，它将实数和数轴有机结合，为我们解决问题带来了很大的便利因此，我们必须深刻领会概念的内涵，从多个角度理解概念，这样才能真正运用概念，灵活解题 为了表示具有相反意义的量，引入了正数和负数，但

7、根据需要，有时需考虑某些量的相反意义，以汽车行驶为例，如果要说明汽车从某地出发，几小时后在什么方位，就要从路程和方向两个方面去考虑，因此要用正数或负数表示；当计算汽车的耗油量等问题时，则只需考虑汽车行驶的路程，而不必考虑行驶的方向，这样就引出了绝对值的概念2015年年9月月3日，日，在北京举行的纪念抗日战争胜利在北京举行的纪念抗日战争胜利70周年的阅兵活动中，周年的阅兵活动中，一个受阅方阵自东向西经一个受阅方阵自东向西经过长安街，则该方阵在行进时共有几次和北京城过长安街，则该方阵在行进时共有几次和北京城中轴线与长安街的交汇处的距离为中轴线与长安街的交汇处的距离为20米米?情境情境1情境情境12

8、015年年9月月3日，日，在北京举行的纪念抗日战争胜利在北京举行的纪念抗日战争胜利70周年的阅兵活动中，周年的阅兵活动中，一个受阅方阵自东向西经一个受阅方阵自东向西经过长安街，则该方阵在行进时共有几次和北京城过长安街，则该方阵在行进时共有几次和北京城中轴线与长安街的交汇处的距离为中轴线与长安街的交汇处的距离为20米米?O-20-100102030-30AO情境情境12015年年9月月3日，日，在北京举行的纪念抗日战争胜利在北京举行的纪念抗日战争胜利70周年的阅兵活动中，周年的阅兵活动中，一个受阅方阵自东向西经一个受阅方阵自东向西经过长安街，则该方阵在行进时共有几次和北京城过长安街，则该方阵在行

9、进时共有几次和北京城中轴线与长安街的交汇处的距离为中轴线与长安街的交汇处的距离为20米米?-20-100102030-30O情境情境12015年年9月月3日，日，在北京举行的纪念抗日战争胜利在北京举行的纪念抗日战争胜利70周年的阅兵活动中，周年的阅兵活动中，一个受阅方阵自东向西经一个受阅方阵自东向西经过长安街，则该方阵在行进时共有几次和北京城过长安街，则该方阵在行进时共有几次和北京城中轴线与长安街的交汇处的距离为中轴线与长安街的交汇处的距离为20米米?-20-100102030-30O情境情境12015年年9月月3日，日，在北京举行的纪念抗日战争胜利在北京举行的纪念抗日战争胜利70周年的阅兵活

10、动中，周年的阅兵活动中，一个受阅方阵自东向西经一个受阅方阵自东向西经过长安街，则该方阵在行进时共有几次和北京城过长安街，则该方阵在行进时共有几次和北京城中轴线与长安街的交汇处的距离为中轴线与长安街的交汇处的距离为20米米? 哈利法塔在哈利法塔在75层和层和100层层各有一间避难所各有一间避难所. .如果发生火如果发生火灾时，一位游客恰好在灾时，一位游客恰好在85层层. .如果如果仅从距离的角度考虑，仅从距离的角度考虑，他会选择哪一层的避难所呢他会选择哪一层的避难所呢? OAB-1015O-1015BA情境情境2 哈利法塔在哈利法塔在75层和层和100层层各有一间避难所各有一间避难所. .如果发

11、生火如果发生火灾时，一位游客恰好在灾时，一位游客恰好在85层层. .如果如果仅从距离的角度考虑，仅从距离的角度考虑，他会选择哪一层的避难所呢他会选择哪一层的避难所呢? 情境情境2ABC 小明家小明家正正东东3千米处有家千米处有家超市超市A，正东，正东2千米千米处有家超市处有家超市C ，正西，正西2千米处有家超市千米处有家超市B. .如果仅如果仅从距离的角度考虑，他会选择哪家超市从距离的角度考虑，他会选择哪家超市?情境情境3-2-10123-3 你能建立数轴加以解释吗你能建立数轴加以解释吗?AOBC情境情境3 你能举出类似的你能举出类似的例子吗例子吗? 情境情境3-2-10123-3AOBC 一

12、般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值. 记作|a|.一. 定义：0 1.2.4绝对值绝对值a|a|几何意义几何意义a0a数轴上表示数数轴上表示数a的点与原点的的点与原点的距离叫做数距离叫做数a的的绝对值绝对值，代数意义代数意义正数正数的绝对值是的绝对值是它本身它本身；负数负数的绝对值是的绝对值是它的相反数它的相反数；0的绝对值是的绝对值是0.如果如果 a 0,那么那么|a|=a. 如果如果 a 0,那么那么|a|=-a. 如果如果 a =0,那么那么|a|=0. - 3性质性质符号符号绝对绝对值值+有理数的运算有理数的运算有理数的运算有理数的运算先确定符号先确定符号再计算绝对值

13、再计算绝对值同号同号异号异号零零五种运算法则五种运算法则的共性的共性加加 法法减减 法法乘乘 法法除除 法法乘乘 方方交换律交换律结合律结合律分配律分配律与负数有关的运算，都借助绝对值，与负数有关的运算，都借助绝对值，把它们转化为正数之间的运算把它们转化为正数之间的运算核心素养：核心素养：运算能力运算能力修订前教修订前教材有理数材有理数的加法的的加法的引入引入修订后教修订后教材有理数材有理数的加法的的加法的引入引入加加 法法 思考：引入负数后，加法有哪几种情况？ 思考：物体先向右运动5m，再向右运动3m 思考：物体先向左运动5m，再向左运动3m 探究：物体先向左运动3m，再向右运动5m 物体先

14、向右运动3m，再向左运动5m注意：避免大量刷题，体会法则获得的过程，积累数学活动经验.最好每次归纳之后还有验证的过程.1. 计算：计算：（1） 96 9 6 定类型；定符号；定加减定类型；定符号；定加减. .加加 法法15 定类型定类型定符号定符号定加减定加减 ( )()2 51111 56 定类型定类型定符号定符号定加减定加减同号同号异号异号零零注意学生的思考过程不注意学生的思考过程不要觉得法则很简单，可要觉得法则很简单，可能对于学生有困难能对于学生有困难. .这是什么样的两个数相加？这是什么样的两个数相加？计算中遵循的法则是什么？计算中遵循的法则是什么？修订前教修订前教材有理数材有理数的乘

15、法的的乘法的引入方式引入方式修订后教修订后教材有理数材有理数的乘法的的乘法的引入方式引入方式乘乘 法法教学方法教学方法“归纳式归纳式”教学教学 类比加法 思考：观察下面的乘法算式，你能发现什么规律？ 引导学生明确这里的观察指的是看算式两边左边的两个乘数有什么共同点和不同点，右边的积有什么变化规律. 因为没有交换律所以第二个思考是必须的，模仿第一个思考解决.学生的常见错误（易错点）：学生的常见错误（易错点）：1. 符号错误；符号错误；2. 运算顺序错误；运算顺序错误；3. 分配律运用错误；分配律运用错误；4. 减法变加法时减法变加法时, 只改变运算符号只改变运算符号, 性质符号不改变错误性质符号

16、不改变错误(除法同除法同)；5.乘方意义出错（底数理解错误）乘方意义出错（底数理解错误）.有理数的运算有理数的运算教师的常见问题：教师的常见问题：1. 讲解不到位；讲解不到位；2. 对学生要求不到位；对学生要求不到位；3. 训练不到位；训练不到位；4. 纠错不及时；纠错不及时；5. 没有耐心；没有耐心；6.题目过繁、过难题目过繁、过难.概念要讲清，方法要得当，指导要到位，纠错要及时。1做好与前两个学段的衔接 前两个学段学过自然数、正分数（即正有理数和0）及其运算的知识，还学过用字母表示数的知识，这些都是学习本章的基础。 要做好与以往算术知识和方法的衔接，在原有基础上自然引伸出新的问题和思路。对

17、教学的几个建议对教学的几个建议2把握好教学要求 学生对负数及运算的认识不能一蹴而就。教学时，不要操之过急，要给他们接受这些知识的时间。 绝对值概念的学习也要有一个循序渐进的过程。 数轴上两点之间距离的表示 绝对值不等式 绝对值出现字母并讨论 有理数的加、减、乘、除、乘方运算中涉及的数应简单一些，特别是混合运算。 课标明确提出“以三步以内为主”。3采用“归纳式”教学 本章教材的编写，从有理数的概念到运算法则和运算律，始终坚持“归纳式”呈现内容。目的：为了体现以数学知识发生发展过程为载体进行“思维的教学”这一数学课程的核心任务。 在课堂教学中，要体现好教材的编写意图，为学生安排一个“具体事例观察、

18、试验比较、分类分析、综合抽象、概括”的过程，使学生有机会通过自己的类比、归纳而获得对有理数及其运算的知识。 例：数轴概念的教学 关键就是要用好教材的具体实例、学生熟悉的生活事例，引导学生的观察、比较、分析和综合等思维活动，并抽象出“基准点”“方向”和“与基准点的距离”在刻画事物相对位置中的作用，然后再结合负数概念引入过程中，用正、负数表示“相反意义的量”的经验，概括出数轴“三要素”。 原点 0（原点是区分方向的“基准”，0是区分正负的基准） 单位长度 1（单位长度是度量线段长度的单位，1是实数单位，“单位”实际上给出了一个度量的统一标准） 方向符号（空间中，“由A到B ”和“由B到A”是两件不

19、同的事情，其差别由“方向”来标记。A，B 两点“位置差别”的定量化定义，必需且只需用“方向”和“长度”。数轴上，方向有“左”和“右”，可以理解为“相反方向”。负数的引入是应描述现实中的“相反意义的量”之需，确定一个实数，需要“符号”和“绝对值”两个要素，它们正好对应了定量化定义A，B 两点“位置差别”的“方向”和“长度”。）4处理好纸笔运算和用计算器运算的关系 本章的核心内容是有理数运算，是训练学生运算能力的重要载体，因此必须把运算技能的熟练作为重要的教学目标。 关键是体现好“合理”二字。合理性主要体现在两个方面：一是不能削弱有理数运算的基本要求，二是较复杂的计算、用有理数知识解决实际问题和探索运算规律等提倡用计算器。5多种方式途径提高学生的数学学习积极性 手抄报 数学竞赛（24点、百题、速算等） 思维导图 手持技术（科学计算器、图形计算器等） 让课堂更有趣一些（数学游戏）用三个设计一个最大的数用四个设计一个最小的数和最大的数6合理利用资源 不建议多加太多的习题计算题 可以改编试题，为后续学习做准备7利用好“数学活动”、选学内容 问题的扩展与加深 开阔眼界 增长见识 必要性：1、学生数学活动经验积累的必要过程 2、学生能力和经验是否能够应对问题的检验 3、中考会考“人教版”八年级下册第二十