量子力学完整版课件

1量子力学1量子力学2为什么要学习量子力学和统计物理学？1960年代，著名微波电子学家Pirls曾说，量子力学、统计物理学是高度抽象的科学，不需要所有的人都懂得这种理论物理科学。然而，在1990年代，随着高技术科学的发展，要求我们必须掌握理论物理学，包括量子力学和统计物理学。例如：微电子器件的集成度越来越高，组成器件的每一个元件的体积越来越小。目前，元件的尺寸可以达到nm级。2为什么要学习量子力学和统计物理学？1960年代，著名微波电3这面临着两个问题：1、信号电磁波所覆盖的区域包括大量的元件，每个元件的工作状态有随机性，但器件的响应具有统计性；

2、构成元件的材料的体积属于原子团物理的范畴，即每个粒子含有有限个原子（102－109个原子）。这时的统计平均具有显著的涨落，必须考虑量子效应。3这面临着两个问题：4量子力学南京工业大学理学院吴高建第一章绪论4量子力学南京工业大学理学院第一章绪论51.1经典物理学的困难51.1经典物理学的困难6

19世纪末，物理学界建立了牛顿力学、电动力学、热力学与统计物理，统称为经典物理学。其中的两个结论为

1、能量永远是连续的。

2、电磁波（包括光）是这样产生的：带电体做加速运动时，会向外辐射电磁波。6 19世纪末，物理学界建立了牛顿力学、电动力学、热7牛顿力学-支配天体和力学对象的运动；杨氏衍射实验-确定了光的波动性；Maxwell方程组的建立-把光和电磁现象建立在牢固的基础上；统计力学的建立。

经典物理学的成就7牛顿力学-支配天体和力学对象的运动；经典物理学的成就8

而一旦深入到分子、原子领域，一些实验事实就与经典理论发生矛盾或

者无法理解。8而一旦深入到分子、原子领域，一些920世纪初物理学界遇到的几个难题1两朵乌云（W.Thomson)①电动力学中的“以太”：人们无法通过实验测出以太本身的运动速度②物体的比热：观察到的物体比热总是低于经典物理学中能量均分定理给出的值。920世纪初物理学界遇到的几个难题1两朵乌云（W.Thom102原子的稳定性问题－原子塌缩按照经典理论，电子将掉到原子核里，原子的寿命约为1ns。3黑体辐射问题－紫外灾难按照经典理论，黑体向外辐射电磁波的能量E与频率的关系为Eυ102原子的稳定性问题－原子塌缩Eυ11

4.光电效应的解释 光照射到金属材料上，会产生光电子。但产生条件与光的频率有关，与光的强度无关。Lightbeamelectriccurrentmetal114.光电效应的解释Lightbeamelectr12能量量子化的假设造成以上难题的原因是经典物理学认为能量永远是连续的。如果能量是量子化的，即原子吸收或发射电磁波，只能以“量子”的方式进行，那末上述问题都能得到很好的解释。12能量量子化的假设造成以上难题的原因是经典物理学认为能量永13能量量子化概念对难题的解释原子寿命①原子中的电子只能处于一系列分立的能级之中。即E1,E2,…….En。②当电子从能级En变化到Em时，将伴随着能量的吸收或发射，能量的形式是电磁波。能量的大小为E=hυ=En－Em

③由此，提出了产生电磁波的量子论观点，即电磁波源于原子中电子能态的跃迁。从而，电子就不会掉到原子核里，原子的寿命就会很长。13能量量子化概念对难题的解释原子寿命14能量量子化概念对难题的解释黑体辐射从能量量子化假设出发，可以推导出同实验观测极为吻合的黑体辐射公式，即Planck公式14能量量子化概念对难题的解释黑体辐射15普朗克（Planck）大胆假设：无论是黑体辐射也好，还是固体中原子振动也好，它们都是以分立的能量显示，即能量模式是不连续的。所以，辐射的平均能量可如此计算得：15普朗克（Planck）大胆假设：无论是黑体辐射所以，辐射16经典的能量分布几率

所以对于连续分布的辐射平均能量为

（玻尔兹曼几率分布）在能量范围内，16经典的能量分布几率17而对于Planck假设的能量分布几率，则为

从而17而对于Planck假设的能量分布几率，则为 18于是，用电动力学和统计力学导出的公式

（Rayleigh–Jeans）

这就是Planck假设下的辐射本领，它与实验完全符合。应改为18于是，用电动力学和统计力学导出的公式（Ra19

当（高频区）

Wein公式

当（低频区）

Rayleigh–Jeans公式

1920能量量子化概念对难题的解释对光电效应的解释 如果电子处于分立能级且入射光的能量也是量子化的，那么只有当光子的能量（E=hυ）大于电子的能级差，即E=hυ>En－Em时，光电子才会产生。如果入射光的强度足够强，但频率υ足够小，光电子是无法产生的。20能量量子化概念对难题的解释对光电效应的解释211.2光的波粒二象性211.2光的波粒二象性22爱因斯坦方程对光电效应的解释是爱因斯坦于1905年做出的，他也因此获得诺贝尔奖。其中，他对光子的能量E是如此假定的22爱因斯坦方程对光电效应的解释是爱因斯坦于1905年做23光子的能量与动量并用υ=c/λ和狭义相对论中的公式p=E/c推出光子的动量p为p=h/λ，E=hν.

υ－频率，λ－波长，h－普朗克常数23光子的能量与动量并用υ=c/λ和狭义相对论中24光的波粒二象性波粒二象性，又称为波动粒子两重性，是指物体，小到光子、电子、原子，大到子弹、足球、地球，都既有波动性，又有粒子性。频率为υ的单色光波是由能量为E=hυ的一个个粒子组成的，这样的粒子被称为光子，或光量子。光子的粒子性－光电效应；光子的波动性－光的衍射和干涉。24光的波粒二象性波粒二象性，又称为波动粒子两重性，是指物体25光的波粒二象性杨氏干涉实验和惠更斯衍射实验都表明了光的波动性。光电效应又证实了光子的粒子性。25光的波粒二象性261.3微粒的波粒二象性261.3微粒的波粒二象性271物质波的概念法国人DeBroglie从光的量子论中得到启发，假设任何物体，无论是静止质量为零的光子，还是静止质量不为零的实物粒子，都具有粒子波动两重性。其中的波动，通称为物质波。认为物质波的频率和波长分别为υ=E/h，λ=h/p这就是著名的德布罗意公式。271物质波的概念法国人DeBroglie从光的量子论中282实物粒子的波动从德布罗意物质波的观点出发，就会得出一种违背常理的结论：躲在靶子后面仍然会被绕过来的子弹打中。子弹之所以不能绕到靶子后面，是因为子弹的波长λ=h/p太小了。 h＝6.62×10-34Js，p=mv282实物粒子的波动从德布罗意物质波的观点出发，就会得出一293电子与分子的衍射与干涉实验电子衍射C60分子干涉图293电子与分子的衍射与干涉实验电子衍射304波粒二象性既不是经典的粒子，也不是经典的波5物理意义：概率波与概率幅概率波（M.Born,1926)：物质波描述了粒子在各处发现的概率。概率幅：波函数ψ也叫概率幅，概率密度波的叠加是概率幅叠加，而非概率叠加304波粒二象性既不是经典的粒子，也不是经典的波5物理意311.4不确定关系311.4不确定关系32物质波的观点直接导致这样一个结论：无法同时准确测量一个粒子的坐标和动量q－坐标，p－动量另有：能量和时间的不确定关系：32物质波的观点直接导致这样一个结论：另有：能量和时间的不确33量子力学的特点：能量量子化；波粒二象性；不确定关系。 需要用一个完整的理论将这些离散的假设和概念统一起来：《量子力学》应运而生。33量子力学的特点：能量量子化；34《量子力学》的作用一般工科：建立概念与启迪思维，重点在了解。材料学：重点是建立正确的、系统的、完整的概念，为后续课程以及将来从事材料学领域的研究奠定基础。理科：四大力学之一，应该精通，并作为日后从事研究的工具。34《量子力学》的作用一般工科：建立概念与启迪思维，重点在了35学习《量子力学》时应注意的问题概念是灵魂－建立起清晰的概念数学是桥梁－不必过分拘泥于数学推导结论是收获－铭记结论在材料学中的作用35学习《量子力学》时应注意的问题概念是灵魂－建立起清晰的概36学习量子力学，其困难在于：发现它与我们熟悉的经典物理学中的习惯或概念不一致；b.量子力学中的新的物理概念不是直观的；c.处理问题时，与经典物理学在手法上截然不同。它的重要性在状态，算符和演化。36学习量子力学，其困难在于：发现它与我们熟悉的经典物理学中37所以，我们强调掌握实验事实，及它给我们的启示，不直接与主观经验联系，不先入为主；b.掌握和理解量子力学的基本概念。新的概念的依据和特点，新在什么地方，如何理解；c.掌握理论中建立的方程和所用的数学方法以及处理它们的思路和步骤。37所以，我们强调掌握实验事实，及它给我们的启示，不直38参考书目曾谨言《量子力学》，科学出版社周世勋《量子力学教程》，高等教育出版社38参考书目曾谨言《量子力学》，科学出版社39量子力学第二章波函数及薛定谔方程39量子力学402.1波函数及其统计解释402.1波函数及其统计解释41自由粒子指的是不受外力作用，静止或匀速运动的质点。因此，其能量E和动量都是常量。根据德布罗意波粒二象性的假设，自由粒子的频率和波长分别为

又因为波矢为，因此，自由粒子的υ和k都为常量。得到

一、自由粒子的波函数41自由粒子指的是不受外力作用，静止或匀速运动42υ和k都为常量的波应该是平面波，可用以下函数描述或将上式代入，得到这就是自由粒子的波函数，它将粒子的波动同其能量和动量联系了起来。它是时间和空间的函数，即42υ和k都为常量的波应该是平面波，可用以下函数描述43二、一般粒子的波函数及其物理意义1当粒子受到外力的作用时，其能量和动量不再是常量，也就无法用简单的函数来描述，但总可以用一个函数来描述这个粒子的特性，称其为粒子的波函数。43二、一般粒子的波函数及其物理意义1当粒子受到外力的作用442物理意义：对实物粒子的波动性有两种解释（1）第一种解释，认为粒子波就是粒子的某种实际结构，即将粒子看成是三维空间中连续分布的一种物质波包。波包的大小即粒子的大小，波包的群速度即粒子的运动速度。粒子的干涉和衍射等波动性都源于这种波包结构。442物理意义：45能量和动量的关系为，利用得到物质波包的观点夸大了波动性的一面，抹杀了粒子性的一面，与实际不符。45能量和动量的关系为，46（2）第二种解释：认为粒子的衍射行为是大量粒子相互作用或疏密分布而产生的行为。然而，电子衍射实验表明，就衍射效果而言，弱电子密度＋长时间＝强电子密度＋短时间由此表明，对实物粒子而言，波动性体现在粒子在空间的位置是不确定的，它是以一定的概率存在于空间的某个位置。46（2）第二种解释：认为粒子的衍射行为是大量粒子相互作用或473、概率波粒子的波动性可以用波函数来表示，其中，振幅表示波动在空间一点(x,y,z)上的强弱。所以，应该表示粒子出现在点(x,y,z)附近的概率大小的一个量。

因此，粒子的波函数又称为概率波。473、概率波粒子的波动性可以用波函数来表示，48保留经典概念的哪些特征不具有经典概念的哪些特征粒子性有确定的质量、电荷、自旋等没有确定的轨道波动性有干涉、衍射等现象振幅不直接可测由波函数还可以决定粒子的其它各种物理可观察量(以后讲)。所以波函数完全描写了微观粒子(或一般地说，量子体系)的状态，这种描写在本质上具有统计的特征。48保留经典概念的哪些特征不具有经典概念的哪些特征粒子性有确49三、波函数的统计诠释

表示粒子出现在点(x,y,z)附近的概率。表示点(x,y,z)处的体积元中找到粒子的概率。这就是波函数的统计诠释。必然有以下归一化条件49三、波函数的统计诠释表示50

四、常数因子不定性设C是一个常数，则和对粒子在点(x,y,z)附件出现概率的描述是相同的。如果则有，等同于50

四、常数因子不定性设C是一个常数，则和51说明：1即使要求波函数是归一化的，它仍有一个位相因子的不确定性（相位不确定性）。例如：常数，则和对粒子在点（x,y,z）附近出现概率的描述是相同的。2有些波函数不能（有限地）归一，如平面波。51说明：1即使要求波函数是归一化的，它仍有一个例如：常数52五、对波函数的要求1、可积性2、归一化3、单值性，要求单值4、连续性52五、对波函数的要求1、可积性53六、态的叠加原理波的干涉，衍射现象的本质原因是因为它满足叠加原理。微观粒子所显示的波动性表明：波函数也应满足叠加原理。53六、态的叠加原理波的干涉，衍射现象的本质原因是54如果ψ1和ψ2是体系可能的状态，那么Ψ=c1ψ1+c2ψ2也是体系的可能状态。对于合成的状态：其中就是干涉项。

其中其中就是干涉项。

其中54如果ψ1和ψ2是体系可能的状态，那么对于合成的状态：其中55一般地说，叠加原理可以写成这导致了量子力学中的一个重要概念：对于一个指定的量子体系，如果我们找到了它的“完备的基本状态”，例如，那么任何状态都可以由这些基本状态叠加而得到。运动的状态是平面波因此，自由电子的任何状态都可以写成：即是各种不同动量的平面波的叠加。

例如：一个自由电子以动量和能量55一般地说，叠加原理可以写成这导致了量子力学中的一个重要概56这个例子在数学上就是函数的Fourier变换。引入那么任何波函数(不一定是自由粒子的)都可以写成

其中的系数由下式得出：

这个的物理意义是“动量测量几率振幅”。对于一维情形，56这个例子在数学上就是函数的Fourier变换。引入那么任57

七、动量分布概率设，则表示粒子出现在点附件的概率。设为粒子的动量，那么粒子具有动量的概率如何表示？平面波的波函数为任意粒子的波函数可以按此平面波做傅立叶展开57

七、动量分布概率设，则58其中，可见，代表中含有平面波的成分，因此，应该代表粒子具有动量的概率。58其中，可见，代表中含有平面波592.2薛定谔方程592.2薛定谔方程60一Schrodinger方程量子力学的基本定律是波函数所满足的偏微分方程。这个基本定律在本质上是一个假说。deBroglie波满足的方程是：

而,所以60一Schrodinger方程量子力学的基本定律是波函61这可以看做是在经典关系中进行代换可以推广地说：若粒子在外势场中运动，其能量的表达式为61这可以看做是在经典关系中进行代换可以推广地说：若粒子在外62则它的波函数应该满足方程此即单粒子运动的Schrodinger方程(1926)。62则它的波函数应该满足方程此即单粒子运动的Schrodin63二几率守恒定律粒子的空间几率密度是根据Schrodinger方程，63二几率守恒定律粒子的空间几率密度是根据Schrodi64记则而这表示了一种守恒定律。

64记则而这表示了一种守恒定律。65因为，对任何体积V，等式右方用Gauss定理，得

是在体积V内发现粒子的总几率，而穿过封闭曲面S向外的总通量。所以是“几率流密度”，而上式表现了几率守恒。几率守恒也就是粒子数守恒。

65因为，对任何体积V，等式右方用Gauss定理，得是在体66三定态Schrodinger方程若与时间无关，则Schrodinger方程可以分离变量求解，66三定态Schrodinger方程若与时间无关67波函数成为

这样的波函数(或者是波函数）称为定态波函数。对比deBroglie波，我们发现常数E的物理意义正是粒子的能量。所以定态是体系的能量有确定值的状态。在定态中，体系的各种力学性质不随时间而改变。67波函数成为这样的波函数(或者是波函数）称为定态68的方程称为该算符的本征方程，常数称为本征值，方程的解称为(该算符的属于该本征值的)本征函数。所以定态Schrodinger方程也就是能量本征方程。

形如算符作用于波函数=常数乘以这波函数68的方程称为该算符的本征方程，常数称为本形如算符作用于波函692.3一维运动的一般分析692.3一维运动的一般分析70一、一维势场中粒子能量本征态的一般性质1、定态2、简并如果系统的能级是分立的，即，若对同一个能级，有两个及其以上的本征函数与其对应，则称这个能级是简并的。70一、一维势场中粒子能量本征态的一般性质1、定态713、宇称－函数在空间反演下表现出的特性。713、宇称－函数在空间反演下表现出的特性。724、定态薛定格方程－能量本征方程724、定态薛定格方程－能量本征方程735、束缚态与非束缚态735、束缚态与非束缚态74定理174定理175推论175推论176定理276定理27777787879798080818182828383842.4一维无限深势阱和方势阱842.4一维无限深势阱和方势阱85一、一维无限深方势阱1、势函数如果在，由能量本征方程，有其解为，其中由边界条件和，有和，波函数为85一、一维无限深方势阱1、势函数862、能量量子化由，和得到，这说明，一维无限深方势阱中的粒子的能量是量子化的。称为体系的能量本征值，与对应的波函数称为能量本征函数。862、能量量子化87将波函数进行归一化：即令，得到归一化波函数为3、归一化波函数873、归一化波函数88最低能量经典粒子，可以有一维无限深方势阱中的粒子，由测不准关系，得到因此，粒子能量4、讨论884、讨论89在，有个节点，其上

说明粒子在这些节点上出现的概率为零。对于经典粒子来说，它在内任何一点都有可能出现。89在，90二、有限深对称方势阱设粒子能量条件在阱内能量本征方程解90二、有限深对称方势阱设91在阱外能量本征方程解，说明粒子不会出现在，说明的粒子也有到达势阱外的可能。91在阱外922.5量子隧道效应922.5量子隧道效应93一、方势垒的反射与透射在，能量本征方程解粒子流密度反射系数透射系数93一、方势垒的反射与透射在，能量本94在，能量本征方程解94在，能量本征方程95解代数方程，得到势垒贯穿隧穿效应入射波反射波透射波95解代数方程，得到入射波透射波96电子的势垒贯穿

12510当势垒宽度为原子限度时，透射相当可观96电子的势垒贯穿97二、δ势的反射与透射设质量为m的粒子(E>0)从左射入δ势垒97二、δ势的反射与透射设质量为m的粒子(E>0)从左98989999100100101讨论101讨论1022.6线性谐振子1022.6线性谐振子103

1、能量本征方程简谐运动：体系在平衡位置附件的微小振动一维谐振子：粒子一维情况下的简谐运动，同时粒子的势能可以表示为例如，双原子分子中两原子之间的势能一维谐振子的能量本征方程103

1、能量本征方程简谐运动：体系在平衡位置附件的微小振104

2、能量本征方程的解能量本征方程变为当时，，有，其解能量本征方程的解可表示为其中，为待求函数，代入能量本征方程，有其解为亦即厄密多项式。当时，要求得到104

2、能量本征方程的解能量本征方程变为105

3、能量本征值因为同时故讨论(1)能级是均匀分布的；(2)相邻能级差相同：；(3)基态能量，称为零点能；(4)谐振子吸收能量后，有可能从下能级跃迁到上能级。相反，放出能量后，有可能从上能级跃迁到下能级。105

3、能量本征值因为同1064、能量本征态（1）因为，其中，要根据的归一化条件确定，即由于得到能量本征态正交归一化1064、能量本征态（1）因为1074、能量本征态（2）最低三条能级上的波函数为1074、能量本征态（2）最低三条能级上的波函数为108扫描隧道显微镜108扫描隧道显微镜109扫描隧道显微镜109扫描隧道显微镜110扫描出的纳米级图像110扫描出的纳米级图像111扫描隧道显微镜拍下的DNA111扫描隧道显微镜拍下的DNA112“扫描隧道显微镜”下拍摄的“血细胞”112“扫描隧道显微镜”下拍摄的“血细胞”113用扫描隧道显微镜拍摄到的图像113用扫描隧道显微镜拍摄到的图像114STM工作原理114STM工作原理115用STM移动氙原子排出的“IBM”图案115用STM移动氙原子排出的“IBM”图案116作为一种扫描探针显微术工具，扫描隧道显微镜可以让科学家观察和定位单个原子，它具有比它的同类原子力显微镜更加高的分辨率。此外，扫描隧道显微镜在低温下（4K）可以利用探针尖端精确操纵原子，因此它在纳米科技既是重要的测量工具又是加工工具。扫描隧道显微镜scanningtunnelingmicroscope116作为一种扫描探针显微术工具，扫描隧道显微镜可扫描隧道显117STM使人类第一次能够实时地观察单个原子在物质表面的排列状态和与表面电子行为有关的物化性质，在表面科学、材料科学、生命科学等领域的研究中有着重大的意义和广泛的应用前景，被国际科学界公认为20世纪80年代世界十大科技成就之一117STM使人类第一次能够实时地观察单个原子在118基本结构

隧道针尖三维扫描控制器减震系统电子学控制系统在线扫描控制和离线数据处理软件118基本结构隧道针尖三维扫描控制器减震系统电子学控119工作原理

扫描隧道显微镜的工作原理简单得出乎意料。就如同一根唱针扫过一张唱片，一根探针慢慢地通过要被分析的材料（针尖极为尖锐，仅仅由一个原子组成）。一个小小的电荷被放置在探针上，一股电流从探针流出，通过整个材料，到底层表面。当探针通过单个的原子，流过探针的电流量便有所不同，这些变化被记录下来。电流在流过一个原子的时候有涨有落，如此便极其细致地探出它的轮廓。在许多的流通后，通过绘出电流量的波动，人们可以得到组成一个网格结构的单个原子的美丽图片。119工作原理扫描隧道显微镜的工作原理简单得出乎意料。就如120优越性①具有原子级高分辨率，STM在平行于样品表面方向上的分辨率分别可达0.1nm和0.01nm，即可以分辨出单个原子。②可实时得到实空间中样品表面的三维图像，可用于具有周期性或不具备周期性的表面结构的研究，这种可实时观察的性能可用于表面扩散等动态过程的研究。120优越性①具有原子级高分辨率，STM在平行于样品表面121③可以观察单个原子层的局部表面结构，而不是对体相或整个表面的平均性质，因而可直接观察到表面缺陷。表面重构、表面吸附体的形态和位置，以及由吸附体引起的表面重构等。④可在真空、大气、常温等不同环境下工作，样品甚至可浸在水和其他溶液中不需要特别的制样技术并且探测过程对样品无损伤．121③可以观察单个原子层的局部表面结构，而不是④可在真空、122⑤配合扫描隧道谱（STS）可以得到有关表面电子结构的信息，例如表面不同层次的态密度。表面电子阱、电荷密度波、表面势垒的变化和能隙结构等。⑥利用STM针尖，可实现对原子和分子的移动和操纵，这为纳米科技的全面发展奠定了基础。122⑤配合扫描隧道谱（STS）可以得到有关表面电子结⑥利123局限性

STM所观察的样品必须具有一定程度的导电性，对于半导体，观测的效果就差于导体；对于绝缘体则根本无法直接观察。如果在样品表面覆盖导电层，则由于导电层的粒度和均匀性等问题又限制了图象对真实表面的分辨率。宾尼等人1986年研制成功的AFM可以弥补STM这方面的不足。123局限性STM所观察的样品必须具有一定程度的导124量子力学第二章波函数及薛定谔方程124量子力学1252.1波函数及其统计解释1252.1波函数及其统计解释126自由粒子指的是不受外力作用，静止或匀速运动的质点。因此，其能量E和动量都是常量。根据德布罗意波粒二象性的假设，自由粒子的频率和波长分别为

又因为波矢为，因此，自由粒子的υ和k都为常量。得到

一、自由粒子的波函数126自由粒子指的是不受外力作用，静止或匀速运127υ和k都为常量的波应该是平面波，可用以下函数描述或将上式代入，得到这就是自由粒子的波函数，它将粒子的波动同其能量和动量联系了起来。它是时间和空间的函数，即127υ和k都为常量的波应该是平面波，可用以下函数描述128二、一般粒子的波函数及其物理意义1当粒子受到外力的作用时，其能量和动量不再是常量，也就无法用简单的函数来描述，但总可以用一个函数来描述这个粒子的特性，称其为粒子的波函数。128二、一般粒子的波函数及其物理意义1当粒子受到外力的作1292物理意义：对实物粒子的波动性有两种解释（1）第一种解释，认为粒子波就是粒子的某种实际结构，即将粒子看成是三维空间中连续分布的一种物质波包。波包的大小即粒子的大小，波包的群速度即粒子的运动速度。粒子的干涉和衍射等波动性都源于这种波包结构。1292物理意义：130能量和动量的关系为，利用得到物质波包的观点夸大了波动性的一面，抹杀了粒子性的一面，与实际不符。130能量和动量的关系为，131（2）第二种解释：认为粒子的衍射行为是大量粒子相互作用或疏密分布而产生的行为。然而，电子衍射实验表明，就衍射效果而言，弱电子密度＋长时间＝强电子密度＋短时间由此表明，对实物粒子而言，波动性体现在粒子在空间的位置是不确定的，它是以一定的概率存在于空间的某个位置。131（2）第二种解释：认为粒子的衍射行为是大量粒子相互作用1323、概率波粒子的波动性可以用波函数来表示，其中，振幅表示波动在空间一点(x,y,z)上的强弱。所以，应该表示粒子出现在点(x,y,z)附近的概率大小的一个量。

因此，粒子的波函数又称为概率波。1323、概率波粒子的波动性可以用波函数来表示，133保留经典概念的哪些特征不具有经典概念的哪些特征粒子性有确定的质量、电荷、自旋等没有确定的轨道波动性有干涉、衍射等现象振幅不直接可测由波函数还可以决定粒子的其它各种物理可观察量(以后讲)。所以波函数完全描写了微观粒子(或一般地说，量子体系)的状态，这种描写在本质上具有统计的特征。133保留经典概念的哪些特征不具有经典概念的哪些特征粒子性有134三、波函数的统计诠释

表示粒子出现在点(x,y,z)附近的概率。表示点(x,y,z)处的体积元中找到粒子的概率。这就是波函数的统计诠释。必然有以下归一化条件134三、波函数的统计诠释表135

四、常数因子不定性设C是一个常数，则和对粒子在点(x,y,z)附件出现概率的描述是相同的。如果则有，等同于135

四、常数因子不定性设C是一个常数，则136说明：1即使要求波函数是归一化的，它仍有一个位相因子的不确定性（相位不确定性）。例如：常数，则和对粒子在点（x,y,z）附近出现概率的描述是相同的。2有些波函数不能（有限地）归一，如平面波。136说明：1即使要求波函数是归一化的，它仍有一个例如：常137五、对波函数的要求1、可积性2、归一化3、单值性，要求单值4、连续性137五、对波函数的要求1、可积性138六、态的叠加原理波的干涉，衍射现象的本质原因是因为它满足叠加原理。微观粒子所显示的波动性表明：波函数也应满足叠加原理。138六、态的叠加原理波的干涉，衍射现象的本质原因是139如果ψ1和ψ2是体系可能的状态，那么Ψ=c1ψ1+c2ψ2也是体系的可能状态。对于合成的状态：其中就是干涉项。

其中其中就是干涉项。

其中139如果ψ1和ψ2是体系可能的状态，那么对于合成的状态：其140一般地说，叠加原理可以写成这导致了量子力学中的一个重要概念：对于一个指定的量子体系，如果我们找到了它的“完备的基本状态”，例如，那么任何状态都可以由这些基本状态叠加而得到。运动的状态是平面波因此，自由电子的任何状态都可以写成：即是各种不同动量的平面波的叠加。

例如：一个自由电子以动量和能量140一般地说，叠加原理可以写成这导致了量子力学中的一个重要141这个例子在数学上就是函数的Fourier变换。引入那么任何波函数(不一定是自由粒子的)都可以写成

其中的系数由下式得出：

这个的物理意义是“动量测量几率振幅”。对于一维情形，141这个例子在数学上就是函数的Fourier变换。引入那么142

七、动量分布概率设，则表示粒子出现在点附件的概率。设为粒子的动量，那么粒子具有动量的概率如何表示？平面波的波函数为任意粒子的波函数可以按此平面波做傅立叶展开142

七、动量分布概率设，则143其中，可见，代表中含有平面波的成分，因此，应该代表粒子具有动量的概率。143其中，可见，代表中含有平面波1442.2薛定谔方程1442.2薛定谔方程145一Schrodinger方程量子力学的基本定律是波函数所满足的偏微分方程。这个基本定律在本质上是一个假说。deBroglie波满足的方程是：

而,所以145一Schrodinger方程量子力学的基本定律是波146这可以看做是在经典关系中进行代换可以推广地说：若粒子在外势场中运动，其能量的表达式为146这可以看做是在经典关系中进行代换可以推广地说：若粒子在147则它的波函数应该满足方程此即单粒子运动的Schrodinger方程(1926)。147则它的波函数应该满足方程此即单粒子运动的Schrodi148二几率守恒定律粒子的空间几率密度是根据Schrodinger方程，148二几率守恒定律粒子的空间几率密度是根据Schrod149记则而这表示了一种守恒定律。

149记则而这表示了一种守恒定律。150因为，对任何体积V，等式右方用Gauss定理，得

是在体积V内发现粒子的总几率，而穿过封闭曲面S向外的总通量。所以是“几率流密度”，而上式表现了几率守恒。几率守恒也就是粒子数守恒。

150因为，对任何体积V，等式右方用Gauss定理，得是在151三定态Schrodinger方程若与时间无关，则Schrodinger方程可以分离变量求解，151三定态Schrodinger方程若与时间无152波函数成为

这样的波函数(或者是波函数）称为定态波函数。对比deBroglie波，我们发现常数E的物理意义正是粒子的能量。所以定态是体系的能量有确定值的状态。在定态中，体系的各种力学性质不随时间而改变。152波函数成为这样的波函数(或者是波函数）称为定153的方程称为该算符的本征方程，常数称为本征值，方程的解称为(该算符的属于该本征值的)本征函数。所以定态Schrodinger方程也就是能量本征方程。

形如算符作用于波函数=常数乘以这波函数153的方程称为该算符的本征方程，常数称为本形如算符作用于波1542.3一维运动的一般分析1542.3一维运动的一般分析155一、一维势场中粒子能量本征态的一般性质1、定态2、简并如果系统的能级是分立的，即，若对同一个能级，有两个及其以上的本征函数与其对应，则称这个能级是简并的。155一、一维势场中粒子能量本征态的一般性质1、定态1563、宇称－函数在空间反演下表现出的特性。1563、宇称－函数在空间反演下表现出的特性。1574、定态薛定格方程－能量本征方程1574、定态薛定格方程－能量本征方程1585、束缚态与非束缚态1585、束缚态与非束缚态159定理1159定理1160推论1160推论1161定理2161定理21621621631631641641651651661661671671681681692.4一维无限深势阱和方势阱1692.4一维无限深势阱和方势阱170一、一维无限深方势阱1、势函数如果在，由能量本征方程，有其解为，其中由边界条件和，有和，波函数为170一、一维无限深方势阱1、势函数1712、能量量子化由，和得到，这说明，一维无限深方势阱中的粒子的能量是量子化的。称为体系的能量本征值，与对应的波函数称为能量本征函数。1712、能量量子化172将波函数进行归一化：即令，得到归一化波函数为3、归一化波函数1723、归一化波函数173最低能量经典粒子，可以有一维无限深方势阱中的粒子，由测不准关系，得到因此，粒子能量4、讨论1734、讨论174在，有个节点，其上

说明粒子在这些节点上出现的概率为零。对于经典粒子来说，它在内任何一点都有可能出现。174在，175二、有限深对称方势阱设粒子能量条件在阱内能量本征方程解175二、有限深对称方势阱设176在阱外能量本征方程解，说明粒子不会出现在，说明的粒子也有到达势阱外的可能。176在阱外1772.5量子隧道效应1772.5量子隧道效应178一、方势垒的反射与透射在，能量本征方程解粒子流密度反射系数透射系数178一、方势垒的反射与透射在，能量179在，能量本征方程解179在，能量本征方程180解代数方程，得到势垒贯穿隧穿效应入射波反射波透射波180解代数方程，得到入射波透射波181电子的势垒贯穿

12510当势垒宽度为原子限度时，透射相当可观181电子的势垒贯穿182二、δ势的反射与透射设质量为m的粒子(E>0)从左射入δ势垒182二、δ势的反射与透射设质量为m的粒子(E>0)从左183183184184185185186讨论186讨论1872.6线性谐振子1872.6线性谐振子188

1、能量本征方程简谐运动：体系在平衡位置附件的微小振动一维谐振子：粒子一维情况下的简谐运动，同时粒子的势能可以表示为例如，双原子分子中两原子之间的势能一维谐振子的能量本征方程188

1、能量本征方程简谐运动：体系在平衡位置附件的微小振189

2、能量本征方程的解能量本征方程变为当时，，有，其解能量本征方程的解可表示为其中，为待求函数，代入能量本征方程，有其解为亦即厄密多项式。当时，要求得到189

2、能量本征方程的解能量本征方程变为190

3、能量本征值因为同时故讨论(1)能级是均匀分布的；(2)相邻能级差相同：；(3)基态能量，称为零点能；(4)谐振子吸收能量后，有可能从下能级跃迁到上能级。相反，放出能量后，有可能从上能级跃迁到下能级。190

3、能量本征值因为同1914、能量本征态（1）因为，其中，要根据的归一化条件确定，即由于得到能量本征态正交归一化1914、能量本征态（1）因为1924、能量本征态（2）最低三条能级上的波函数为1924、能量本征态（2）最低三条能级上的波函数为193扫描隧道显微镜193扫描隧道显微镜194扫描隧道显微镜194扫描隧道显微镜195扫描出的纳米级图像195扫描出的纳米级图像196扫描隧道显微镜拍下的DNA196扫描隧道显微镜拍下的DNA197“扫描隧道显微镜”下拍摄的“血细胞”197“扫描隧道显微镜”下拍摄的“血细胞”198用扫描隧道显微镜拍摄到的图像198用扫描隧道显微镜拍摄到的图像199STM工作原理199STM工作原理200用STM移动氙原子排出的“IBM”图案200用STM移动氙原子排出的“IBM”图案201作为一种扫描探针显微术工具，扫描隧道显微镜可以让科学家观察和定位单个原子，它具有比它的同类原子力显微镜更加高的分辨率。此外，扫描隧道显微镜在低温下（4K）可以利用探针尖端精确操纵原子，因此它在纳米科技既是重要的测量工具又是加工工具。扫描隧道显微镜scanningtunnelingmicroscope201作为一种扫描探针显微术工具，扫描隧道显微镜可扫描隧道显202STM使人类第一次能够实时地观察单个原子在物质表面的排列状态和与表面电子行为有关的物化性质，在表面科学、材料科学、生命科学等领域的研究中有着重大的意义和广泛的应用前景，被国际科学界公认为20世纪80年代世界十大科技成就之一202STM使人类第一次能够实时地观察单个原子在203基本结构

隧道针尖三维扫描控制器减震系统电子学控制系统在线扫描控制和离线数据处理软件203基本结构隧道针尖三维扫描控制器减震系统电子学控204工作原理

扫描隧道显微镜的工作原理简单得出乎意料。就如同一根唱针扫过一张唱片，一根探针慢慢地通过要被分析的材料（针尖极为尖锐，仅仅由一个原子组成）。一个小小的电荷被放置在探针上，一股电流从探针流出，通过整个材料，到底层表面。当探针通过单个的原子，流过探针的电流量便有所不同，这些变化被记录下来。电流在流过一个原子的时候有涨有落，如此便极其细致地探出它的轮廓。在许多的流通后，通过绘出电流量的波动，人们可以得到组成一个网格结构的单个原子的美丽图片。204工作原理扫描隧道显微镜的工作原理简单得出乎意料。就如205优越性①具有原子级高分辨率，STM在平行于样品表面方向上的分辨率分别可达0.1nm和0.01nm，即可以分辨出单个原子。②可实时得到实空间中样品表面的三维图像，可用于具有周期性或不具备周期性的表面结构的研究，这种可实时观察的性能可用于表面扩散等动态过程的研究。205优越性①具有原子级高分辨率，STM在平行于样品表面206③可以观察单个原子层的局部表面结构，而不是对体相或整个表面的平均性质，因而可直接观察到表面缺陷。表面重构、表面吸附体的形态和位置，以及由吸附体引起的表面重构等。④可在真空、大气、常温等不同环境下工作，样品甚至可浸在水和其他溶液中不需要特别的制样技术并且探测过程对样品无损伤．206③可以观察单个原子层的局部表面结构，而不是④可在真空、207⑤配合扫描隧道谱（STS）可以得到有关表面电子结构的信息，例如表面不同层次的态密度。表面电子阱、电荷密度波、表面势垒的变化和能隙结构等。⑥利用STM针尖，可实现对原子和分子的移动和操纵，这为纳米科技的全面发展奠定了基础。207⑤配合扫描隧道谱（STS）可以得到有关表面电子结⑥利208局限性

STM所观察的样品必须具有一定程度的导电性，对于半导体，观测的效果就差于导体；对于绝缘体则根本无法直接观察。如果在样品表面覆盖导电层，则由于导电层的粒度和均匀性等问题又限制了图象对真实表面的分辨率。宾尼等人1986年研制成功的AFM可以弥补STM这方面的不足。208局限性STM所观察的样品必须具有一定程度的导209量子力学第二章波函数及薛定谔方程209量子力学2102.1波函数及其统计解释2102.1波函数及其统计解释211自由粒子指的是不受外力作用，静止或匀速运动的质点。因此，其能量E和动量都是常量。根据德布罗意波粒二象性的假设，自由粒子的频率和波长分别为

又因为波矢为，因此，自由粒子的υ和k都为常量。得到

一、自由粒子的波函数211自由粒子指的是不受外力作用，静止或匀速运212υ和k都为常量的波应该是平面波，可用以下函数描述或将上式代入，得到这就是自由粒子的波函数，它将粒子的波动同其能量和动量联系了起来。它是时间和空间的函数，即212υ和k都为常量的波应该是平面波，可用以下函数描述213二、一般粒子的波函数及其物理意义1当粒子受到外力的作用时，其能量和动量不再是常量，也就无法用简单的函数来描述，但总可以用一个函数来描述这个粒子的特性，称其为粒子的波函数。213二、一般粒子的波函数及其物理意义1当粒子受到外力的作2142物理意义：对实物粒子的波动性有两种解释（1）第一种解释，认为粒子波就是粒子的某种实际结构，即将粒子看成是三维空间中连续分布的一种物质波包。波包的大小即粒子的大小，波包的群速度即粒子的运动速度。粒子的干涉和衍射等波动性都源于这种波包结构。2142物理意义：215能量和动量的关系为，利用得到物质波包的观点夸大了波动性的一面，抹杀了粒子性的一面，与实际不符。215能量和动量的关系为，216（2）第二种解释：认为粒子的衍射行为是大量粒子相互作用或疏密分布而产生的行为。然而，电子衍射实验表明，就衍射效果而言，弱电子密度＋长时间＝强电子密度＋短时间由此表明，对实物粒子而言，波动性体现在粒子在空间的位置是不确定的，它是以一定的概率存在于空间的某个位置。216（2）第二种解释：认为粒子的衍射行为是大量粒子相互作用2173、概率波粒子的波动性可以用波函数来表示，其中，振幅表示波动在空间一点(x,y,z)上的强弱。所以，应该表示粒子出现在点(x,y,z)附近的概率大小的一个量。

因此，粒子的波函数又称为概率波。2173、概率波粒子的波动性可以用波函数来表示，218保留经典概念的哪些特征不具有经典概念的哪些特征粒子性有确定的质量、电荷、自旋等没有确定的轨道波动性有干涉、衍射等现象振幅不直接可测由波函数还可以决定粒子的其它各种物理可观察量(以后讲)。所以波函数完全描写了微观粒子(或一般地说，量子体系)的状态，这种描写在本质上具有统计的特征。218保留经典概念的哪些特征不具有经典概念的哪些特征粒子性有219三、波函数的统计诠释

表示粒子出现在点(x,y,z)附近的概率。表示点(x,y,z)处的体积元中找到粒子的概率。这就是波函数的统计诠释。必然有以下归一化条件219三、波函数的统计诠释表220

四、常数因子不定性设C是一个常数，则和对粒子在点(x,y,z)附件出现概率的描述是相同的。如果则有，等同于220

四、常数因子不定性设C是一个常数，则221说明：1即使要求波函数是归一化的，它仍有一个位相因子的不确定性（相位不确定性）。例如：常数，则和对粒子在点（x,y,z）附近出现概率的描述是相同的。2有些波函数不能（有限地）归一，如平面波。221说明：1即使要求波函数是归一化的，它仍有一个例如：常222五、对波函数的要求1、可积性2、归一化3、单值性，要求单值4、连续性222五、对波函数的要求1、可积性223六、态的叠加原理波的干涉，衍射现象的本质原因是因为它满足叠加原理。微观粒子所显示的波动性表明：波函数也应满足叠加原理。223六、态的叠加原理波的干涉，衍射现象的本质原因是224如果ψ1和ψ2是体系可能的状态，那么Ψ=c1ψ1+c2ψ2也是体系的可能状态。对于合成的状态：其中就是干涉项。

其中其中就是干涉项。

其中224如果ψ1和ψ2是体系可能的状态，那么对于合成的状态：其225一般地说，叠加原理可以写成这导致了量子力学中的一个重要概念：对于一个指定的量子体系，如果我们找到了它的“完备的基本状态”，例如，那么任何状态都可以由这些基本状态叠加而得到。运动的状态是平面波因此，自由电子的任何状态都可以写成：即是各种不同动量的平面波的叠加。

例如：一个自由电子以动量和能量225一般地说，叠加原理可以写成这导致了量子力学中的一个重要226这个例子在数学上就是函数的Fourier变换。引入那么任何波函数(不一定是自由粒子的)都可以写成

其中的系数由下式得出：

这个的物理意义是“动量测量几率振幅”。对于一维情形，226这个例子在数学上就是函数的Fourier变换。引入那么227

七、动量分布概率设，则表示粒子出现在点附件的概率。设为粒子的动量，那么粒子具有动量的概率如何表示？平面波的波函数为任意粒子的波函数可以按此平面波做傅立叶展开227

七、动量分布概率设，则228其中，可见，代表中含有平面波的成分，因此，应该代表粒子具有动量的概率。228其中，可见，代表中含有平面波2292.2薛定谔方程2292.2薛定谔方程230一Schrodinger方程量子力学的基本定律是波函数所满足的偏微分方程。这个基本定律在本质上是一个假说。deBroglie波满足的方程是：

而,所以230一Schrodinger方程量子力学的基本定律是波231这可以看做是在经典关系中进行代换可以推广地说：若粒子在外势场中运动，其能量的表达式为231这可以看做是在经典关系中进行代换可以推广地说：若粒子在232则它的波函数应该满足方程此即单粒子运动的Schrodinger方程(1926)。232则它的波函数应该满足方程此即单粒子运动的Schrodi233二几率守恒定律粒子的空间几率密度是根据Schrodinger方程，233二几率守恒定律粒子的空间几率密度是根据Schrod234记则而这表示了一种守恒定律。

234记则而这表示了一种守恒定律。235因为，对任何体积V，等式右方用Gauss定理，得

是在体积V内发现粒子的总几率，而穿过封闭曲面S向外的总通量。所以是“几率流密度”，而上式表现了几率守恒。几率守恒也就是粒子数守恒。

235因为，对任何体积V，等式右方用Gauss定理，得是在236三定态Schrodinger方程若与时间无关，则Schrodinger方程可以分离变量求解，236三定态Schrodinger方程若与时间无237波函数成为

这样的波函数(或者是波函数）称为定态波函数。对比deBroglie波，我们发现常数E的物理意义正是粒子的能量。所以定态是体系的能量有确定值的状态。在定态中，体系的各种力学性质不随时间而改变。237波函数成为这样的波函数(或者是波函数）称为定238的方程称为该算符的本征方程，常数称为本征值，方程的解称为(该算符的属于该本征值的)本征函数。所以定态Schrodinger方程也就是能量本征方程。

形如算符作用于波函数=常数乘以这波函数238的方程称为该算符的本征方程，常数称为本形如算符作用于波2392.3一维运动的一般分析2392.3一维运动的一般分析240一、一维势场中粒子能量本征态的一般性质1、定态2、简并如果系统的能级是分立的，即，若对同一个能级，有两个及其以上的本征函数与其对应，则称这个能级是简并的。240一、一维势场中粒子能量本征态的一般性质1、定态2413、宇称－函数在空间反演下表现出的特性。2413、宇称－函数在空间反演下表现出的特性。2424、定态薛定格方程－能量本征方程2424、定态薛定格方程－能量本征方程2435、束缚态与非束缚态2435、束缚态与非束缚态244定理1244定理1245推论1245推论1246定理2246定理22472472482482492492502502512512522522532532542.4一维无限深势阱和方势阱2542.4一维无限深势阱和方势阱255一、一维无限深方势阱1、势函数如果在，由能量本征方程，有其解为，其中由边界条件和，有和，波函数为255一、一维无限深方势阱1、势函数2562、能量量子化由，和得到，这说明，一维无限深方势阱中的粒子的能量是量子化的。称为体系的能量本征值，与对应的波函数称为能量本征函数。2562、能量量子化257将波函数进行归一化：即令，得到归一化波函数为3、归一化波函数2573、归一化波函数258最低能量经典粒子，可以有一维无限深方势阱中的粒子，由测不准关系，得到因此，粒子能量4、讨论2584、讨论259在，有个节点，其上

说明粒子在这些节点上出现的概率为零。对于经典粒子来说，它在内任何一点都有可能出现。259在，260二、有限深对称方势阱设粒子能量条件在阱内能量本征方程解260二、有限深对称方势阱设261在阱外能量本征方程解，说明粒子不会出现在，说明的粒子也有到达势阱外的可能。261在阱外2622.5量子隧道效应2622.5量子隧道效应263一、方势垒的反射与透射在，能量本征方程解粒子流密度反射系数透射系数263一、方势垒的反射与透射在，能量264在，能量本征方程解264在，能量本征方程265解代数方程，得到势垒贯穿隧穿效应入射波反射波透射波265解代数方程，得到入射波透射波266电子的势垒贯穿

12510当势垒宽度为原子限度时，透射相当可观266电子的势垒贯穿267二、δ势的反射与透射设质量为m的粒子(E>0)从左射入δ势垒267二、δ势的反射与透射设质量为m的粒子(E>0)从左268268269269270270271讨论271讨论2722.6线性谐振子2722.6线性谐振子273

1、能量本征方程简谐运动：体系在平衡位置附件的微小振动一维谐振子：粒子一维情况下的简谐运动，同时粒子的势能可以表示为例如，双原子分子中两原子之间的势能一维谐振子的能量本征方程273

1、能量本征方程简谐运动：体系在平衡位置附件的微小振274

2、能量本征方程的解能量本征方程变为当时，，有，其解能量本征方程的解可表示为其中，为待求函数，代入能量本征方程，有其解为亦即厄密多项式。当时，要求得到274

2、能量本征方程的解能量本征方程变为275

3、能量本征值因为同时故讨论(1)能级是均匀分布的；(2)相邻能级差相同：；(3)基态能量，称为零点能；(4)谐振子吸收能量后，有可能从下能级跃迁到上能级。相反，放出能量后，有可能从上能级跃迁到下能级。275

3、能量本征值因为同2764、能量本征态（1）因为，其中，要根据的归一化条件确定，即由于得到能量本征态正交归一化2764、能量本征态（1）因为