计量分位数回归 eviews

1、分位数回归（QRM）方法及其应用管理与经济学院主要内容：分位数回归的基本介绍系数协方差的估计方法模型评价与检验基于Eviews的分位数回归 传统的回归分析主要关注均值，即采用因变量条件均值的函数来描述自变量每一特定数值下的因变量均值，从而揭示自变量与因变量的关系。这类回归模型实际上是研究被解释变量的条件期望,描述了因变量条件均值的变化。 人们当然也关心解释变量与被解释变量分布的中位数，分位数呈何种关系。这就是分位数回归，它最早由凯恩克（Koenker Roger）和巴西特（Bassett Gilbert Jr）于1978年提出，是估计一组回归变量X与被解释变量Y的分位数之间线性关系的建模方法，

2、强调条件分位数的变化。 分位数回归（分位数回归（Quantile Regression）最早由）最早由科恩克科恩克和和巴塞特巴塞特 (Koenker 和和Bassett, 1978)于于1978年提出年提出 ，它，它提供了回归变量提供了回归变量 X 和因变量和因变量Y 的分位数之间线性关系的的分位数之间线性关系的估计方法。绝大多数的回归模型都关注因变量的条件均估计方法。绝大多数的回归模型都关注因变量的条件均值，但是人们对于因变量条件分布的其他方面的模拟方值，但是人们对于因变量条件分布的其他方面的模拟方法也越来越有兴趣，尤其是能够更加全面地描述因变量法也越来越有兴趣，尤其是能够更加全面地描述因变

3、量的条件分布的分位数回归。的条件分布的分位数回归。 利用分位数回归解决经济学问题的文献越来越多，利用分位数回归解决经济学问题的文献越来越多，尤其是在劳动经济学中取得了广泛应用。如在教育回报和尤其是在劳动经济学中取得了广泛应用。如在教育回报和劳动市场歧视等方面都出现了很好的研究成果。在经济学劳动市场歧视等方面都出现了很好的研究成果。在经济学中的应用研究还包括诸如财富分配不均问题、失业持续时中的应用研究还包括诸如财富分配不均问题、失业持续时间问题、食品支出的恩格尔曲线问题、酒精需求问题和日间问题、食品支出的恩格尔曲线问题、酒精需求问题和日间用电需求问题等。在金融学领域也涌现出大量使用分位间用电需求

4、问题等。在金融学领域也涌现出大量使用分位数回归的应用研究成果，主要应用领域包括风险价值数回归的应用研究成果，主要应用领域包括风险价值（Value at Risk, VaR）研究和刻画共同基金投资类型的指）研究和刻画共同基金投资类型的指数模型。数模型。 正如普通最小二乘正如普通最小二乘OLS回归估计量的计算回归估计量的计算是基于最小化残差平方和一样，分位数回是基于最小化残差平方和一样，分位数回归估计量的计算也是基于一种非对称形式归估计量的计算也是基于一种非对称形式的绝对值残差最小化，其中，中位数回归的绝对值残差最小化，其中，中位数回归运用的是最小绝对值离差估计运用的是最小绝对值离差估计(LAD，

5、least absolute deviations estimator)。它和它和OLS主要区别在于回归系数的估计方主要区别在于回归系数的估计方法和其渐近分布的估计。法和其渐近分布的估计。分位数回归参数估计的思想分位数回归参数估计的思想分位数回归参数估计的思想分位数回归参数估计的思想 与与LRLR估计量明显不同的估计量明显不同的QRQR估计量的特点在估计量的特点在于，在于，在QRQR中数据点到回归线距离的测量通中数据点到回归线距离的测量通过垂直距离的加权总和（没有平方）而求过垂直距离的加权总和（没有平方）而求得，这里赋予拟合线之下的数据点的权重得，这里赋予拟合线之下的数据点的权重是是1-1-,

6、 ,而赋予拟合线之上的数据点的权重而赋予拟合线之上的数据点的权重则是则是. .对于对于的每一个选择，都会产生各自的每一个选择，都会产生各自不同的条件分位数的拟合函数，这一任务不同的条件分位数的拟合函数，这一任务是为每一个可能的寻找适合的估计量是为每一个可能的寻找适合的估计量。 中位数是一个特殊的分位数，它表示一种分中位数是一个特殊的分位数，它表示一种分布的中心位置。中位数回归是分位数回归的布的中心位置。中位数回归是分位数回归的一种特殊情况，其他分位数则可以用来描述一种特殊情况，其他分位数则可以用来描述一种分布的非中心位置。一种分布的非中心位置。第第p p个百分位数表个百分位数表示因变量的数值低

7、于这一百分位数的个数占示因变量的数值低于这一百分位数的个数占总体的总体的p%.p%.因此，分位数可以指定分布中的因此，分位数可以指定分布中的任何一个位置。任何一个位置。 假设随机变量假设随机变量 Y 的概率分布为：的概率分布为： （4.7.1）Y 的的 分位数定义为满足分位数定义为满足 F(y) 的最小的最小 y 值，即：值，即：， （4.7.2）)Prob()(yYyF)(:inf)(yFyq10 F(y)的的 分位数可以由最小化关于分位数可以由最小化关于 的目标函数得到，即：的目标函数得到，即：（4.7.3）其中，其中，argmin 函数表示取函数最小值时函数表示取函数最小值时 的取值，的

8、取值， (u) u( I(u 0) 称为检查函数（称为检查函数（check function），），依据依据 u 取值符号进行非对称的加权，这里取值符号进行非对称的加权，这里 u y 。 )()(minarg)()1 ()(minarg)(ydFyydFyydFyqyy0,00,1)0(uuuI 0uuI u 一般的 分位数回归的检查函数为：其中， 为示性函数，Z是指示关系式。当分位数为0.5时，就是最小一乘回归，即中位数回归。 I Z 考察此最小化问题的一阶条件为：考察此最小化问题的一阶条件为： （4.7.4）即即F( ) = ，也就是说，也就是说F(Y)的第的第 个分位数是上述优化问题的解

9、。个分位数是上述优化问题的解。 F(y) 可以由如下的经验分布函数替代：可以由如下的经验分布函数替代： （4.7.5）其中其中 y1，y2，yn 为为Y 的的 N 个样本观测值；个样本观测值；I(z) 是指示函数，是指示函数，z 是条件关系式，当是条件关系式，当 z 为真时，为真时，I(z) = 1；当；当 z 为假时，为假时，I(z) = 0。式。式（4.7.3）中条件关系式）中条件关系式 z 为为 yi y，当，当 yi y 时，时，I(yi y) = 1，否，否则取值为则取值为0。 )()()1 ()(1 ()()1 ()(0FFFydFydFyyNiiNyyINyF1)(1)( 相应地

10、，经验分位数为：相应地，经验分位数为：， （4.7.6） 式（式（4.7.3）可以等价地表示为下面的形式：）可以等价地表示为下面的形式： （4.7.7） )(:inf)(yFyqNN10iiyiiyiiNyyyqii)(minarg)1 (minarg)(: 现假设现假设 Y 的条件分位数由的条件分位数由 k 个解释变量组成的矩阵个解释变量组成的矩阵 X 线线性表示：性表示： （4.7.8）其中，其中，xi =(x1i，x2i，xki) 为解释变量向量，为解释变量向量， ( ) =( 1， 2， k ) 是是 分位数下的系数向量。当分位数下的系数向量。当 在在 (0, 1) 上变动时，上变动时

11、，求解下面的最小化问题就可以得到分位数回归不同的参数估求解下面的最小化问题就可以得到分位数回归不同的参数估计：计： （4.7.9）)()(,|xxiiqNiiiNy1)()(minarg)(x 类似类似OLS方法，可以通过最小化方法，可以通过最小化(4.7.3)式的目标函数式的目标函数(V)获得获得 的第的第 个分位点回归估计量。例如，用个分位点回归估计量。例如，用 作为正误差项的权重，作为正误差项的权重，用用(1 ) 作为负误差项的权重的非对称绝对值误差加权平均：作为负误差项的权重的非对称绝对值误差加权平均： (4.7.10) 当当 =0.5时称为时称为(Least Absolute Dev

12、iations, LAD)，(4.7.10) 式的式的2倍就是倍就是LAD估计的精确的目标函数：估计的精确的目标函数： 针对针对LAD方法的回归估计是条件分位点回归的一种特殊情况，方法的回归估计是条件分位点回归的一种特殊情况，通常被人们称为通常被人们称为“”。 分位数回归的系数估计需要求解线性规划问题，很多种方法分位数回归的系数估计需要求解线性规划问题，很多种方法可以对此问题进行求解。可以对此问题进行求解。 xxxxiiiiyiiiyiiiyyV:)1 (NiiiyV1x1 1、条件均值、条件均值（conditional mean） 例例2.1.1：一个假想的社区有一个假想的社区有99户家庭组

13、成，户家庭组成，欲研究该社区每月欲研究该社区每月家庭消费支出家庭消费支出Y与每月与每月家庭家庭可支配收入可支配收入X的关系。的关系。 即如果知道了家庭的月即如果知道了家庭的月收入，能否预测该社区家庭的平均月消费支出收入，能否预测该社区家庭的平均月消费支出水平。水平。 为达到此目的，将该为达到此目的，将该99户家庭划分为组内收入户家庭划分为组内收入差不多的差不多的10组，以分析每一收入组的家庭消费组，以分析每一收入组的家庭消费支出。支出。表表 2.1.1 某某社社区区家家庭庭每每月月收收入入与与消消费费支支出出统统计计表表 每月家庭可支配收入X（元） 800 1100 1400 1700 200

14、0 2300 2600 2900 3200 3500 561 638 869 1023 1254 1408 1650 1969 2090 2299 594 748 913 1100 1309 1452 1738 1991 2134 2321 627 814 924 1144 1364 1551 1749 2046 2178 2530 638 847 979 1155 1397 1595 1804 2068 2266 2629 935 1012 1210 1408 1650 1848 2101 2354 2860 968 1045 1243 1474 1672 1881 2189 2486 28

15、71 1078 1254 1496 1683 1925 2233 2552 1122 1298 1496 1716 1969 2244 2585 1155 1331 1562 1749 2013 2299 2640 1188 1364 1573 1771 2035 2310 1210 1408 1606 1804 2101 1430 1650 1870 2112 1485 1716 1947 2200 每 月 家 庭 消 费 支 出 Y （元） 2002 共计 2420 4950 11495 16445 19305 23870 25025 21450 21285 15510 由于不确定因素的影

16、响，对同一收入水平由于不确定因素的影响，对同一收入水平X，不同家庭的消费支出不完全相同；不同家庭的消费支出不完全相同； 但由于调查的完备性，给定收入水平但由于调查的完备性，给定收入水平X的消费的消费支出支出Y的分布是确定的，即以的分布是确定的，即以X的给定值为条的给定值为条件的件的Y的的条件分布条件分布（Conditional distribution）是已知的，例如：是已知的，例如：P(Y=561|X=800）=1/4。 因此，给定收入因此，给定收入X的值的值Xi，可得消费支出，可得消费支出Y的的条条件均值件均值（conditional mean）或）或条件期望条件期望（conditiona

17、l expectation）：）：E(Y|X=Xi)。 该例中：该例中：E(Y | X=800)=605 描出散点图发现：随着收入的增加，消费描出散点图发现：随着收入的增加，消费“平平均地说均地说”也在增加，且也在增加，且Y的条件均值均落在一的条件均值均落在一根正斜率的直线上。根正斜率的直线上。05001000150020002500300035005001000150020002500300035004000每月可支配收入X（元）每月消费支出Y（元）2 2、总体回归函数、总体回归函数 在给定解释变量在给定解释变量Xi条件下被解释变量条件下被解释变量Yi的期望的期望轨迹称为轨迹称为总体回归线总

18、体回归线（population regression line），或更一般地称为），或更一般地称为总体回归总体回归曲线曲线（population regression curve）。）。 相应的函数称为（双变量）相应的函数称为（双变量）总体回归函数总体回归函数（population regression function, PRF）。）。)()|(iiXfXYE 含义：含义：回归函数（回归函数（PRF）说明被解释变量）说明被解释变量Y的的平均状态（总体条件期望）随解释变量平均状态（总体条件期望）随解释变量X变化变化的规律。的规律。 函数形式：函数形式：可以是线性或非线性的。可以是线性或非线性的

19、。 例例2.1.1中，中，将居民消费支出看成是其可支配收将居民消费支出看成是其可支配收入的线性函数时入的线性函数时: :iiXXYE10)|(为为线性函数。线性函数。其中，其中， 0 0， 1 1是未知参数，称为是未知参数，称为回归系数回归系数（regression coefficients）。）。1 1、样本回归函数、样本回归函数 问题：问题：能否从一次抽样中获得总体的近似信息？能否从一次抽样中获得总体的近似信息？如果可以，如何从抽样中获得总体的近似信息？如果可以，如何从抽样中获得总体的近似信息？ 在例在例2.1.12.1.1的总体中有如下一个样本，的总体中有如下一个样本，能否从该能否从该样

20、本估计总体回归函数？样本估计总体回归函数？ 回答：能回答：能表表 2.1.3 家庭消费支出与可支配收入的一个随机样本家庭消费支出与可支配收入的一个随机样本 X 800 1100 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500 Y 594 638 1122 1155 1408 1595 1969 2078 2585 2530 该样本的该样本的散点图（散点图（scatter diagram)： 画一条直线以尽好地拟合该散点图，由于样本取自总体，画一条直线以尽好地拟合该散点图，由于样本取自总体，可以该直线近似地代表总体回归线。该直线称为可以该直线近似地代表总体回归线。

21、该直线称为样本回归样本回归线（线（sample regression lines）。 样本回归线的函数形式为：样本回归线的函数形式为：iiiXXfY10)(称为称为样本回归函数样本回归函数（sample regression function，SRF）。 注意：注意：这里将样本回归线样本回归线看成总体回归线总体回归线的近似替代则则 相对于最小二乘估计，分位数回归模型具有四个方面相对于最小二乘估计，分位数回归模型具有四个方面的优势：的优势： （1）分位数模型特别适合具有异方差性的模型。）分位数模型特别适合具有异方差性的模型。 （2）对条件分布的刻画更加的细致，能给出条件分布）对条件分布的刻画更加

22、的细致，能给出条件分布的大体特征。每个分位点上的回归都赋予条件分布上某个特的大体特征。每个分位点上的回归都赋予条件分布上某个特殊点（中央或尾部）一些特征；把不同的分位点上的分位数殊点（中央或尾部）一些特征；把不同的分位点上的分位数回归集中起来就能提供一个关于条件分布的更完整的统计特回归集中起来就能提供一个关于条件分布的更完整的统计特征描述。并且不同分位点下所给出的参数估计本身也可能有征描述。并且不同分位点下所给出的参数估计本身也可能有值得进一步探讨的意义。值得进一步探讨的意义。 （3）分位数回归并不要求很强的分布假设，在扰动项）分位数回归并不要求很强的分布假设，在扰动项非正态的情形下，分位数估

23、计量可能比最小二乘估计量更非正态的情形下，分位数估计量可能比最小二乘估计量更为有效。为有效。 （4）与最小二乘法通过使误差平方和最小得到参数的）与最小二乘法通过使误差平方和最小得到参数的估计不同，分位数回归是通过使加权误差绝对值之和最小估计不同，分位数回归是通过使加权误差绝对值之和最小得到参数的估计，因此估计量不容易受到异常值的影响，得到参数的估计，因此估计量不容易受到异常值的影响，从而估计更加稳健。从而估计更加稳健。 一般地，分位数回归的系数估计量渐近服从正态分布，一般地，分位数回归的系数估计量渐近服从正态分布，其渐近协方差依据模型的不同假定而具有不同形式。渐近系其渐近协方差依据模型的不同假

24、定而具有不同形式。渐近系数协方差的计算在分位数回归分析中非常重要，有三种估计数协方差的计算在分位数回归分析中非常重要，有三种估计方法：方法： 1独立同分布设定下协方差矩阵的直接估计方法独立同分布设定下协方差矩阵的直接估计方法 （1）Siddiqui 差商法差商法 （2）稀疏度的核密度估计量）稀疏度的核密度估计量 2独立但不同分布设定下协方差矩阵的直接估计方法独立但不同分布设定下协方差矩阵的直接估计方法 （Hubert sandwich） 3自举法（自举法（Bootstrap） （1）X-Y自举法自举法 （2）残差自举方法）残差自举方法 （3）马尔可夫链边际自举法）马尔可夫链边际自举法 为了使用

25、分位数回归方法估计方程，在方程设定对话框的估计方法为了使用分位数回归方法估计方程，在方程设定对话框的估计方法中选择中选择“QREG”，打开分位数回归估计对话框：，打开分位数回归估计对话框： “Quantile to estimate”后面输入值，可以输入后面输入值，可以输入01之间的任意数值，默之间的任意数值，默认值是认值是0.5，即进行中位数回归。，即进行中位数回归。 利用例利用例3.1的消费和收入数据，我们建立如下的回归方程研的消费和收入数据，我们建立如下的回归方程研究政府支出对居民消费的影响：究政府支出对居民消费的影响： （4.7.44）其中，其中，cs为实际居民消费，为实际居民消费，i

26、nc为实际可支配收入，为实际可支配收入，fe为财政支出，为财政支出，考虑到财政政策通常具有时滞的特点，模型中采用滞后一期的财考虑到财政政策通常具有时滞的特点，模型中采用滞后一期的财政支出作为解释变量。所有变量均为剔除了价格因素的年度数据，政支出作为解释变量。所有变量均为剔除了价格因素的年度数据，样本区间为样本区间为19782006年。为了进行比较，我们同时给出最小二年。为了进行比较，我们同时给出最小二乘法以及三个不同分位点的分位数回归估计结果（见表乘法以及三个不同分位点的分位数回归估计结果（见表4.4）。）。 )ln()ln()ln()ln(131210ttttfecsinccsOLS估计结果

27、估计结果:分位数回归估计结果分位数回归估计结果:注：括号内为弹性系数的注：括号内为弹性系数的t值；值； Quant20， Quant50， Quant80分别分别 代表代表20%，50%，80%分位数。分位数。系数估计结果系数估计结果OLSQuant20Quant50Quant800.28(5.78)0.21(2.78)0.25(3.44)0.28(3.17)0.47（7.22）0.49（4.49）0.38（2.33）0.45（2.93）0.47（7.57）0.44（4.22）0.56（3.55）0.49（3.43） 0.027 （1.65）0.048（1.62）0.034（1.196）0.0

28、26（0.82）R2 或或 R10.9990.970.970.98 0123 从估计结果可以看出，对于不同的估计方法，居民实际可从估计结果可以看出，对于不同的估计方法，居民实际可支配收入、前期消费水平两个变量的弹性系数变化不大。尽管支配收入、前期消费水平两个变量的弹性系数变化不大。尽管在以往的研究中，政府支出对居民消费的影响还没有得出一致在以往的研究中，政府支出对居民消费的影响还没有得出一致的结论，但是在本例中三种估计的结果表明政府支出对居民消的结论，但是在本例中三种估计的结果表明政府支出对居民消费的弹性值均为正，说明在我们所分析的样本区间内政府支出费的弹性值均为正，说明在我们所分析的样本区间

29、内政府支出与居民消费之间是互补的，政府支出的增加有利于加强基础设与居民消费之间是互补的，政府支出的增加有利于加强基础设施建设和提高社会保障水平，使居民减少储蓄，尤其是预防性施建设和提高社会保障水平，使居民减少储蓄，尤其是预防性储蓄，从而增加消费。最小二乘估计给出的是政府支出对消费储蓄，从而增加消费。最小二乘估计给出的是政府支出对消费的平均影响效果，而分位数回归给出的是消费处于不同分位水的平均影响效果，而分位数回归给出的是消费处于不同分位水平时，政府支出对居民消费的影响。在平时，政府支出对居民消费的影响。在20%，50%和和80%的分的分位点上政府支出的弹性分别为位点上政府支出的弹性分别为0.0

30、48，0.034，0.026，并且后两，并且后两个水平的估计是不显著的，说明当消费水平较低时，政府支出个水平的估计是不显著的，说明当消费水平较低时，政府支出的影响相对较大，而对于较高的消费水平，政府支出的影响变的影响相对较大，而对于较高的消费水平，政府支出的影响变小，并且是不显著的。因为当消费水平较高时，进一步提升的小，并且是不显著的。因为当消费水平较高时，进一步提升的空间变小，政府支出对其影响也变小空间变小，政府支出对其影响也变小。 为了解工作妇女是否受到了歧视，可以用美国统计局的为了解工作妇女是否受到了歧视，可以用美国统计局的“当前人口调查当前人口调查”中的截面数据研究男女工资有没有差别。

31、这项多元回归分析研究所用到的变中的截面数据研究男女工资有没有差别。这项多元回归分析研究所用到的变量有：量有： W 雇员的工资（美元雇员的工资（美元/小时）小时） 1；若雇员为妇女；若雇员为妇女 SEX = 0；男性；男性 ED 受教育的年数受教育的年数 AGE 雇员的年龄雇员的年龄 1；若雇员不是西班牙裔也不是白人；若雇员不是西班牙裔也不是白人 NONWH = 0；其他；其他 1；若雇员是西班牙裔；若雇员是西班牙裔 HISP = 0；其他；其他 对对206名雇员的样本所进行的研究得到的回归结果为（括号内是名雇员的样本所进行的研究得到的回归结果为（括号内是t统计量统计量的值）：的值）： （22.

32、10）（）（-3.86） R2 = 0.068 D.W.=1.79 反映雇员性别的虚拟变量反映雇员性别的虚拟变量SEX在显著性水平在显著性水平 1%下显著。因为工资的总平下显著。因为工资的总平均是均是9.60美元，该虚拟变量告诉我们，妇女的平均工资为美元，该虚拟变量告诉我们，妇女的平均工资为8.12美元，或比总平美元，或比总平均低均低1.48美元。美元。SEXW73. 293.10 系数估计结果系数估计结果OLSQuant20Quant50Quant8010.93(22.1)5.5(9.46)10.00(12.75)14.999(15.83)-2.73（-3.86）-0.75（-1.04）-2

33、.5（-2.66）-3.75（-3.29）R2 或或 R10.0680.0080.030.08注：括号内为弹性系数的注：括号内为弹性系数的t值；值； Quant20， Quant50， Quant80分别分别 代表代表20%，50%，80%分位数。分位数。01 与传统的回归分析的拟合优度与传统的回归分析的拟合优度R2类似，分位数回归模型也类似，分位数回归模型也可以计算拟合优度。在分位数回归中，参数估计是通过可以计算拟合优度。在分位数回归中，参数估计是通过 （4.7.29）得到的。将数据写为得到的。将数据写为 xi = (1，x i1) ， ( ) = ( 0( ), 1( ) ) ，这，这样式

34、（样式（4.7.29）可以写为）可以写为 （4.7.30）最小化最小化 分位数回归的目标函数（分位数回归的目标函数（objective function），得到），得到 （4.7.31） )()(,|(xxiiq)()()(,|110 xxiiqiiiyV)()(min)(110)(x 回归方程中只包含常数项情形下，最小化分位数回归的目回归方程中只包含常数项情形下，最小化分位数回归的目标函数（标函数（objective function），得到），得到 （4.7.32） 定义分位数回归方程的定义分位数回归方程的Machado拟合优度为拟合优度为 （4.7.33） R1( )位于位于01之间，之

35、间，R1( )越大说明模型估计的越好，反之越大说明模型估计的越好，反之R1( )越小模型估计越差。可以看出，这与用普通最小二乘法估越小模型估计越差。可以看出，这与用普通最小二乘法估计的传统回归方程中定义的拟合优度计的传统回归方程中定义的拟合优度R2类似，分位数回归拟合类似，分位数回归拟合优度的计算是基于分位数回归方程目标函数的最小值与只用常优度的计算是基于分位数回归方程目标函数的最小值与只用常数项作为解释变量时的分位数回归方程目标函数最小值的关系。数项作为解释变量时的分位数回归方程目标函数最小值的关系。iiyV)(min)(0)(0)(/ )(1)(1VVR定义以下两个检验统计量：定义以下两个

36、检验统计量： （4.7.34） （4.7.35）其中，其中， 和和 分别是无约束的和对原方程施加分别是无约束的和对原方程施加q个约束个约束条件后，分位数回归的目标函数最小值。条件后，分位数回归的目标函数最小值。LN( ) 和和 N( ) 这两这两个统计量都渐近服从自由度为个统计量都渐近服从自由度为q的分布。分母中的的分布。分母中的 s( ) 是稀疏是稀疏度值，在分位数回归的冗余变量检验、遗漏变量检验中将都度值，在分位数回归的冗余变量检验、遗漏变量检验中将都用到拟似然比检验的用到拟似然比检验的 LN( ) 和和 N( )统计量。统计量。)()1 ()()(2)(sVVLN)(/ )(log)()

37、1 ()(2)(VVsVN )(V)(V 有时候，我们不仅对某个分位数回归感兴趣，而是希望有时候，我们不仅对某个分位数回归感兴趣，而是希望对不只一个分位数回归的系数进行联合检验，比如下面将要对不只一个分位数回归的系数进行联合检验，比如下面将要研究的检验斜率系数是否相等，即不同分位数回归计算出的研究的检验斜率系数是否相等，即不同分位数回归计算出的斜率系数是否相等，类似这种问题需要同时估计多于一个分斜率系数是否相等，类似这种问题需要同时估计多于一个分位数回归，这种分析称为分位数过程（位数回归，这种分析称为分位数过程（Quantile Process）分）分析。定义过程系数向量：析。定义过程系数向量

38、： （4.7.36） )(,)(,)(21K 如果对于给定的如果对于给定的X，Y的分布是对称的，则应该有：的分布是对称的，则应该有： （4.7.42） 具体而言，假定分位数过程包含了具体而言，假定分位数过程包含了s个分位数回归，这里个分位数回归，这里s是奇数，中间值是奇数，中间值 (s+1)/2为为0.5，并且，并且 j = 1 ij+1, j =1,2,(s-1)/2，则对称检验的原假设为：则对称检验的原假设为： （4.7.43） 1, 2 , 1),()()(:210piHkiii)2/1 (2/)1 ()()2/1 (2/)1 ()( :10 jsjH2/ ) 1( , 2 , 1sj

39、例例4.10的结果输出如下的结果输出如下(以以0.2分位数的估计结果为例分位数的估计结果为例)： 输出结果的上方显示了设定的内容，本例中设定用输出结果的上方显示了设定的内容，本例中设定用“Huber Sandwich”方法估计系数协方差，用方法估计系数协方差，用“Siddiqui（mean fitted）”方法得到稀疏度，用方法得到稀疏度，用“Hall-Sheather”方方法计算带宽。下面显示了系数估计值、标准差、法计算带宽。下面显示了系数估计值、标准差、t 检验值和检验值和相应的相应的p值。最下方显示了拟合优度和调整值、稀疏度数值、值。最下方显示了拟合优度和调整值、稀疏度数值、目标函数的最小值（目标函数的最小值（“objective”）、仅包含常数的目标函）、仅包含常数的目标函数的最小值（数的最小值（“Objective (const. only)）、因变量序列的经）、因变量序